Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Возможны только два случая: или 1) задача имеет единственное решение при любых правых частях в уравнении и краевых условиях, или 2) однородная задача (левые части те же, а правые заменяются нулями) имеет бесконечно много решений, а неоднородная задача при некоторых правых чаппях имеет бесконечно много решений, а при всех других — не имеет решений 116 У 13. Краевые задачи Доказательство. Общее решение уравнения (58) имеет вид р = с~р~ +... + сврв + е, (59) где р„..., р„— линейно независимые решения однородного уравнения, в — частное решение уравнения (58), с„..., с„— произвольные постоянные.
Подставляя (59) в краевые условия и перенося в в правую часть, получаем систему и линейных алгебраических уравнений относительно с,,... ° с„. Коэффициенты системы зависят только от значений р, р',... в заданных точках $ и не зависят от правых частей уравнения и краевых условий. Если данная задача однородна, то правые части алгебраических уравнений равны нулю. Возможны только два следующих случая. 1) Если детерминант системы не равен нулю, то система имеет единственное решение с„..., с„при любых правых частях. Подставляя эти с„...,с„в (59), получаем единственное решение краевой задачи. 2) Если детерминант системы равен нулю, то однородная система (т.е. при правых частях, равных нулю) имеет бесконечно много решений относительно с„...
„с„, а неоднородная система имеет решение не при любых правых частях. Если она имеет решение, то она имеет бесконечно много решений, так как к этому решению можно прибавить любое решение однородной системы, умноженное на любую постоянную. Для любого набора постоянных с„..., с„, удовлетворяющего системе, формула (59) дает решение краевой задачи. Для разных наборов с„...,с„эти решения различны, так как функции р„..., р„линейно независимы. Из 1) и 2) следует утверждение теоремы.
117 Глава 3. Линейные ди4фереяциалытые уравнения и сиашены ! Пример 17. Найти наименьшее яз таких чисел Ь задача ! у" + Ь у = О, у(0) = 5, у(1) = -5, ! не имеет решений. ! >О, что ! ! (60) ! ! ! . Решение примера. По теорене 13 задача (60) ие имеет решений тогда, когда однородная задача у" + Ьзу = О, у(0) = О, у(1) = 0 инеет ненулевое решение. Функции, для которых у" + Ьзу = О, у(0) = О, инеют вид у = с шп Ьб. Цтобы лри с ,-~ 0 было у(1) = О, надо з1п Ь = О, то есть Ь = я, 2тг,З!г,....
При этих Ь имеем 2-й случай альтернативы, значит, лри этих Ь задача (60) или ие имеет решений, или имеет бесконечно иного решений. Какая из этих возможностей осуществится, надо проверить. При Ь = тг общее решение уравнения есть у = с, сов тгс+ с зптяб. Значит, у(0) = с,, у(1) = -с,. При с, = 5 и любом сз функция у(1) —, решение задачи (бй). Но требуется, чтобы решение ие существовало.
При Ь = 2тг общее решение у = с, соз 2тгс+ сз шп 2яс. Тогда у(0) = с,, у(1) = с, и удовлетворить обомм усяовиян у(0) = 5, у(1) = -5 невозможно. Значит, решений иет. Ответ: Ь = 2тг. щ ! Задачи для упражнений [12), 6 22, ВОЗ, 65-67. .йу аз ~(1)у" + а,(1)у'+ аз(С)у = у(1), р'(1!) +!5у(1!) = О, 7У (зз)+ бУ(бз) = О, (61) 118 [2Д далее рассматривается краевая задача па отрезке $! < 1 < 1 б 13.
Краевые задачи где !сг! + !Щ ~ О, Ц + 1б~ зь О. Частными случаями таких краевых условий являются условия вида у(1,.) = О и у'($.) = О, Функцией Грина зчой задачи называется такая функция С(1ю в)» $ Е (1~эЦю в Е (1~в 1з)э что 1' Для кюкдого в = сопзг функция у(1) = ся(1, в) при 1 ~ в удовлетворяет уравнению з.у = О. 2 При 1 = 1, и 1 = 1з функция у(1) = С(з, в) удовлетворяет краевым условиям из (61). 3* При 1= в она непрерывна по $, а ее производная по $ имеет скачок, равный 1/аь(в), то есть 1 Я~в в+о = б!с-.-о Яв,+е = 6Ч!а=,-о+ а ав) (62) ае(в Следующая теорема устанавливает условия существования функции Грина и дает способ ее построения.
Т еорема 14. бсли на отрезке [$„1з1 функции аь, а„аз'непрерывны, аь ~ О, и если при у(1) и О' краевая задача (61) имеет люлько нулевое решение, то функция Грина существует и имеет д сч(1, в) = ' ' ' (63) ау,(1) (1, <1 < в), ьуз(й) (в < Ф < Фз) где у, и уз — ненулевые решения уравнения з у = О, удовлетворяющие соответспиенно первому и второму краевым условиям из (61), множители а и 0 зависят от в и определяются из требованшь чтобы функция (63) удовлетворяла условиям (62), то есть ау,(в) = Ьуз(в), Ьуз(в) = ау',(в) + —. (64) аь(в) 119 Глава Э. Линейные дифференциальные уравнения и системы Доказательство.
Пусть у,, уг — решения уравнения 2'у = О, для которых уг(М = ст уг(М = Р1 уг(сг) = 7 уг(гг) = Они удовлетворяют соответственно первому и второму краевым условиям в (61). Если бы у, и у были линейно зависимы, то у,(8) ва суг($), н решение уг($) (уг ~ О, так как ~ у) + 1б! ~ О) удовлетворяло бы обоим краевым условиям в (61), что противоречит условию теоремы. Значит, у, и у линейно независимы, и любое решение уравнения з.у = 0 имеет вид у = с,у, + су . Так как первому из краевых условий в (61) удовлетворяет только у„а второму — только у, то из требований 1' и 2' вытекает, что функция О должна иметь вид (63). Из требования 3' вьпекают уравнения (64). Система (64) разрешима относительно а 'и Ь, так как ее детерминант равен = И'(в) зь 0 -у,(в) у (в) (решения уг, уг линейно независимы).
Итак, при выполнении условий теоремы найдутся а и Ь, удовлепюряющие (64), а тогда функция (63) удовлетворяет требованиям 1'-3'. ° Замечание. При выполнении условий теоремы функция Грина определяется однозначно. Хотя решения у, и уг можно заменить решениями су, и ауг, но с учетом (64) это не изменмт произведений ау, и Ьуг е (63). Теорема 16. Если выполнены условия теоремы 14 и у(8) непрерывна при $, < $ < Фг, то решение краевой задачи (61) 120 я ЯЗ. Краевые задачи Доказотельспио. Разбиваем интеграл на части $, < е < г и з < е < $з.
Учитывая (63), имеем $ Ф2 у'(й) = р'(8) Ь(в)~(в) Нз+ у',Я а(в)Яв) де (66) (образуюшиеся при дифференцировании члены Ь($)у ($) и -а(1)р, ($) взаимно уничтожаются в силу (64)). Подставляем выражения для р($) и р'($) в краевые условия. Так как'у, удовлетворяет первому, а рз — второму краевому условию, то р(3) удовлетворяет обоим условиям. Дифференцируя (66) еше раз, получаем ~(а) = ки /к )/(,) а.
~- ча~фащ/1 ~- и и + р",(й) а(е)з. (в) дв — а($)у',($)у($). г Сумма внеинтегральных членов в силу (64) равна у(з)/ае($). Умножая полученные выражения для р", р',у на ае, а„аз и складывая, находим, что з.р вз аср'+ а,у'+ азу равно (~к~,,р+,,р) /к.~кка: 121 Глава Я. Пинедные дифференциальные уравнения и сисгпемы + гм+,к+~~) ~ ьггы~ +гм. Так как Гуэ —— О, Луг = О, то Ху = У(1).
Итак у(1) — решение задачи (61). г г (67) Пример 18. Найти функцию Грина краевой задачи у +у=у(1), у(0)=0, у(а) =О. г Решение примера. Из однородного уравнения у" + у = 0 прн у(0) =0 получаем у = сзшэ. Так как уг(а) =-сто прн 5(1) аз 0 задача (67) имеет только нулевое решение, то есть выполне- но условие существования функции Грина. Функции у, = зшз, уэ — — созз удовлетворяют уравнению у" + у = 0 н условиям у,(0) = О, угэ(а) = О. Поэтому согласно (63) С(1, в) = а япэ (О < 1 < в), сг(1, в) = Ь созе (в < 1 < а). Теперь нз условия (62) млн, что то же самое, (64) имеем аяпв = Ьсозв, -Ьзшв = асеев+1.
Иэ этой системы находим а = — соз в, Ь = — яп в. Теперь нз (68) С(з,в) = — созвяпз (0<1< в), С(1, в) = — яп в сов э (в < 1 < а). м ! Задачи дяя упражнений (12), $ 13, В 764-771. 122 3. Рассмотрим краевую задачу для уравнения с параметром Л П йУ-ЛУ=О, сгУ'($г)+АЗУ(эг) =О, УУ'(1,)+бУ(зз) =О, (69) Я 13. Краевые задачи где Ьу, а, р, 7, б те же, что в (61).
Значения Л; при которых задача (69) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями этой задачи, а сами ненулевые решения — собснгвенными функциями. Прн тех Л, которые являются собственными значениями, имеет место второй случай альтернативы, а при остальных — первый. ! Пример 19. Найти собственные ! функции задачи ! у"-лу=о, у(о) = ! значения и собственные ! ! ! ! О, у(б) = О.
! ! Решение примера. В силу теоремы 10 ненулевые решения втой задачи но!уз существовать только при Л < О. Полагаем Л = -аз, а ) О. Из уравнения и условия у(0) = 0' получаем у = свшаФ. Из условия у(б) = 0 следует свш ад = О. Чтобы было у 910, надо с уе О, ад = згй, й = 1, 2,.... Поэтому 2 а=аз= — Ль — — -аь= — ~ — ! й=1 2 .... д' б Числа Л вЂ” собственные значения, а функции у = свш ~™-— собпвенные функции.
! Задачи для упражненид! [12), $13, 1В 782-785. 123 П 4. Для различных краевых задач исследовались условия, при которых задача имеет единственное решение. Важное направление теории краевых задач — спектральная теория, изучавшая свойства собственных значений н собственных функций. Выделен класс»свмосопряженных» краевых звлвч, у которых собственные Глава 3. Линейные дифференциальные уравнение и сиапены функции ортогональны в проснзйнстве Ь на данком отрезке н дока" зано, что любую гладкую функцию на этом отрезке, удовлетворяклцую краевым условиям этой задачи, можно разложить в сходящийся ряд по собственным функциям такой задачи, аналогичный рящ Фурье ]30], гл. 7. Такие разложения используются, в частности, при решении различных задач для уравнений с частными производными методом разделенна переменных.
$14. е]инейные системы с постоянными коэффициентами 1. Рассматриваются линейные системы нормального вида ] ] х, = а их, +... + а,„х„+ ~,(ь), (70) х„= а„,х, +... + а„„х„+ ~'„(Е), где аиу — любые числа, а ~~(Е) — известные функции. В векторной записи х' = Ах+у(х), где х(Ф) — неизвестная, а у(х) — известная вектор-функции, А — любая постоянная матрица. Такие системы часто встречаются и в теории дифференциальных уравнений, и в приложениях. Общее решение такой системы в случае Г($) вз 0 всегда выражается через элементарные функции.
Поэтому такие сисгемы часто применяются для исследования более сложных систем вблизи положения равновесия. В приложениях они появляются, например, при изучении движений в механических системах с несколькими степенями свободы и при описании токов в разветвленных электрических цепях. Пугем исключения неизвестных систему можно свести к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией 124 в 14. Линейные снсшемы с яооиоянными коэффнциеншами в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравнения системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных. С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для решения лишь несложных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
