Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 26
Текст из файла (страница 26)
По прог(положению индукции, все х ($,р) Е Ся' ' по р. Значйт, в (2) сложная функция д — А(3.х1(~.р) " х.(~ р) р) дх принадлежит С ' по р; аналогично дл/др; также а'(р) Е С'" '. По предположению индукции, примененному к системе (2), решение и,,..., в„системы (2) принадлежит С по р. Так каки; =дх;/дя, то х;($,~и) Е С по р. ° 5 24. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений 1. Асимптотические методы позволяют отыскивать прибли- П женные решения дифференциальных уравнений (или систем), близких к таким уравнениям (или системам), решения которых известны.
В прикладных задачах часто бывает, что на течение рассматриваемого физического процесса влияют как основные факторы, определяющие ход процесса, так и другие факторы, оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные характеристики процесса. При учете только основных факторов можно получить точное решение системы уравнений, а при учете всех известных факторов система становится сложной и не решается. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют найти решение с нужной точностью.
202 2. Разложение решения по степеням малого параметра — один П из наиболее употребительных асимптотических методов. Здесь х(Ф, р) и ег(Ф) — и-мерные вектор-функции, ое(Ф) ез х(1, О) есть решение системы (1) при !н = О, оно считается известным. Чтобы найти ег(Ф),..., э (Ф), надо подставить разложение (12) в систему (1) и начальные условия, и разлолсить правые части по степеням зз до р включительно. Далее надо приравнять коэфФициенты при одинаковых степенях зз. Получается для е,,..., е,„система дифференциальных уравнений с начальными условиями.
Последовательно решая уравнения системы и пользуясь начальными условиями, находим ег($),..., е (з). Решение примера. Правая часть уравнения в области х ) 0 имеет производные любого порядка по х,р. Условия теоремы 2 203 я 24. Асимппгопгические методы Решения Пример 2. Найти разложение решения задачи ! ! Нх $ 2 Ф И ! — = — — 21зс~, х(!) = 1 — — +— ! ез х 2 8 ! по степеням параметра !н до Зз~ включительно. ! ! ! (13) ! ! ! ! ! Глава 5. Дпфференцируемосгпь решения по парамегпру 1+ 1ио! + 7г~е' +... = — 2рФ, (14) +!ио1+р пг+''' 1+ ре (1)+Фгог(1)+... =1 !и !и 2 " 2 8 Разлагаем дробь в (14) по степеням 71, члены с 1иь, й > 2, не лишен. $+!ио +!иге +...
1+!из !е +7!21 !е +... =1 — — е+ — о+... + — о+... =1 — — Ф вЂ” — 9+ 9 +.. 1и 1и 2 $1 1 2 $2 ! Подставляем зто в (14) и приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях параметра дн 1 о (1) = --' 2' 1 2( ) 8 при р: е! — — — — — 2$, г Ф (1б) 2 2. ! Вг 1 при р: Фг= — — + —, 2 1 12' (17) Здесь начальные условия получены из (15).
Все дифференциальные уравнения для о,,..., вш всегда линейные. Из (16) получаем 204 выполнены для любом т„пока решение задачи (13) с 72 = 0 проходит в области х > О. При р = 0 задача (13) принимает вид Нх/Ю = Ф/х, х(1) = 1, и имеет решение х(1) = Ф, оно, проходит в области х > 0 при Ф > О. Поэтому ое(Ф) = Ф (Ф > 0). Разложенрй х = 1+ рго1+1игег+ о(72~) подставляем в уравнение и начальные условия (13), члены порядка о(1и ) не пишем.
$ 24. Асимптотическое методы решения е, = -Т. Подставляя это в (17), находим еэ — — 121 + 11. Итак, ! 2 1 1 2 х(1) =1 — 7г-+р ~ — + — ! +а(~и ). (18) 2 1,121 24 1 Так как условия теоремы 2 выполнены для любого пь > 2, то следующий член разложения имеет вид р~е (Ф) и, не находя еэ, в (18) вместо а(р~) можно написать 0(7э~). ! Задачи для упражнений: (12), ф 18, В 1074-1078. 1 3 1) Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2 и теорема 3 дают условия существования периодических решений соответственно для линейной системы с периодической правой частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и указывают методы отыскания таких решений. Дакаэапельстеа. Так как х'„(р) = ~(р, х(р)) = ~(0, х(0)) = х„' (О), то продолженная с периодом р функция х(1) Е С'.
Она всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого Й Е Е имеем х'($+ 7гр) = х'(1) = 7(1, х(1)) = 7(1+ йр, х($+ йр)). ° 205 Главе д. Диффврвнцирувмость решения по парометру Условие (19) называется условием отсутствия резонанса. Докоэхпвльство. Пусть е(1)' — частное решение данной системы с и(0) = О. В силу теоремы 5 $9 и следствия 1 в 15 общее решение имеет вид х = е'~Ь+ е($), где Ь вЂ” произвольный вектор из !й".
Чтобы это решение имело период р, по лемме! надо, чтобы х(р) = х(0). То есть еэ~Ь+ е(р) = Ь+ е(0), (еэ~ — Е)Ь = -е(р). Это — линейная алгебраическая система относительно неизвестных координат вектора Ь. Для существования единственного решения достаточно, чтобы де! (его — 1 ° Е) ~ О, то есть чтобы матрица е"" не имела собственных значений, равных 1. Если Л,,..., ˄— собственные значения матрицы А, то согласно замечанию в 9 15 е~"' имеет собственные значения еэь', Т = 1,...,в.
Для Л = а+!Я имеем еэь = еэ (сыр!5+ Тз1прр). Это число равно 1 только в случае о = О, р!5 = 2яй, Ь = О, ~1, х2,.... Поэтому при условии (19) имеем еэ~ эь 1. Теорема 3. Пусть функции у($), д(э, х, р) непрерывны при х б 1~", ($, х) б Р, !ф < р,, имеют период р по Ф; д Е С'" по 206 Ц 24. Ясимтпоаические меоюды решении Докозотельапво. Пусть х(1; Ь, р) — решение системы (20) с начальным условием х(0; и) = Ь.
По лемме 1 оно будет иметь период р, если х(р; Ь, ~и) — Ь = О. (21) Докажем, что при малых р существует Ь б К", удовлетворяющее уравнению (21). Функция х(р; Ь, р) б С по Ь, р в силу теоремы 2. При и = 0 уравнение (20) линейное, как в лемме 2, уравнение (21) принимает вид (ее~ — Е)Ь = -и(р), бег (ее~ — Е) ~ 0 (22) и имеет единственное решение Ь. Далее, якобиан левой части равенства (2!) по координатам Ь,,..., Ь„вектора Ь при и = 0 совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю. Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при достаточно малых 1в имеет решение Ь = Ь(р), стремящееся к Ь при р -+ О, такое решение единственно и Ь(~и) б С~. Тогда решение х(1; Ь(1а), р) б С"' по р, и в силу (21) и леммы 1 имеет период р.
Глава д. Дифференцируемосгпь решения по параметру Замечание. Пусть дано уравнение у~" + а!у~" ' +... + а„у = у(1)+ рд(1, у, р) (24) с постоянными коэффициентами а! и непрерывными функциями у, д периода р по 1 и д Е С" по у, и, а корни Л характеристического уравнения удовлетворяют условию (19). Тоща для отыскания решения периода р не нужно переходить от уравнения (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12), где теперь иг(Ф) — скалярные функции с периодом р. Найти с точностью о(р~) периодическое решение 1 и . 2 1 х + Зх = 2 вгпс+ рх .
(25) 1 Пример 3 ! уравнения 1 решение примера. Здесь р = 2я, Л + 3 = О, Л = Ыс/3 ~ 2яйт/р = Ы (Ь Е Е), условие (19) выполнено. Ищем периодическое решение в виде х = ее+ ро! + р ог+.... Подставляя г в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систеиу уравнений к ° 2 и ие + Зов = 2в!пг, о! + Зе! = ив, ог + Зег — — 2иво„.... 208 Доказшпельслгео. Решение х(1, Ь(р), 1и) Е С по,и, поэтому имеет разложение вида (12).
Следовательно, х(1 + р, Ь(р), р) — и ($, Ь(р), !и) = = ав + !г!!и+... + 11„,12 + о(гх™), (23) где И! = ог(Ф+р) -ог(1), Ь = 0,1,..., гтг. В силу периодичности решения левая часть в (23) равна нулю, поэтому все д! = О, то есть о!(в+ р) га и!($). я 24. Асимллгошические методы решения Надо найти решения ое, е,, ог с периодом 2х.
Для каждого иэ этих уравнений надо найти лишь частное решение (методом неопределенных коэффициентов), так как по теореме 3 при выполнении условия (19) решение с периодом р единственно. Последовательно нахоДим ев —— Япе; о",+ Зе, = Япге = 1/2 — 1/2сов21, о, = 1/6+ 1/2см21. Подставляя ие и и, в уравнение для ог, имеем /1 1 т 1. 1 е" + Зе = 2 вш1 ~- + - сов 21~ = -- вш1+ - яп 3$. г г ~6 2 Отсюда находим 1 . 1 и =- — япФ вЂ” — в1пЗФ.
12 12 Следовательно, г/ х = в!ив+~и ~-+- сов 21(+р ~- — вш $- — яп 31) +о(р ). ~6 2 / ~ 12 12 Как в примере 2, вместо о(р~) можно написать О(1г~). < Дь] К системе вида (20) сводится задача о вынужденных колебаниях автономной системы вблизи положения равновесия, вызываемых периодическим малым внешним воздействием. Рассмотрим систему х' = Р(х) + рЯ), ~(1+ р) ав ~(Ф), х = (хм..., х„)т. (26) Пусть хе — положение равновесия при ги = О, то есть Р(х ) = О; р — малое число, функция З'(1) непрерывна, Р(х) Е С,""+' (пг > 1) в окрестности точки хе.
Замена х = х + ир дает рр' = Р(х + ру) + ги~(1). Так как Р(хе) = О, то по формуле Тейлора Р(х +Фу)=рву+и(» р) в= ~ — о / ~ОР,.(хе) ~ ~ О*,' Л„,,,' 209 Глава д. дифференцируемослгь решения по парамелгру Остаточный член т б См+1 (ибо другие члены в равенстве принадлежат С '"'), т = р~д(у, Я. Получаем систему вида (20) у'=Ау+з($)+рд(у,р), дбС . (27) г Пример 4. Рассмотрии уравнение 1 х +2х+х -1=рьш$ (хбК).
1 ! (28) 1 Решение примера. При р = 0 положения равновесия х1 — — 1 и хт — — -1. Найден периодическое решение, близкое к х = 1. Замена х = 1 + 1ну дает у' + 2у'+ 2у = яп $ — ру . (29) Здесь р = 21г, Л = -1 х в ~ 2хИ/р (Ь б У), условие (19) выполнено. Поэтому при малых р уравнение (29) имеет решение периода 21г и вида у = и (Ф) + 7ьи1(Ф) +..., где все еь(Ф) имеют период 21г.
Подставляя это в (29), получаем, как в примере 3, и г и ю г ио + 2ио + 2ио — — вш Ф, и1 + 2и1 + 2е1 = -ио Отсюда находии ио —— ассам+ Ьяпь, а = -2/5; Ь = 1/5; ео~ — — 1/10+3/50сов2$-2/25я1п2в, и, = Ь+ссоь 21+тяп 21, 7ь = -1/20, с = -1/100, А = -1/50 и т.д. Следовательно, /2 '1 х = 1+7ьу = 1+ р~--сов1+ — яп1 + 5 5 2 1 . ~ 3 +1н ~- — — — сов2$ — — яп21(+О(1н ). 20 100 50 (30) 210 Если собственные значения матрицы А удовлетворяют усло- вию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при достаточно малых ~ф имеет решение с периодом р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
