Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135788), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Здесь е,,..., с,— 227 ° еееаевее$ Дсхазхвеяьстео. Левая часть в (54) прн любой функции Р Е С' постоянна цапль траекторий системы (50), значит, является ее первым интегралом. Прн Р,'(М) те 0 равенство (54) определяет вблизи точки М неявную функцию з(х„..., х„), удовлетворяющую по теореме 11 уравнению (49). Покажем, что формула (54) содержит все решения уравнения (49). Пусть, например, о,(М) ~ О. Тогда вблнзн точки М характеристики уравнения (49) удовлетворяют системе Их< о< <Ь Ь вЂ” — (<'= 2,...,п), (55) <йг< о, ' ' ' ох< о, Пусть з = 7(х<,...,х„) Е С' — любое решение уравнения (49), М(х,,..., х,„,з ) — точка на его графнке.
Решение системы (55) с начальными условиями х<(х, ) =с< (< =2,...,п), з(х<е) = 1(х<е ст"" с.)+с.+< бюаеа 6. Дифференцируемасть решения па параметру независимые первые интегралы системы (55) или (50), это все равно по лемме 3 (лемму применять можно, ибо системы (50) и (55) сводятся к (45) и (46), если положить х = х„„Ь = а„,). Покажем, что дм„+,/дх;а 0 в точке М. В этой точке хг = хн (1 = 1,...,01) и в силу (58) и (56) м„„(х,,..., х„„х) = с, = х - /(хи,..., х, ).
Следовательно, дм„+,/дх = 1 ~ 0 в точке М. ммеюееея Замечание. В случае, когда х входит только в один из первых интегралов, например, только в е„, вместо (54) можно написать е„(х„..., х„, х) = = Н(ег(х„..., х„),..., е„г(х„..., х„)), (59) где Н Е С вЂ” произвольная функция. Разрешая, если возможно, зто уравнение относительно х, получим общее решение уравнения (49) в явном виде. ! Задачи дяя упражнений: (12), 6 20, Зй 1167-1188, 1211, 1213, 1215, 1216. 3.
Задача Коши для квазилинейного уравнения. Чтобы упро- П стить формулировки, ограничимся случаем, когда искомая функция х зависит только от двух переменных х и у. Требуется найти поверхность х = /(х, у), удовлетворяющую уравнению дх дх а, (х, у, х) — + аз(х, у, х) — = Ь(х, у, х) и проходящую через линию г х = фДе), у = 'фз(е), х = фз(е).
228 Я 2б. Уравнения с чаппными производными первого порядка Предполагаем, что данные Функции а~, ~~> Ь 1Ь~ газ Фз принадлежат С . Пользуясь геометрическим смыслом характеристик, можно предложить такой способ построения решения задачи Коши. Через каждую точку линии Ь надо провести характеристику.
Если из этих характеристик составится гладкая поверхность я = у(х, р) б С, то она и будет решением задачи Коши (рис. 31). Доказхпеяьспво. Так как а,,аз,Ь б С' и а, + аз ~ О, то через каждую точку (г~,(в),фз(в),1Ьз(в)) дуги г, проходит единственная характеристика х = у~(1, в), р = арф, в), в = срз(1, в). (61) Функции (61) удовлетворяют системе уравнений вида (50) (где теперь п = 2, хз — — р) и начальным условиям рю =аг (62) 229 Глава в.
Дифференцируемость решения по параметру Р 1р,(0, в) = ф,(в), 1е2(0, в) = ф2(в), у22(0, в) =фз(в). (63) Поверхность, состоящая из таких характеристик, выражается формулами (61), где $~ < $ < 12, в, < в < в2. Таким образом, (61) есть параметрическое заяание искомой поверхности. Покажем, что в окрестности любой точки дуги Ь, эту поверхность можно записать в виде в = 7(х, у).
Для этого надо разрешить первые два уравнения в (61) относительно $, в и подставить в третье. Функции 1р; Е С' по теореме 1 5 23. Уравнения (61) удовлетворяются в любой точке на дуге 2., в силу (62). В этой точке согласно (62) х, '= а,, у,' = а, а в силу (63) (1р,)', = ф'„. (122)', = ~Д, поэтому якобиан ФО (122) (Р2) а ф2 по условию (60).
Значит, в окрестности этой точки по теореме о неявных функциях первые два уравнения в (61) можно разрешить относительно $,в и получить Функции 1 = $(х, у) Е С', в = в(х, у) Е С . Подставляя их в третье уравнение (61), получаем искомое решение в виде в = 12 (1(х, у), в(х, у)) Е С'. Существование решения доказано. Иго, единственность следует из того, что любое решение есть поверхность, состоящая из характеристик, значит, имеющая ыщ (61). Вблизи любой точки дуги Ь, Функции $(х, у), в(х, у), см.
выше, определяются однозначно, поэтому решение в — тоже. Тйоме2рический смысл условия (60). Вектор (а„а, Ь) касается характеристики, а вектор (ф'„ф', ф') — линии Т. Условие (60) означает, что проекции (а„а2) и (ф',, ф2) этих векторов на плоскость х, у не коллинеарны. Следовательно, проекции линии Ь и пересекающих ее характеристик не должны касаться друг друга. 230 У Яб. Уравнения с частными производными первого порядка Решение примера.
Пишен в сиииетричной форме систему уравнений, определяющую характеристики ах ау е» х у х-х2-у2 Находим независимые первые интегралы (подобно примеру 5) я+ х2+ (бб) Согласно (59), общее решение уравнения (64) можно написать в виде я=-х — у +х~ где )' Е С' — произвольная функция. Чтобы найти поверхность, проходящую через линию (65), надо сначала из уравнений (65) н (66) исключить х, у, я и получить равенство, которое может содержать только с, и о2. Для этого можно, например, из уравнений (65) выразить у и я через х и подставить эти выражения в (66) 1 — х 1+х 2 у=1 — х, я=2х — х; — =с„— =с. х ' х 231 г Прныер 6.
Найти общее решение уравнения ! ! 2 2 ! х — +у — =я — х — у, ! дх ду ! а также поверхность я = у(х, у), удовлетворяющую уравнению и проходящую через линию ! г ! я+х =2х, х+у=1. ! ! ! ! (б4) ! ! этому ! ! (65) г[ гнала Я. Дифференцируемаапь решения па параметру Исключая х из наследник двух равенств, получаем 1 сг же, +1+ —. с,+1 Подставляя сюда внесто е„е первые интегралы (бб), после упрощений получаем искомое решение: г х = -х — у + х+ у + — (х + у ) 0).
г х х+ у ! Задачи для упражнений! [12), 8 20, М 1189-1210, 1212, 1214. Пример 7. Рассмотрим задачу Коши ! ! дх дх ! — +х — =О, х(О,х) =-агс!Вх. дФ дх ! ! ! (67) решение принера. Характеристики удовлетворяют системе уравнений (50), то есть е данном случае $', = 1, х', = х, х,' = О. Позтону х = с,, бх/Ф = х = с,, х = с,1+с . Значит, характеристики — пряные линии. Вдаль каждой из них х постоянно — то же, что а начальной точке х = с, Г = 0 характеристики. В атой точке х = — шсгй х = — а!с!8 с, !4 < я/2.
Поэтому на всей характеристике инеен 3г х=гх-гйх, [4<-. 2 (68) 232 ю е П 4. О нелинейных уравнениях с частнымн производными первого порядка и методах их решения см. [6[, 865; [9[, гл. 9; [18[, 58. Ударные велим. В задаче Коши для квазилинейного уравнения с частными производными бывает, что решение класса С' сушествует только в некоторой окрестности линии Ь, а в ббльшей области мажет нс существовать. $2б.
уравнения с чаапнымн проиэводнынн первого порядка При пюбои постояииоп С < 1 функция р(я) = Сл — щ я монотонно убывает с ростан я, паттону уравнение (68) определяет непрерывную функцию л(С, х) (-оо < х < оо, С < 1) — реюеиие задачи (67). При любом постоянном С > 1 функция х(л) = Ся — т8 я на интервале']я] < я/2 сначала убывает, затем возрастает, далее опять убывает. В точке я, = — агссоз(С чт) она имеет локальный минимум, равный х(л,) = -Ф(С), тле ф(С) = С агссоз (С '~т) — Л вЂ” 1, а в точке я = -я,— локальный максимум, равный х(я,) = ЭЗ(С) > О.
Следовательно, при любом С = попас > 1 не существует однозначной непрерывной функции я(С, х) (-оо < х < оо), удовлетворяющей равенству (68). Это значит, что решение задачи (67) нельзя непрерывно продолжить на область С > 1, -Ф(С) « ' Ф(С). В некоторых физических задачах, например, в задачах о движении газов с большими скоростями, тоже встречаются подобные явления (несушествование непрерывного решения).
В таких случаях возникают разрывные решения — ударные волны, существование которых подтверждается опытами и наблюдениями. Для расчета движения ударных волн используются не только дифференциальные уравнения, но и физические соображения — закон сохранения массы и т. и: Подробнее о разрывных решениях см. [6], 8 64; [10], гл.8.
° е и Литература Учебники и учебные пособия 1. Арнатд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М Наука, 1984. 240 с. 2. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303 с. 3. Еругин Н. П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974. 472 с.
Хартатвв А П., Рождествеиский Б.Л. Обыкновенные дифференци- альнмс уравнения н основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986. 272 с. 5. Краснов М.Л., Хисвввв А. №, Макаренко Г. И. Сборник задач по обык- новенным дифференциальным уравнениям. М.: Высшм школа, 1978. 287 сд 5-е изд.
Краснов М.Л, Киселев А. И., Макаренко Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. М.: КомКнига/13ВЗЗ, Ю05. 256 с. б. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Мл Изл-во МГУ, 1984, 296 сд 6-е изд. М: УРСС, 2003. 272 с. 7. Пантрлвин Л С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 8. СамойввнкаА М., КриватвиСА, ПврвстюкН А. Дифференциальные уравнения.
Примеры н задачи. Киев: Вища школа, 1984. 408 с. 9. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959, 468 с.; 9-е изд. М.: КомКнигц%ВЗЗ, Ю06. 472 с. 10. 71тснав А. Н., Васильева А. Б., Светиикев А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 2З6 Литература ~. Фгдврюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мл Наука, 1985.
!2. Фнлнннав А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. МА Ижевск: Изд-во РХД, 2000. 175 с. 13. Эльеазльи Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Мл Наука, 1969. 424 с.; б-е изд. Эльегальк Л. Э. Дифференциальные уравнения. М: КомКнига/11ВЗВ, 2006. 312 с. Другая литература 14. Андреев А.Ф.
Особме точки дифференциальных уравнений. Минск Выш. школа, 1979. 136 с. 15. Андранов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с. 16. АндреиавА.А., Леонтович Е А., Гордон И Н., МайерА. Г Качественная теория динамических систем второго порядка. Мл Наука, 1966. 568 с. 17. Андронов А.А., Леонтович Е А., Гордон Н И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Мл Наука, 1967. 487 с.
18. Арнольд В. Н Дополннтельнме главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мл Наука, 1978. 304 с. 19. Арнольд В. Н., Ильнтвнка Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики, Фундаментальные направления». Том 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
