Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Выразив здесь и2,..., и„через у2,..., у„получим а2у! + ... + а„уу ге О, где й! = (Ь! — ЬЬ2)/2, й2 = (Ь! + 2Ь2)/2 и аналогично для козффициентом й2 2, йтя всех комплексных пар у2 2, ув., для вещественных у, имеем и, = у„й, = Ь,. Если хоть одно Ь. ,-Е О, то найдется йь ~ О, и функции уы " ° .у„будут линейно зависимыми. Это противоречит доказанному ранее. Значит, все Ь. = О, и решения и2,..., и„линейно независимы. Итак, в случае простых корней Л! существует вещественная фундаментальная система решений, состоящая из функций е2Р для каждого вещественного корня Л и функций е сов 1М, е" вл,б2 для каждой пары комплексных корней Л = а ~ !Я, ,б те О. Пример 9. Решить уравнение ум+ 39" +9у' — !Зу = О. ! ! решение примера.
Характеристическое уравнение Л + ЗЛ + 9Л вЂ” 13 = О кисет корни Л! — — 1 (отыскивается подбором), Я Л. Линейные уравнения с постоянныни «оэффициентани Л2,э = -2 т 31. Корню Л~ — — 1 соответствует частное решение у~ = е, а паре комплексно сопряженных корней Лхэ = с -2~ Зь соответствуют два частных решения уз — — е ~ сов ЗФ и уэ = е нвщЗс. Получаеи вещественное общее решение у = с~ е' + сэе ~ сов 33 + сэе ~ шп ЗФ. ° е Д2. Случай крапива корней Выясним, во что обращается левая часть Ь(у) уравнения (31) при подстановке у = с'ет', где в > 0 целое, Доказательство ([39)). Обозначая О'р/ду' = р имеем для целых в>О (1'~)"' = (( ")тб)~' = 0 ")~')т'*' = И"~)т". Умножая левую и правую части на а„э и суммируя по р от 0 до и, получаем ав(Ф'ет')," + ... + ач(Ф'ет') = ((аеу" +...
+ а„)еть) ', Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиавемы Дифференцируя произведение по правилу Лейбница, нахо- дим Ь(се ') = и™ ~Х'М(7) + С а М (7) + ° ° ' +~в в М (7)+Саа М (7)]' (3б) Если Л = у — корень многочлена М(Л) кратности й, то М(у) =М'(у) = ... =М<' О(у) =О, М~'~(7) ~0. Тогда лля всех в < й — 1 сумма в (Зб) равна нулю. Если же Л = у не корень или корень кратности й < в, то МОО(7) ~ 0 и в сумме (Зб) высшая степень $ ащержится в члене С;г' МОО(7). Эго дает в (35) старший член дев~, где Ие ~ О, т = в — й. Доназвиеяьство. В силу леммы б такие функции являются решениями. Для каждого корня многочлена М(Л) число таких решений равно кратности корня. Так как сумма кратностей всех корней равна и, то всего имеем и решений вида г*е~.
Покажем, что зги а решений линейно независимы на любом интервале а < Ф < ф. Предположим противное. Тогда найлугся такие числа, из которых хоть одно не равно нулю, что умножив наши решения на эти числа, сложив и вынеся одинаковые еьл $11. Линейные уравнения с постоянными яозффиииентами за скобки, получим р,Яе""+рз Яе~'+... +р,„(й)е" 'из О (а < Ф <,б), (38) ще числа Лн..., Л все различны, рн..., р — алгебраические многочлены. Пусть нумерация такова, что много- член р содержит ненулевой коэффициент. Чтобы упростить равенство (38), делим его на е"". Получаем (О + (О '"* "'" + " . + (8) ' "'" - =О.
Дифференцируем обе части равенства по 1 на один раз больше, чем степень многочлена р1($). Первый член суммы исчезает, а в остальных многочлены заменятся другими тех же степеней. (В самом деле, пусть а ~ О. Тогда Н вЂ” [(а$' + М' ' + ...)ер~ = (уа$' + аЫ' ' + 7Ы' ' + ...)ет'; точками обозначены члены низших степеней. Так как во всех членах у = Л; — Л1 ,-е О (8 = 2,..., гц), то степень многочлена сохраняется.) Получается равенство, подобное (38), но содержащее на один член меньше. С ним поступаем так же, как с (38). Продолжаем так до тех пор, пока не получим равенспю с одним членом г ($)е~" '"-'" ве О.
Многочлен г (1) той же степени, по р (1), значит, он содержит ненулевой коэффициент. Поэтому г,„(Ф) ~ О на интервале а < Ф < В, и последнее равенство невозможно. Следовательно, найденные и решений линейно независимы и образуют фундаментальную систему. При наличии комплексного корня Л~ — — а+,Я, )у ~ О уравнение (32) с вещественными коэффициентами имеет и сопряженный корень Л = а — рв; эти корни имеют одну Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сисшены и ту же кратносп йг. Тогда, как в случае простых корней, каждые два комплексно сопряженных решения 1'е1~+Рцг, 1'е1~ Рг1г (О < в < йг — 1) можно заменить вещественными решениями 1'е сов,й, 1'е~з1п1М, (О < в < й — 1).
Все такого рода решения вместе с решениями вида (37) для вещественных корней Л образуют фундаментальную сис- тему. Пример 10. Решить уравнение у'и+ 2у" — 4у' — 8у = О. г Пример 11. Решить уравнение у"г — 1бум+ б4у = О. г 1 г Решение примера. Характеристическое уравнение Л вЂ” 16Л + б4 = О, (Лз — 8)з = О, (Л вЂ” 2)з(Лз + 2Л+ 4)з = О. Корни Лгд = 2, Л3,4 -1+ ась, Лзл = -1 — 1~ГЗ. Общее решение у = (сг+сз1)е +(аз+ его)е 'соззсГЗ+(сз+се1)е 'шпйъГЗ. было бы ошибкой из двух последних членов выносить за скобку сумму вида (а+ М). Зто можно было бы делать, только если сз, с~, сз„се пропорциональны.
Но эти постоянные произвольны, значмт, могуг быть м не пропорциональными. 98 ге р ~а ир р~~ е~ зрю~ н л'~гл'— 4Л-8 = О. Группируя члены, получаем (Л+2)(Лз-4) = О. Корим: Лг — — +2, Лз з = -2. Фундаментальная система решений уг — — стг, уз — — е ", уз — — 1е ". Общее решение у = сг е" +(аз+ сз1) е ~. м Я 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ! Задачи дяя упражнений (12ь $11, В 511-532.
3. Лиюйное иеодюродвое уравнение с настоянными коэффиии- П ЮТ я.(р) гв аерф~+ а~у~" О+... + а„р = 1(1) (39) при любой непрерывной функции 1(1) можно решить методом вариации постоянных (й 10), так как лля линейного однородного уравнения с теми же коэффициентами общее решение можно найти изложенными выше приемами. Однако при отыскании решения уравнения (39) надо брать интегралы. В случаях, когда функция 1($) выражается через суммы и произведения функций вида Ф", е", с<мЬг, зйЫ (пз > 0 целое) можно решение найти без интегрирования с помощью излагаемого ниже метода неопределенных коэффициентов. Учнгывая, что решение уравнения Ь(р) = ~~ + уз равно сумме решений уравнений Х(р~) = З~ и Ь(рз) = Зз и что синусы и косинусы можно по формулам Эйлера выразить через показательные функции, достаточно рассмотреть случай, когда в (39) у($) = рЯея. р(Ф) = Ье1~ + Ь! 1$ '+...
+ Ь,„, (40) па ) 0 целое. Доназтпеяьство. Взяв р~ — — 9В$~+~еИ, имеем по лемме б Ь(Р~) = (йодов+г(Ф))ет, Ие ~ О. Глава 3. Линейные диф!реренциальные уравнения и системы Если пг = О, то т(Ф) вз О, а если па > 1, то ! (Ф) — многочлен степени не больше !и-1. Чтобы получить Ье$~, возьмем 4В = Ьад~ '. Тогда в случае !и = 0 имеем решение р! — — Ье!~'$~ет!. Пусть тп > 1. Предположим, что теорема верна, когда в (40) степень многочлена ниже ит, то есть Ье —— О, и докажем, что она верна и при Ьа 1а О. В левой части (39) полагаем р = р! + х, р! то же, что выше.
Получаем Ь(у) = я.(у!) + Х(х) = (Ье1., + г(1))ел+!я.(х). Надо, чтобы это РавнЯлось (40), то есть (Ьет~+ Р!(Ф))ет!, где р!(1) — многочлен степени ют! — 1. Следовательно, Ь(х) = (р!(Ф) — г(Ф))е~. (42) Здесь р!($) — г(г) — многочлен степени ниже тв. По предположению индукции, уравнение (42) имеет частное решение вида х = $~9'($)ет!, д'(1) — многочлен степени ниже тп. Поэтому, как и требуется, у=у!+я =1 (Ьей~ $~+д"($))ет!~ ° -! ! ! ! ! Пример 12. Решить уравнение ! р~+2р~-4р~-8р = е-~+$е ! Чтобы применить эту теорему к конкретному уравнению вида (39), (40) с числовыми коэффициентами, надо по виду правой части у($) в данном уравнении определить числа у, Ь, тп в (41).
Чтобы найти коэффициенты ее, в!,..., в, надо подставить выражение (41) в данное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения. Получается система алгебраических уравнений. Из нее определяются коэффициенты ею. д!, " 9п|. в И. Линейные уравнения с поопоянным» коэффнцоенгпами у~+ 2уУ -4у~ -8у = еуш+ 2у" — 4у' — 8у =се'. (а) (б) Для уравнения (а) имеем 7 = -2, Ь = 2, гта = О. Согласно (41) пишем у, = Ф~ ° ае ~. Подставляя у, в (а), получаем -8ае ~ = е ~.
Значит, -8а= 1, а=-1/8. Дляуравнения(б) имеем Т= 1,м=О,пэ=1.Согласно(41) уг = (ЬФ+с)е'. Подставляя уг в (б), получаем е'(-9Ь1+ЗЬ-9с) = Фег. Прмравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях равенства, получаем -9Ь = 1, ЗЬ вЂ” 9с = О.
Отсюда находим Ь = -1/9, с = -1/27. Общее решение исходного уравнения есть у ув + уг + уг = с е + (с + с т)е — -1 е — ~-Ф+ — ~ е . гг -ы 1г-гг г1 1т а 1 8 1,9 27г' Заыечамие. Если в уравнении (39) коэффициенты вещественны и г (Ф) = е (Р(Ф) соь Я+ Я(Ю) шп фе),, (43) где Р(Ф) и Я(С) — вещественные многочлены степеней гп, и зтэг, то существует вещественное частное решение вида у = тье (ВЯ сов Я+ Я(т) ь!п,й), (44) 101 Решение примера.
Левая часть уравнения та же, что в примере 10. Корни характеристического уравнения Лг —— 2, Лг.э —— -2. Общее решение однородного уравнения рв = сгегг+ (с~ + сэь)е ". Для каждого члена правой части данного уравнения определяем число Т. Для е " имеем Т = -2, а дяя те' имеем Т = 1. Так как эти числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
