Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Теория устойчивости имеет большое значение в технике, так как в реальных задачах исходные данные, а часто и уравнения движения (например, из-за неучитываемых помех) известны лишь приближенно. Для создания машины, способной выполнить определенную работу, не всегда достаточно качественных физических соображений, во многих случаях нужен математический анализ.
Первым важным техническим вопросом, решенным с помощью теории устойчивости, был вопрос об условиях работы регулятора Уатга. В изобретенной Уатгом паровой машине имеется механизм — центробежный регулятор, который должен поддерживать постоянную скорость работы машины. Но когда стали строить большие паровые машины, регулятор Уатта часто не справлялся с работой.
Русский инженер Вышнеградский, чтобы найти причины плохой работы регулятора, составил систему дифференциальных уравнений, описывающую работу паровой машины вместе с регулятором, и исследовал эту систему на устойчивость (см. [7], 5 27). Он получил условия устойчивости в виде ограничений на конструктивные параметры регулятора. Регуляторы, изготовленные с учетом этих ограничений, работали хорошо.
В настоящее время в связи с автоматизацией производства все шире применяются системы автоматического управления, которые должны обеспечить работу управляемого объекта в залан- 1В9 Глава 4. Явтономные системы и устойчивость ном режиме. Математическое исследование устойчивости таких систем еще на стадии их проектирования ускоряет и удешевляет создание таких систем, позволяя заранее отбросить многие негодные варианты. Важная роль в создании и развитии теории устойчивости принадлежит советским и российским ученым, начиная с основоположника этой теории А.М. Ляпунова. х, ах — = у($, х), х = аг (7) хч и ее частное решение х = 10(Ф) ($0 < $ < со). Вектор-функпия у(Ф, х) и все д,Г /дх определены и непрерывны при ~х-10($)~ < р, 10 < с < СО.
Решение х = 1р(0) с начальным условием ~р(00) = х0 называется устойчивым (или устойчивым по Ляпунову), если для любого в > О найдется такое б > О, что для каждого такого х, что ~хе — хе~ < б, решение Щ с начальным условием х(00) = хо при со ~ <г < СО СУЩЕСТВУЕТ И !х(1) У(1Н < в (~0 < ~ < оо)' (8) Это значит, что каждое решение с начальным условием из б-окрестности точки хе при 30 < $ < оо существует и не выходит из в-трубки, ось которой — решение х = х($) (рис.
12). Решение х = Р($). называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво по Ляпунову, 2) все решения х($) с начальными условиями х($0) из некоторой б0-окрестности точки хе неограничено сближаются с решением х = 10(1) при $ -+ +ос, то есть х(г) — 10($) - О (г -+ +со). 160 2. Основные определения.
Рассматривается система в векторной. П записи Я 28. Понятие устойчивости Рис. з2 Требования 1) н 2) независимы. Из 1) не следует 2), так как из неравенства (8) не следует, что ٠— ~р($) - О, а из 2) не следует 1), см. следуюпгнй пример. г -т ! Пример 2. Пусть линии на рнс.13 изображают траектории ! системы бх ду ! ! ! — = р(х, у), — = о(х, у). !П ™ !П ! ! ! ! Пусть функции р, о непрерывны; р(0,0) = д(0,0) = О, значит, х(Ф) аз у(Ф) ав 0 — «нулевое» решение.
На одной из крмвых, идущих нз точкм О(0, 0) влево, возьмем точки В и Р. Возьмем числа 0 ( в ( ~!ОР! и сколь угодно малое б > О. Решение х(Ф), у(с) с начальным условием в точке В, лежащей на дуге ОР в б-окрестности точки О, идет по дуге ОВР. В точке Р имеем '1ОР! > в. Нельзя подобрать такого б > О, чтобы решение из точки В оставалось в в-окрестности нулевого решения. Позтому нулевое решение неустойчиво. Глава 4. Автономные системы и уапобчивость Наличие или отсут- р ствие устойчивости не зависит от выбора начального момента Ф . В самон деле, пусть при начальном моменте $е решение х = гр(1) устойчиво, то х есть из 1х(Ф ) — р(1 ) ! < б следует неравенство (8). Пусть начальный момент 11 ~ 10 (нли 41 < ~0) Рнс.
13 ~х(1 ) — р(1 )~ < В. Если г7 достаточно мало, то из этого неравенства в силу непрерывной зависимости решенмя от начальных условим следует неравенство ! ~У(1) — гр(1Н < б на отрезке с иенцами 1 1 о с~да— неравенство (8). То есть и при начальном моменте 1, решение х = р(Ф) устойчиво. Исследование устойчивости любого решения * = р(1) системы (7) можно привести к исследованию устойчивости нулевого Г решения другой системы. Для этого в (7) делается замена искомой функции х = р(1) + р. Получается система ф(Ф) + р'(Ф) = у(й,уг(Ф) + р). Так как х = р(1) — решение системы (7), то р'(Ф) = у(1, р(1)), и мы имеем (9) Решение х = гр(1) системы (7) при такой замене переходит в решение р вз О системы (9).
Устойчивость (или неустойчивость) решения при этом сохраняется, так как разность х(1) — р(1) переходит в равную ей разность р(1) — О. 162 $1В. Понятие уапойчивосши Устойчивость нулевого решения системы (9) означает, что из !р(1а)! < В следует !р(1)! < с при 1е < 1 < оо. 3. Исследовать устойчивость, пользуясь лишь определения- П ми, можно только тогда, когда удается найти в том или ином виде общее решение данной системы или когда удается выяс- нить такие свойства решений, как ограниченность, возрастание и убывание.
г Пример 3. Устойчиво ли нулевое решение уравнения ! ! ьв 2 — — -р т ! В1 ! -! ! ! ! ! Решение примера. Общее решение р = 1/(1+ с), с = сопзП р = 0 — тоже решение. Из топь что р(1) - 0 при 1 -+ +со, ошибочно было бы делать вывод об устойчивости нулевого решения. Для устойчивости нулевого решения надо, чтобы из !р(0)! < В сяедовало бы (10) 0 1 при 0 < Ф < оо. ! При р(0) ) 0 решения убы- ! ! вают и стремятся к нулю. При Рмс.
14 у(0) < 0 решенияубываютмимеют вертикальные асимптоты (рис. 14), то есть не удовлетворяют условию (10). Поэтому нулевое решение неустойчиво, Другой способ. Для решения с у(0) = ра из формулы р = 1/(1+ с) получаем с = 1/1Га, р(1) = у /(зрв+ 1). Для любого 163 Глава 4. Авлгономные сислгены и уапойчиеосшь уе < 0 имеем сув+1 = 0 при Ф = -1/уе > О, поэтому у(1) -+ -оо при Ф -+ -1/ув — О. Нулевое решение неустойчиво. ! ! ! ! Пример 4. Устойчиво ли нулевое решение систеиы !. ! Их ду — =-4у, — =х2 ! гй ' й ! Решение примера. Деля второе уравнение на первое, получаем Иу/Их = -х/(4у). Общее решение х~ + 4у~ = с > О.
Эти линии — эллипсы. Если х (0) + у~(0) < б~, то при Ф > 0 решение х(1), у(Ф) находится внутри эллипса х + 4у~ = 46~, описанного у около круга хз + уз = бз. Так как кривые, изображающие ре- I шения, не пересекаются, то решение х($), у($) остается внутри х и этого эллипса (рис. 15), значит, и внутри круга х + у~ = е~, е = 2б, описанного около эллиРис.
15 пса. Нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, так как каждое решение остается на своем эллипсе х + 4у~ = с и не стремится к нулю при $ -+ оо. < ! Задачи дяя упражнений (12], $ 15, Рй 884-888, 890-892; ф 24, В 140-147. 164 ~Я Условия устойчимсти для линейной системы с постоянными коэффициентами. Пусть в системе дх/Ж = Ах матрица А имеет собственные значения Лг,..., Л„.
Я 18. Понятие устойчивости Теорема 2. 1) Если все Ке Л < О, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 2) Если все Ке Л. < 0 и для тех Л., у которых Ке Л = О, все жордановы клетки размера 1, ню нулевое решение устойчиво. 3) Если имеется Л, у которого Ке Л. > О, или у которого Кем —— 0 и жорданова клетка размера > 2, то нулевое решение неуопойчиво. Докаэапельство. По теореме 1б Ц 14 любое решение имеет вид (75) Ц 14, то есть в векторной записи х = У',(1)е"" +... + Р ®е""э, (11) где У'(1) — многочлен степени не выше йу — 1, м — размер наибольшей из жордановых клеток, содержащих Л; коэффициенты многочленов — векторы из К".
При Л = а +,Я У'(1)е = У'(8)е (совфФ+1з1п,дй), ~ соерФ+ бвш Я вэ 1. Если а < О, то е -+ 0(1-+ со) и, как известно из курса математического анализа, У'(1)е -+ О. Поэтому~р случае 1) каждое решение стремится к нулю при 1 -+ оо, значит, ограничено при 0 ~ (1 < оо. Тогда и фундаментальная матрица Х($), столбцы которой — решения, и Х(0) = В, тоже ограничена, ЦХ(1)Ц ~( гп (О < 1 < со), и ЦХ(с)Ц -+ 0 (Ф -+ со). Для любого решения имеем х(Ф) = Х(Ю)х(0). Поэтому из !х(0)! < б = е/зи следует 1х(Е)~ < ЦХ(Ф)Ц ° ~х(0)~ < е (О < Е < со), кроме того, х(1) -+ 0 при 8 -+ оо. Нулевое .
решение асимптотически устойчиво. В случае 2) те слагаемые в (11), в которых Ке Л < О, ограничены при 0 < 1 < со, как в случае 1). Слагаемые 1бб Глава б. Автономные системы и устойчивость с КеЛ = 0 имеют многочлены нулевой степени, то есть констайты, и тоже ограничены. Опять все решения ограничены, и в силу тех же оценок, что выше, нулевое решение устойчиво. В случае 3) при наличии хотя бы одного Л = а+ р1 с а > 0 имеется решение вида х($) = е1~+д0'и, где и— собственный вектор для этого Л .
Так как е" — оо (1 -+ оо), ~ейи~ ьч 1, то это решение неограниченно при 0 < $ < оо. Если Матрица А вещественная и 6 ~ О, то решение х(1) комплексное, но Ке х(1) и 1ш х(1) — вещественные решения, из которых хотя.бы одно неограниченно. Пусть б > 0 любое и с = бу(2[х(0)~). Тогда для решения х,($) = сх(1) имеем ~х,(0)~ = б/2; х,(1) неограниченно прн 0 < $ < со. Нулевое решение неустойчиво. Если же нет Л с КеЛ > О, но есть Л с КеЛ = 0 и жордановой клеткой размера й > 2, то из формул, дающих решение системы (73) й 14 с жордановой клеткой, следует, что существует решение вида р = йв(1)ем, где Я(1)— многочлен степени 7в — 1 > 1 со старшим коэффициентом, не равным нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
