Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предположим, что в некоторой окрестности ТГ С И' существует первый интеграл «(х,,хз). Тогда «(х„гз) = с = сопят на траехторнн, стремящейся к точке Р. По непрерывности, «(Р) = с. Значит, на всех траекторнях, стремящихся к Р, имеем «(х,,хз) = с = «(Р), то есть « аа с в окрестности точки Р. Тогда д«/Вху ва 0 (у = 1, 2), ранг матрнцы (д«/дх„ д«/дхз) = гапй(0, 0) = 0 < 1, н первый интеграл « = с не является независимым. 218 а 25. Первые интегралы ~Я Симметричная форма системы дифференциальных уравне- ний — это такая запись системы, в которой ни одно из перемен- ных не взято за независимое переменное, поэтому в уравнения входят не производные, а дифференциалы.
Например, дахр Их Их М * " х.) Мх * ""хо) А(х х*" х.) (40) — система в симметричной форме. Если обозначить общую величину всех дробей-через Ж, то система (40) приведется к ав- тономной системе йю,. — ' = ~~(хо, х„...,х„), 1 = О, 1,...,п. В области, где какая-либо из функций Д, не равна нулю, система (40) равносильна сисгеме 4х /йх; = У /У,, у = 0,1,..., п; я' ф Ф (3 фиксировано,,~; зе О). Обратно, систему (31) нормального вида можно записать в симметричной форме (40), взяв х = $, уо вз 1.
Симметричная запись системы часто облегчает отыскание первых интегралов. 219 ~5Д О решении нелинейных систем. Отыскать решение с помощью конечного числа действий удается лишь для некоторых несложных систем. При исключении неизвестных непосредственно из данной системы получается уравнение с производными более высокого порядка, решать которое бывает не летуче, чем данную систему. Чаще удается решить систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.
Иитегрируемая комбинация — зто или комбинация уравнений системы, содержащая только две переменные рнаеа 5. дифференцируемасть решения па параметру Пример 5. Найти решения системы Их Иу Их ! 1 х у хг+уг+х г 1 1 (41) ! Решение примера. Две первые дроби дают интегрируеную комбинацию Их/х = г(у/у. Отсюда у = с,х. Далее можно или исключить у из системы, подставив у = с,х, или искать вторую интегрируемую коибинацию. Первый путь дает Их сЬ Ия х — = х(1+ сг) + —. х х дх ' х Это уравнение — линейное относительно х. Решая его, получаем х = сгх + (1 + сг)хг.
Это равенство вместе с у = сгх дает решения систеиы, не лежащие в плоскости х = О. Если же х = О, то из равенства двух последних дробей в (41) имеем ая — =у+ —, х=с у+уз (х=О). (42) Ф у' Если же искать вторую интегрируемую комбинацию, то удобно использовать известное свойство равных дробей: аг аг а аг + аг + ... + а аг если — = — = ...
= †", то иг ин ~ + "г+".+'г (величины аг и 1ь можно умножить на одно и то же йг). 220 гюличины и представляющая собой дифференциальное уравнение, которое можно решить, или такая комбинация, обе части которой являются полными дифференциалами. Из каждой интегрируегяой комбинации получается первый интеграл данной системы. При исключении неизвестных из данной системы с помощью первых интегралов порядок производных не повышается. б Яб.
Уравнения с чванными производными первого порядка В данном примере можно написать стараясь получить полный дифференцишь Нх 2х дх 2у Ыу бя Ых — 2х бх — 2у бу х 2хг 2уг ' х+ хг+уз я — хг — уг Последняя дробь есть полный дифференциал. Она равна первой дроби бх/х. Это — интегрируеиая комбинация. Из нее получаем еще один первый интеграл я — хг— (43) Этот первый интеграл и ранее полученный у/х = с, независимы, так как в (43) входит я, а в ранее полученный — не входит. Формулы (43) и у/х = с, дают решение смстемы (41) при х ~ О. При х = О имеем еще решение (42). ! Задачи дяя упражнений: (12], 6 19, ЗД 1146-1160, 5 2б. Уравнения с частными производными первого порядка 1.
Рассмотрим линейное однородное уравнение П дх дз а — +...+а — =О, 'дх "дх ! и (44) 221 Такие уравнения рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений потому, что их решение сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными более высокого порядка рассматриваются в отдельном курсе. Глава 5. Дифференцируеиасть решения яа яараметру где в(х„..., х„) — искомая функция, а и „..., а„— известные функции от х„..., х„. Считаем, по аг Е С' (4 = 1,..., и), 2+ + 2~О Доказательства.
Любой первый интеграл е системы (45) удовлетворяет уравнению (32), где теперь у; = а, (4 = 1,..., и). По условию де/Ж = О, поэтому (32) совпадает с (44). Обратно, если функция я Е С удовлепюряет уравнению (44), то полная производная от л в силу системы (45) равна левой части (44), значит, равна нулю. Тогда функция в постоянна вдоль решений системы (45) и является ее первым интегралом. Доказательство.
Функции е; постоянны вдоль траекторий системы (45), то есть вдоль решений системы (46). Позтому е, — первые интегралы для (46). Первые интегралы 222 б Яб. Уравнения с частными производными первого порлдка удовлепюряют уравнению (32), то есть в нашем случае д«в а — '+...+а — =О. 'дх (47) 1 В Первые интегралы системы (46) независимы, если ранг матрицы А = (д«;/дх );=~,...м ~, равен и — 1, а для системы (45) независимы, если ранг матрицы А, равен и — 1.
Матрица А, получается добавлением к А столбца д«,/дх, (4 = 1,..., в — 1). Так как а, ~ О, то в силу (47) этот столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы А. Поэтому ранги матриц А и А, совпадают (ранг матрицы— число линейно независимых столбцов), и из независимости «„..., «„для системы (45) следует их независимость и для системы (46). Теорема 9. Если «;(х„..., х„) (4 = 1,..., и — 1) — независимые первые интегралы системы (45) в области Р, то в окрестноапи любой точки М Е Р общее решение уравнения (44) имеет вид я = Р(«~(х,,..., х„),..., «„,(х,,..., х„)), (48) где гг — произвольная функция класса С~. Уо есть в этой окрестноапи формула (48) содержит все решения уравнения (44) и только ик.
Доказхпельппво. При любой Р Е С' функция (48) постоянна вдоль решения системы (45), поэтому является ее первым интегралом. По теореме 8 функция х — решение уравнения (44). Обратно, если функция я — решение уравнения (44) и а,(М) ~ О, то по теореме 8 она является первым интегралом Пгаво о. Дифференцируемость решения по параметру систем (45) и (46). Тогда по теореме 6, примененной к системе (46), найдется такая функция й' Е С', что в окрестности точки М имеем равенство (48), где е,,..., е„, — независимые первые интегралы системы (46) или (45), это все равно по лемме 3. Если же а,(М) = О, а (М) ,-ь О, то изменим нумавецию так, чтобы а,(М) ~ О. 2. Квозияинейным называется уравнение П д« д« а,— +...+а„— =Ь, (49) 'дх, "дх„' где а„...,а„,Ь вЂ” функции класса С' от переменных х„..., х„, « в области Р; считаем, что а~+...+а2 ,-ьО в Р.
Уравнение (49) связано с автономной системой уравнений х, = аг(х„..., х„, «) (1 = 1,..., п), (50) Здесь х', = ах,/<Ы и т.п. Траектории системы (50) в пространстве х„..., х„, « — это линии, называемые характеристиками уравнения (49), а решение уравнения (49) изображается и-мерной поверхностью « = у(х„..., х„). Считаем, что у Е С' в области Ре С Ж", а точки (х„..., х„, «) С Р С И"+'. Донозотеяьстео. Если линия — характеристика, лежащая на поверхности, то в каждой точке линии вектор (7,',,...,У',-1) нормали к поверхности ортогонален касательйому к этой 224 б 2б.
Уравнения с часгпныни производными первого порядка линии вектору (а„..., а„, Ь). Их скалярное произведение равно нулю: а, У,', +... + а„у,' — Ь 1 = О. (51) Если через каждую точку поверхности проходит такая линия, то зто равенство выполнено на всей поверхности, то есть по- верхносп х = 7(х!,..., х„) удовлетворяет уравнению (49).
Обратно, если поверхность Р(е = у(х„..., х„)) удо- влетворяет уравнению (49), то в каждой точке поверхности выполнено (51), то есть вектор (а,,..., а„, Ь) ортогонален нормали к поверхности, значит, касается поверхности. Та- ким образом, на поверхности Р определено поле каса- тельных векторов. Покажем, что через произвольную точку ее(х!в,..., х„е, вв) Е Р проходит лежащая на Р траектория этого векторного поля.
В области С вЂ” проекции поверхно- сти Р на плоскость х„..., х„— рассмотрим систему х, '= а;(х„..., х„, 1(х„..., х„)), 1 = 1,..., и. (52) Через точку (хю,..., х„е) Е С проходит решение х, = х!($), ..., х„= х„($) этой системы. Линия г х, =х,($),...,х„=х„($), «=у(х!($),...,х„($)) лежит на поверхности Р(е = у(х„...,х„)) и проходит через точку Ье. Покажем, что Х вЂ” характеристика. Первым и уравнениям системы (50) она удовлетворяет в силу (52) и равенства х =,Г(х!,..., х„) на Р.
Далее, е (с) = ~~!, — х; = ~~Ь, а, (х,,..., х„, у(х„..., х„)) —. и д, в в=! з=! ! Поверхность е =,г(х„..., х„) удовлетворяет уравнению (49), поэтому последняя сумма равна Ь(х,,..., х„, х). Итак, 225 Глава У. Дифференцируемос«ь решения по параметру линия г удовлетворяет и последнему уравнению системы (50), то есть является характеристикой.
д«! Доказательство. По свойству первого интеграла — ~ = О, дь ~(яа то есть д« д«д« а, — +... + а„— + Ь вЂ” = О. (53) ' дх, "дх„дя Для неявной функции «(х„..., х„) в окрестности точки М дя д« /д« дх; дхг/ дх* Поэтому, деля равенспю (53) на -д«/дя, получаем, что эта неявная функция удовлетворяет уравнению (49).
° Теорема 12 (об общем решении нвазнлннейного уравнения). дусть «;(х„..., х„, я), 4 = 1,..., и, — какие-либо негавмсимые первые интегралы системы (50). функция я(х„...,х„) является решением уравнения (49) в окрестности точки М своего графика, тогда и только пюгда она удовлетворяет равенству Р(«,(хн..., х„, я),..., «„(хы..., х„, я)) = О (54) при кокад-либо функции Р Е С' такоб, чпю Р = О, Р,' ~ 0 в точке М. 22б в Яб. Уравнения с часшными производными первого парядна (56) обозначим х,. = р (х,; с „, е„+,) (< = 2,..., и), (57) л = х„<(х<,с,...,с,).
Прн х, = хвн с, = х, (< = 2,...,н), с„+, = 0 в (57) получаем точку М. В этой точке якобиан ает(др,./дс ),.„„= 1 в силу (56). В некоторой окрестности точки М систему (57) по теореме о неявных функциях можно разрешить относительно с,..., с с,, =в<(х„...,хюл), <=2,...,н+1. (58) Как в доказательстве теоремы 4 показывается, что функции м< — первые 'интегралм системы (55). Поверхность ы„,<(х<,..., х,, з) = 0 совпадает с данной поверхностью з = у(х„..., х„), так как онн обе состоят нз характеристик — решений системы (55) с начальными условиями (56), где с „= О. По теореме 6 найдется такая функция Р Е С', что м < = Р(с„..., е„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
