Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1 В частности, если Ьи = О, Ь» = Г, то Ь(и+») = 7; если Ь»! = 7, Ь»2 = у, то Ь(»! — »2) = О. То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же 2 ) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения. Линейная зависимость вектор-функций. Вектор-функции х'($),...,х ($) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М, если найдутся такие постоянные числа с!, ..., сь, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при 70 я У. Свойства линейнык систем всех 8 Е М имеем с!х'($)+... +сьх ($) =-О. (5) Вектор-функции линейно независимы на М, если они не являются линейно зависимыми на М, то есть если равенспю (5) (при всех $ Е М одновременно) возможно лишь в случае с! — †...
— — сь = О. Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном ( множестве М, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов. Если вектор-функции х'($),..., х~($) линейно зависимы на М, то при каждом $ Е М их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (5). Обратное неверно. ! ! ! Пример 1.
Вектор-функции х'(8) = и х~(Ф) = ! при любом Ф являются линейно зависимммн векторами ! ! 2 (при любом Ф = 1! имеем с!х'(Ф!) + сзх (Ф!) = О, если ! с! — — 1!, сз = -1). Но как вектор-функции, они на любом ! ! ! интервале (а, !В) линейно независимы, так как при настоянных с!, о2 равенство с! ° 1+ сзФ вз О на всем интервале ! ! (!з, 15) возможно лишь при с! — — сз — — О. ! ! ! Детерминант Вронского нли вранскиан для «-мерных векфункций х'(т),..., х" ($) — зто детерминант «-го порядка, бцы которого состоят из координат зтнх вектор-функций, то ! х!(4) ...
х~!($) $Г(1) = 71 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы Лемма 2. Если вектор-функции х',..., х" линейно зависины, то ик вронскиан Иг(з) ев О. Следствие. Если вронован И'(т) р~ О, то вектор-функции х', ..., х" линейно независины. Доказвпельство.
Пусть Иг($Д = О. Из алгебры известно, что тогда столбцы детерминанта, то есть векторы х'($~),..., х"($Д линейно зависимы. Значит, существуют такие числа с~,..., с„, нз которых хоть одно не равно нулю, по с~х~(й1)+... + с„х"(С~) = О. (6) С этими сн..., с„рассмотрим вектор-функцию х(з) = с~х (т)+... +с„х"($). (7) Она является решением системы х' = А($)х. В силу (6) х($~) = О. Функция х($) ве О удовлетворяет той же системе и начальному условию х(т1) = О. По теореме единственности имеем х(т) вз х(з) гв О. Итак, функция (7) всюду равна нулю, и решения х'($),..., х" (3) линейно зависимы. 72 Доказательство. В этом случае столбцы детерминанта линейно зависимы, а тогда, как известно, он равен нулю.
° в 9. Свойства линейных систем Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 1 имеем ье (1) вв О, а они линейно независимы. 3. Далее рассматриваются решения линейной системы П х' = А($)х, х Е К". Фундаментальной системой ретений называется любая система и линейно независимых решений.
Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем $ь Е (а„й) и любые н линейно независимых векторов Ь',...,Ь" Е И". Пусть х'($),...,х"(с) — решения системы х' = А(1)х с начальными условиями х'(ев) = Ь', 7' = 1,..., н. Эти решения линейно независимы, так как при $ = $ь их значения — линейно независимые векторы Ь~, ..., Ь" и равенство (5) возможно только при с~ — — ... —— с„= О. Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).
Доказательство. В силу свойств линейных уравнений функция (8) при любых с„..., с„является решением. Покажем, 73 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиппены что любое решение х(г) системы выражается формулой (8). Возьмем Фе Е (а, р). Решения х'(г),..., х"($) линейно независимы. Из леммы 3 следует, что их вронскиан И'($е) ~ О.
Расписав покоораинатно равенспю (8) при $ = $е, получаем систему х~($е) = с1х~($е) +... + с„х",(Ц), х„(8е) = с~х„'(Йе) + .. + с„х„"(Фь). Из этой системы неизвестные сы..., с„определяются однозначно, так как детерминант системы есть деГ (х~(те)),.„., „= иг(ге) ~ О. С этими сы..., с„для решения х(Ф) при Ф = Фе справедливо равенство (8). Обе части этого равенства — решения нашей системы. По теореме единственности они должны совпадать при всех $.
Итак, любое решение представимо в виде (8). ° Доказанная теорема означает, что множество решений системы х' = А($)х (х Е К") есть и-мерное линейное пространство. Базисом в этом пространстве служит любая фуипаментальная система решений. Равенство (8) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса. Фундаментальной матриией системы х' = А(г)х называется матрица Х($), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.
Из леммы 3 следует, что де~ Х($) вз йг(г) ~ О. С помощью фундаментальной матрицы Х® общее решение (8) записывается в виде х(г) = Х($)с, где с — вектор-столбец с произвольными координатами сы..., с„(так как Х(1)с — линейная комбинация столбцов матрицы Х($), равная правой части (8) с коэффициентами сы..., с„). 74 в У. Свойства линейных систем г -т Пример 2. Найти линейно независимые решения и фунда- 1 иентальную матрицу для системы х = у, у~ = О.
1 Решение примера. Из второго уравнения имеем у = сг (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем х' = с~. Отсюда х = с~8+ сз. Общее решение есть х = сг$ + сг, у = с~. Полагая с1 — — 1, сг — — О, находим частное решение х~ — — 3, уг —— 1, а полагая с1 — — О, сз —— 1, находим другое решение хз — — 1, уз = О. Их вронсхиан И'(1) = = аа -1~0, и в силу следствия леммы 2 зги решения линейно независимы. Поэтому фундаментальном является матрица Х(1) = Фундаментальная матрица Х(1) удовлетворяет матричному уравнению Х' = А($)Х. В самом деле, пусть хг($) — у'-П столбец матрицы Х($). Тогда (х')' и А(т)х' — у-е столбцы матриц Х' и А($)Х.
Зти столбцы равны, так как хг(т) — решение системы х' = А($)х. Теорема 3 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой). Пусть Х($) — фундаментальная мтприца, С вЂ” неособая (йег С ~ О) постоянная матрица и х и. Тогда У(т) = Х(т)С— фундаментальная маприца той же системы. По этой формуле из данной фундаментальной матрицы Х(с) можно получшпь любую фундаментальную матрицу Щ), подбирая матрицу С. 75 ! ! Глава 3. Линейные дифференциальные уравненил и систены Доказательство. По определению детерминанта (9) 3 где Ьы — элемент 1-й строки и у -го столбца детерминанта Р, сумма берется по всем ай перестановкам Зн...
„Ь чисел 1,..., и; берется знак + (или -), если перестановка четная уб Доказалельство. Пусть с' и у'($) — 1-е столбцы матриц С и У($). Из равенства У($) = Х(Ф)С и правила перемножения матриц следует, что р'(1) = Х(Ф)с',(ь = 1,...,и). Значит, р'($) — решение той же системы х' = А(Ф)х. Далее, бе1У(Ф) = дегХ(Ю) ° дегС;6 О, поэтому решения р'(Ф) (1 = 1,..., п) линейно независимы и матрица У(1) — фундаментальная.
Пусть Х(Ф) и У(1) — фундаментальные матрицы системы х' = А($)х. Подберем такую матрицу С, чтобы У(1) = Х($)С. Для этого умножнм обе части равенства на Х '(Ф) слева и положим 1 = 1е. Получим Х ~(1р)У(Фв) = С. Столбцы матрицы Я(1) = Х(1)С = Х(Ф)Х '(Фь)У(со) — ре" шения той же,системы; 2(1е) = У(1е). По теореме единственности каждый столбец матрицы Я(1) совпадает со столбцом матрицы У(1).
Таким образом, У(Ф) вэ Я(Ф) аэ Х(Ф)С, где С = Х 1(се)У(1е). сес С = бег Х ~(1ь) бег У(Ц) ~ О. ° я У. свойояво линейных соси|ем (нечетная). Так как ЯЬз ° ° ° Ьв) = Ь! Ьз ° ° ° Ьп + Ь! Ьг . ° . Ь +... + Ь! Ьз... Ьл то производная каждого члена в (9) равна сумме и слагаемых, в 1-м слагаемом только ЬЬЬ заменяется на (ЬЬЬ)'.
Так как ЬЬЬ вЂ” элемент ь-й строки в Р, то собирая вместе ь-е слагаемые, получаем детерминант Р| указанного в лемме вида. Поэтому Р = Р|+... +Р„. Доказательство. Столбцы детерминанта 1т(1) — решения системы (10). По лемме 4 И"($) = Р| + ... + Р„, где Р; получается из $К заменой всех элементов х( 1-й строки на их пРоизводные (хь)'.
Так как хз — ь-Я кооРдината У'-го роше|(ия системы (10), то г-я строка в Р; есть Е "Е | %~ е а|ьхь ... з аььх», а остальные строки остаются те же, что в И'(1). Вычитаем из этой строки первую, умноженную на ап, вторую, умноженную на ан, и т.д. до (1 — 1)-й; далее (1+ 1)-ю строку, Глава 3. Линеиные дифференциальные уравнения и системы умноженную на а;;+и ..., п-ю, умноженную на аи. От этого величина детерминанта Рй не меняется. Тогда ь-я строка принимает вид 1 в аих; ...
аих;. Вынося множитель аи, находим, что Р; = аиИ'(й). Тогда ТУ (й) = апИг(й) + амур(й) + ... + а Щй) = в(й)Иг(й), в(й) то же, что в (11). Из уравнения ТГ'(й) = в(й)И'(й) получаем следующее, учитывая лемму 3. Если Иг(йь) = О, то И'(й) вз О; если $Г(йь) ~ О, то И'(й) ~ О, ЪГ'(й)/И'(й) = в(й). Интегрируя обе части равенства от йь до й и освобождаясь от логарифмов, получаем (11).
[5.~ Доказательство. Сумма решений неоднородной и однородной линейных систем есть решение неоднородной системы. Поэтому формула (12) представляет тилько решения неоднородной системы (2). Покажем, что эта формула содержит все решения. Пусть е — любое решение системы (2), а в— ее частное решение, входяшее в формулу (12).
Тогда е — 1в есть решение однородной системы, значит и — т содержится в иьв„,,,кн.. Поэтому и содержится в сумме 1в+ и,ь„ьки,, стоящей в правой части (12). 78 $9. ьвойалва линейных сипаем Метод вариации постоянных позволяет найти решение линейной неоднородной системы (2), если известно общее решение (8) линейной однородной системы х' = А($)х. Для этого в формуле (8) надо заменить постоянные сн..., с„на неизвестные пока функции с~($),...,с„(3), подставить полученное выражение х = с~($)х' + ...
+ с„(1)х" в систему (2) и найти функции с~(й),..., с„(й). Доказательство возможности отыскания этих функций проще провести, записав общее решение системы х' = А(Ф)х в виде х = Х($)с, где Х(3) — фундаментальная матрица этой системы (ее столбцы — линейно независимые решения — векторы х',..., х"), а с — вектор-столбец из постоянных с„..., с„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
