Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из первых трех уравнений имеем Ь = у = 2И. Подставляя в остальные уравнения, получаса а — 2с = 2г1, 2с- Г = -а', 2а — 27 = 2а. Все неизвестные иожно выразить через с и а. Инеем а = 2с+2И, Г = 2с+ а. Полагая г! = с„с = с, получаем Ь = д = 2с,, а = 2с, + 2с, 7 = с, + 2с . Подставляя это в (77) и прибавляя частное решение (76), уиноженное на сз, получаем общее решение системы: х =(2с,с+2с, +2с)с'+сзс ~, у = (с,$+сз)с'+2сзс ~, х = (2сг1 + с~ + 2сз)с~ — 2сзс"~.
132 1 -2 О А — ЛВ= О -2 1 2 О -2 т=2, гтг = и — т = 3 — 2 = 1, в = Ь вЂ” ги = 1. Я 14. Линейных сиолемы с постоянными коэффициенгпоми ! Задачи для упражнении: [12], $14, (й 786-812; $23, (и 96-98, 105. 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффици- П ентами. Решение такой системы всегда можно получить методом вариации постоянных (п.5 $9).
При этом используется интегрирование. Однако в случае, когда неоднородности у;(с) в системе (70) выражахпся только через суммы и произведения функций а$~, еп, соз,8$, зш ф$, частное решение системы можно найти без интегрирования — методом неопределенных коэффициентов, как показывается ниже. Так какрешение системы х' = Ах+У ($)+" +У (1) равно сумме решений систем (х~)' = Ах' + Уу(1) (7' = 1,, г), а синусы и косинусы по формулам Эйлера выражаются через показательные функции, то достаточно указать вид частного решения СИСТЕМЫ Х' = АХ+ рЯЕИ, ГдЕ р(1) = а $~+ ам, $ ' +... + ОЕ, ае, ", а — векторы. Сделав с этой системой те же преобразования, что в п.
3 с системой,х' = Ах, получаем вместо (74) систему я, = я2+ р,($)е(т хь, = яь+рь ((1)е у Ф (т-хд р~ (1) е(7- Чг где р,'.($) — многочлеиы степени не выше ш. Из этой системы последовательно находим яь, яь,,..., я,. Возможны два случая. Если у — Л 7Е О, то р (1)е(™ Ф = д'(1)е(т 133 Глиеи'3. Линейные дифференциальные уравнения и сиопемы Пример 23. Решить систему ! х' = Зх — 2у+ $е~, 1 / Р = х + Р + 4е соя 1 ь. 1 1 1 1 1 Решение примера. Общее решение однородной системы получено в примере 21, здесь Л~ з — — 2 ~ з. Для неоднородностей $е н где д'($) — многочлен той же степени, что р'„($).
Здесь и далее постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как ищется частное решение. Аналогично отыскиваются яь,, ..., я,. Получаем вь . =а (1)е< где д,'(1) — многочлены степени не выше пз. Если же у- Л = О, то е1т "" вз 1, и каждый раз интегрируется только многочлен. Ог этого его степень повышается на 1. После й интегрирований степень повышается на й. Значит, в этом случае я; = й; ($), з = 1,..., й, где а,'.($) — многочлены степени не выше из+ й. Возвращаясь от Функций яг к у, и затем к х,, получаем, что система имеет частное решение вида х; = у,(1)ет» (з = 1,..., и), (78) где д,($) — многочлен степени не выше пз, если у не совпадает ни с одним из корней Л и степени не выше из+ й., если 7 совпадает с корнем Л ", число й, равно размеру найбольшей из жордановых клеток, содержащих Л .
Следовательно, й на 1 больше наибольшей степени многочленов, умножаемых на е">' в общем решении однородной системы. $ 14. Линейные сиспшмы с попполнными коэффиииентоми 4е" сов 1 числа 7 = 2 и Т = 2+в различны, позтому надо решить две системы х' = Зх — 2у+ $е~, у' = х+ у; (79) х' = Зх — 2у, у' = х+ у + 4е ' сов 1 = = х+ у+ Ке 4е1 +'". (80) Для системы (79) 7 = 2 ~ Л, поэтому частное решение х,=(аз+Ь)е~, у, =(ос+а)е~.
Подставляя в (79), находки а = Ь = с = 1, а = О. Значит х, =(1+1)е, у, =йе . В системе (80) заменяем 4е" совз на 4е<зьО'. Число 4 рассматриваем как многочлен степени О. Так как 7 = 2 + в = Л,, й = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и ( 1 ) 12+в)Ф ь ( В ) (2+ау Подставляя в систему с отброшенным "Ке ", получаем (1 — в)р = 2з, (1+ в)з = р; р = (1 — в)д — 2е, з + (1+ 1)е = 9+ 4. уравнения зависимы, решений иного.
Берем частное решение, например е = О, 9 = 21 — 2, е = 2з + 2, р = 4з. Тогда х' = (4гв + 21 — 2)е1~+'и, Уз = (2з+ 2)веф+Ог, хз = Кс хз = е [-2 сов в — (44+ 2) шп Ц, уз = Ксуз = е (2в савв — 2вв1пв). Общее решение системы х = хе + х, + хз, у = уц + у, + уз, где х, уе — решение однородной системы (пример 21), а х,, у,, хз, у найдены здесь. < 135 6 Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и спалены ! Задачи для упражнений [12], 5 14, «й 826-845 и В 846-850. ° ееееаевФ [] Б. Системы уравнений, не приведеннме к нормальному виду < оьх( «+о,х( «+...+о х+Ьу(«+Ь,у( «+...+Ь„у=О, (г«+ (««+ + .+д (г«.«.,1 (г-О+ +,у у 0 обладают свойствами, отличнмми от свойств систем вида (70). Согласно [7], 5 11 все решения являются линейнмми комбинациями решений вида х = г(1)е"', у = а(1)е"', тле Л вЂ” любой корень характеристического уравнения М(Л) = О, г(1) и в(1) — многочлены, степень которых меньше кратности Ь корня Л (если Ь = 1, то г и а — числа), о Л +а Л +....+о Ь Л" +Ь Л ~+...+Ь соЛг+с,ЛУ"4+...+с, деЛг+А1ЛУ '+...+А, Многочленм г($) и а(Ф) могут быть найдены мепшом неопределенных козффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений.
См. задачи в [12], 6 14, М 813-825.' б. Известно много способов решения линейных систем с постоянны[] ми коэффициентами. Если известны не только числа Л, но и базис, в котором матрица А имеет жорданову форму, то решение системы х' = Ах пишется в явном виде ([7], теорема 11; [12], 5 14, п. 3).
Операционный метод решения линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами изложен в [5], 524. Известны условия существования периодического решения системы х' = Ах+ у($) с периодической вектор-функцией Г(1) ([2], гл.4, $7, п.3). Ф ееаее46 136 в 15. Паяазхиаяьиая функция нхпрацы $15.
Показательная функция матрицы Показательная функция матрицы используется при изучении решений линейных систем с постоянными и с периодическими коэффициентами. Здесь рассматриваются свойства этой функции, а также некоторых других функций матриц. 1. Пусп А и  — квадратные матрицы порядка и, Е— П единичная матрица, а;, Ь, с — постоянные числа. Из линейной алгебры известны следующие действия над матрицами: А + В, сА, АВ, А~, А~,...; А ',А ~=А А,... (если ггегА~О).
Поэтому для каждого впебраического многочлена р(х) = а + а,х+... + аьх можно определить матрицу р(А) = авЕ+ а,А+... + аьА . ° ° й и О(х) = Ь+Ь,х+" +Ь и" 1(х) = р(х)й(х) Й(х) Га О) в случае дег а(А) ге О можно определить У(А) = р(А)(д(А)) ' га (а(А)) 'р(А) Последнее равенство получается путем умножения очевидного равенства а(А)р(А) га р(А)а(А) слева и справа на (а(А)) '. ° евеаавеееечв Операции предельного перехода, дифференцирования, интегрирования производятся с каждым элементом матрицы отдельно. Например, А(1) = (агу(1))г Г г „, А'(1) = (а'; (1));„г 137 Гяава 3. Линебные дифференциальные уравнения и систены Другие функции матриц можно определить с помощью рядов.
Ряд матриц Аб>+А<~>+... называется сходящимся к матрице Я, если для Любых В,Я = 1,..., И ряд а(1);у + а(об + ... Из $Я-Х элементов этих матриц сходится к Ц-му элементу матрицы Я. Аналогично определяется абсолилная сходимость ряда матриц, а также равномерная сходимость, если элементы матрицы являются функциями. Теоремы о непрерывности суммы ряда и о почленном дифференцировании и интегрировании рядов остаются справедливыми и для рядов матриц.
Это следует из предыдущих определений и из того, что для рядов, составленных из Ц-х элементов матриц, эти теоремы справедливы. Даказая2вяьапва. Для любых ь', у имеем !а(„,,(ЮИ < 1! А, >(Ю) 11 < а„. Поэтому для всех ь, у ряды а,>,"Я+а<2>, (с)+... сходятся абсолютно и равномерно на Ю, значит, ряд матриц — тоже.
° 138 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиовены 2' Имеем ~~е'" = Ае'". В самом деле, дифференцируя почленно ряд (81), получаем А+ -А + -А +... = А~Я+ -А+-А +.../ = Ае г ь з ~г т с г т и 1! 2! 1, В 2! Левый ряд равномерно сходится в любом круге ф ( $„так как в силу оценок в лемме 11.
Позтому почленное дифференцирование законно. Следствие 3. беге'" = е", я = ап + а г+... + а„„вЂ” омд нигярицы А. 140 Я 15. Показшнеяьная функция мшнрицы ' 1 д„Г4 -3~ Пример 24. Найти е'", если А = ~ ) . ! ~,2 -1) ' Решение примера. Найден два решения системы х'=Ах (х Е1с~) с начальными условиями ~О) и ~ ) соответственно, и составим из них матрицу е~. Составляен и решаен характеристическое уравнение ! =Л -ЗЛ+2=0, Л~ — 1, Лз — 2.
Находим собственные векторы Л=2; 2 -3 б О ' б=2. Общее решение х = с е' ~ ) +с еш ~ ). Начальное условие *'(О)=,' д с +сз —— , с =-2, сз — — 1; х,($) = -2е' + е" 141 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапеиы Начальное 1кловие хг(0) = ~ ) дает Го~ И с, +сг =, с,=З сг=-1; х (г)=Зе — е Из найденных решений составляем матрицу - 2е' + Зе~ Зе' — Зе -2е'+2е Зе' — 2е / ~ЗД Функции диагональной и гкордаиовой матриц. Пусть матрица В имеет жорданову форму Л,.
1 Л,1 О ог В= %= =Л;Е+Р, 0 х, 0 0 1 (85) 1 0 о или Х, имеет размер 1 х 1 и состоит из одного числа Л,. При определении функции У(В) сходяигимся степенным рядом (рядом (81) или рядом с другими коэффициентами) все я 15. 0аказгкпельнал 4ункаая маприцы действия с В провалятся с каждой клеткой К, отдельно, поэто- му матрица у(В) состоит из клеток 1(К,),..., 1(Х~), располо- женных на главной диагонали, а остальные элементы матрицы 1(В) — нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
