Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При замене у = у~я оно переходит в функцию я вз 1, которая должна быть решением уравнения (26). Следовательно, Ь„($) яа О. А тогда новая замена в' = о приводит (26) к уравнению (и — 1)-го порядка Ье(Ф)о1" 1)+Ь1($)о1" )+... +Ь„~(Ф)о = О. (27) Если у уравнения (18) были известны два или более линейно независимых частных решения, то из них с помошью указанных выше замен можно получить одно (или более) частных решений уравнения (27).
С их помощью порядок уравнения можно понижать и далее. 87 Глава 3. Линейные дифференциальные уравненил и сисгпемы Линейное уравнение 2-го порядка с известным частным решением у(1) ~ О изложенным выше методом приводится к уравнению Ьо(1)е'+Ь|($)е = О, которое легко решается. Другой способ решения (с разобранным примером) линейного уравнения 2-го порядка при известном решении уг(1) ~ О см. 1121, 3 12, п.2. ! Задачи для упражнений: [12], а12, В681-701, 704, 705; 622, Мбб, 61, 62.
4. Линейное неоднородное уравнение и-го порядка исследуется П аналогично линейной неоднородной системе. Доказательство проводится подобно доказательству теоремы 5. Пример б (использование свейств решений линейных ! уравнений). Даны три решения уг — — 4+ 2, у2 = 1 — 1, уз — — $ +1 линейного неоднородного уравнения 2-го поряд- 2 ! ха. а) Найти общее решение этого уравнения. 6) Написать ! это уравнение. 1 с Решение примера.
а) Дяя общего решения неоднородного уравнения имеем равенство (28). Общее решение однородного уравнения 88 Я 10. Линейные уравнения любого порядка по теореме б есть а,шь,хн. —— с~в~ + огиз, где а1 н аз — линейно незавнснные решения однородного уравнения. В силу общих свойств линейных уравнений можно взять и1 — — уз — уг = Ф + 1, вз — — уз -у~ — — Ф - 2. Решения в~ н из линейно независимы, так 2 как нх вронскнан и'=~ 1 2, ~=1'+21+2~0. ~1+1 сз-2~ Следовательно, иыь„.„. — — сги1 + сгаг — — сг(1+ 1) + с~($~ — 2), а уча , ~®, —— Ф + 2 + с~(Ф + 1) + сг(Ф~ — 2). б) Однородное уравнение, имеющее решения и~ — — $+ 1, вз — — сг — 2, дается форнулой (25), то есть 1+1 $~ — 2 и 1 21 а' О 2 ии =О, (Ф +21+2)а"-(21+2)а'+2и=О.
Чтобы получить неоднородное уравнение с той же левой частью и частным решением у~ — — 1+2, подставим в = 1+2 в левую часть уравнения. Получив, что она равна 2. Значит, искомое уравнение есть (Фз + 2Ф + 2)у" — (2$ + 2)у'+ 2у = 2. ! Задачи дяя упражнений: [12], $22, гв 57-бО. ;!' (29) у= агу~+...+с,у„ однородного уравнения (18). Здесь уп..., у„— линейно неза- висимые решения уравнения (18), сн..., с„— произвольные постоянные.
Метод вариации постоянных позволяет найти решение линейного неоднородного уравнения (14), если известно общее решение Глава 3. Линейные дифференциальные уравненилтг сиопемы 1 Пример 7. 1 1 1 зная общее нения. Решить уравнение 1 ($ + 1)у' — 2$у'+ 2у = б($ + 1), 1 решение у = с1$+ сз(зз — 1) однородного урав- Решение примера.
Здесь у1 = 3, уз — — $ — 1, позтому у~1 — — 1, К=:и.п е ~~~во> 6(зз+ 1) Отсюда получаем с',=б-бзз, сз=бз. Значит, с1($)=68-21з+сп, сз(Ф) = ЗФ +сз1, сзн и си — произвольные постоянные. Получаем 90 Решение неоднородного уравнения (14) получается из (29), если заменить с1,..., с„на функции от $, которые надо найти. Так как уравнение (14) заменой (15) сводится к системе (16), то можно воспользоваться результатом, полученным в $9 для системы, т.
е. искать производные с',(8),..., ~" (с) из линейной алгебраической системы () ю() (30) Здесь Х(з) — фундаментальная матрица однородной (с 7 вз О) системы (16). Для з = 1,...,и з-й столбец матрицы Х(з) в силу (15) состоит из функций уо у,',..., у1~" 1 (у; см. в (29)); векторы-столбцы т с'(С) = Я(1),...,с'„(1))т, У'(1) = (0,...,0, '() ) . Найдя из системы (30) функции ~Г(1), проинтегрировав и затем подставив с;(Ф) в (29), получим решение уравнения (14).
в 10. Линейные уравнения любого порядка искомое решение у = с,(1)1 + о,(1)(1' — 1) = = (бФ вЂ” 2$ + сп)Ф + (31 + ог~)(1 — 1) = = Ф~ + ЗФ~ + с~ 1 + ог~(Ф~ — 1). ! Задачи длл упражненийг [121, 812, 10702, 703. 9юиваеааФ П 5. Линейное уравнение и-го порядка заменой (! 5) сводится к системе уравнений, поэтому многие свойства уравнений следуют из аналогичных свойств систем. В частности, для уравнения (18) с коэффициентами вида ач(1) = ам+ епГ' + сои +...
(4 = 1,..., н), ее и 1, утверждение о поведении решений при 1- со следует из аналогичного утверждения для системы, см. п. б 89. Метсиами аналитической теории дифференциальных уравнений исследовано ([30[, гл.4, 88) поведение при 1-+ 0 решений уравнения 1",(1)уев+1 'е,(1)и<"-О+... + о„(1)у = О, где функции аю(1) аналитические, ае(0) за О.
Для линейного неоднородного уравнения (14) с ее ш 1 известно ([9], гл. 5, О 4, п.5) представление частного решения формулой Кеши кя=~кю. ж)м (иод г(~)=- =и~ "(~) 0). и Как функция от Ф, функция Коши К(Ф, в) удовлетворяет уравнению (18) с начальными условиями при г = в Пример 8. Найти частное решение уравнения 8 + у = 7(Ф). 1 1 Гвава Э.
Линейные дифференциальные уравнения и системы Решение примера. Сначала найден функцию Коши. уравнению р" +у = 0 и условиям у(0) = О, у'(0) = 1 удовлетворяет функция у = в(пй а )кловмям у(а) = О, у,'(а) = 1 — «сдвинутая» на а функция, т.е. у(Ф) = шп(Ф вЂ” в). Беря К((,в) = агп(г — а), получаем представление искомого решения формулой Коши у(г) = шп (г — а)у(а) гЬ. о 5 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами — важный класс дифференциальных уравнений. Их решения выражаются через элементарные функции или через элементарные функции и неопределенные интегралы. К таким уравнениям сводится ряд задач из теоретической механики и электротехники, см. примеры в конце 511.
~:(.~ Линейное однородное урааптпге с постояпггыми коэффиипеитавщ имеет вид р(в) ) и р(я !)+ +~у 1) О (31) где ао,..., и„— любые числа. Будем считать, что ао уе О, так как всегда можно начать записывать уравнение с первого отличного от нуля коэффициента, и что все аг вещественны. Левую часп уравнения обозначим Ь(р). Ищем решение уравнения (31) в виде р = е~. Подставляя в уравнение и сокращая на е, получаем характеристическое в 11. Линейные уравнения с поапоянными коэффиииено!ами уравнение аоЛ" + а!Л" ' + ... + а = О, (32) короче, М(Л) = О.
Следовательно, функция р = ем удовлетворяет'уравнению (31) тогда и только тогда, когда Л вЂ” корень уравнения (32). Из алгебры известно, что уравнение (32) имеет и корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если все корни различные, то есть простые, то уравнение (31) имеет и решений р = е"!!(у = 1,...,п). Покажем, что эти решения линейно независимы. Их вронскиан равен я,! Ле' !е 1„! Л е1! 1 ... 1 Л, ... Л„ е(1!+ "+я 1! Ле-! Лв-! ! .. и Л! е ... л„° е р = с!е ' + ... + с„е"' (33) (теоремы 2 и 6 об общем решении и используемая в доказательствах теорема единственности справедливы и для линейных систем с комплексными решениями в силу леммы 1 в 9).
Если все корни Л вещественны, то формула (33) с произвольными вещественными с дает вещественное общее решение. Пусп теперь среди корней Л. есть комплексные. Тогда для каждого комплексного корня, например, Л! — — се+,Я, !б ~ О, имеется сопряженный корень Л! — — а —,Я. Им соответствуют 93 Последний детерминант в алгебре называется детерминантом Вандермонда. Он не равен нулю тогда и только тогда, когда все числа Л различные. Значит, если все Л различные, то решения е~", ..., е"' уравнения (3!) линейно независимы, и общее решение имеет вид Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы комплексные решения у! = е = и! + 2и2, 92 = е = и! — ти2, (34) и! — — е соа Я, и2 — — е вш 1М.
Функции и2, и2 — решения, так как и! — — (у! + у2)/2, и2 = (у! — 92)/(2в). Заменим в фундаментальной системе у2,..., у„ каждую пару комплексно сопряженных решений вида у2, у2 парой вещественных решений вида и2, и2, а для вещественных решений у. = е ! положим и! = у!. 2! Покажем, что полученные вещественные решения и2,..., и„ линейно независимы на любом интервале ($2, $2). Предположим, что для некоторых (вещественных или комплексных) Ь2,..., Ь„ имеем Ь2и! + ... + Ь„н„ш О прн 2! ( 2 ( 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
