Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оценка интеграла. Если вектор-функция р($) непрерывна на (а, Ь'1, то р(с) йг < !у(1)~ йг . Доназотелытво. Пусть а ( Ь. Интеграл от р(Ф) есть предел интегральной суммы 2 р(с,*)(сг — $г 1). От замены р(с,') на ~р(сг)~ модуль суммы не уменьшается и получается интегральная сумма для функции ~р($)~ по отрезку [а, Ь]. В пределе прн щах(с; — Ц ~) - 0 получается интеграл от !р(Ф)~. Случай а > Ь сводится к доказанному. 30 в 4. Нормальный вид системы и веня!ерная запись Оценка приращения вектор-функции.
Если х(з) и р($) = х'(3) непрерывны и !х (8)! ~ ~Фи, то в силу (3) (4) !х(Ь) — х(а)1 < пь1Ь вЂ” а!. До сих пор было безразлично, записывать ли векторы в виде строк или в виде столбцов. В формулах и рассуждениях, содержащих векторы вместе с матрицами, будем считать векторы столбцами, если не сказано иначе. х! Если А = (а!у)ь,у-г„.,~ — матрица, х =: — вектор, то ха у = Ах — вектор-столбец с координатами р! = апх!+... +аеьх„ (ь = 1,..., «). Тогда 1Ах! < 1!А!! ° !х1, где н х!уг !!А11 = ~ ,'~, 1а!!1 ), 1х! = Ц=! (5) (числа ау и ху могут быль комплексными). Доказапезьовво. В силу неравенства Коши имеем 1р!1' < (! а1'+" +1 ь1'Н!х~1'+ "+ !х 1') = = (!ап 1'+...
+ 1аюп12) 1х12, и !А !г 1„!г<~ (! !г+ +! ! !г)! !г !!А!!г ! !г Число !1А1! называется норяюй мап!рицы А. Другие известные нормы матрицы, кроме (5), в этой книге не использу!отея. Пусть х(г) и у(х) — векторы-столбцы„все х!(Ф) и д~!/дху непрерывны, По правилу дифференцирования сложных функций Глава 2. бущеапвованее и общие свойства ращений от и переменных ~В(х(Е)) дЛ ю дЛ ю й дх1 ' дхе, е = — 'х'~($) +... + — х ($). (6) Применяя зту формулу к каждой координате Р вектора у, получаем, что ву(х(е))/вг — вектор-столбец с координатами (б).
Следовательно, АУ(х(В)) = Ах'($), где матрица А = ~ — ( . (7) ГЭД'1 ве ~,1=к...,в (3.) условие Липиппа. Функция (илн вектор-функция) У($,х) удовлепюряет условию Ливанца по х на множестве Р, если Ь~ существует такая постоянная в, по для каждых двух точек ($, х) 6 Р, ($, у) б Р имеем 1у($, х) — у(в,у)! ~ й1х - у1. (б) (Область Р называется валунной яо х, если для каждой. пары ее точек вида (е, х) и ($, х') соединяющий их отрезок содержится в Р.) Доназательство.
Полагая в(в) = у+ е ° (х — у) и у(в)= Г(г„в(в)), получаем 1 У($, х) — г($, у) = у(1) — у(0) = д'(в) бв. (9) е 32 в 4. Нормальный вид сосгпемы и веквюрная запись Подобно (7) д'(в) = Ах'(в) = А(х — у), А = ( — ' $ ~,длит з;4, Когда в меняется от 0 до 1, то х(в) пробегает отрезок, соединяющий у и х; на этом отрезке $ = сопи. По условию, он содержится в Р. Значит, на нем !дД/дх11 < 1 (ь, у = 1,..., и), ОАО < и1, )д'(в)~ » (пЦх — у~, и из (9) следует (8) с м = п1. ° доказательство. Пусть Ф~ Е1, 1~ >Фа, х(11) зьО, Если х(Ф) ~О на (1е, Ф~), то возьмем $' = Фь.
В противном случае Ф'— верхняя грань таких Ф б '1Фе, ЙД, что х(з) = О. Тогда х(Ф') = О, иначе $' не было бы верхней гранью. В обоих случаях ~х($')~ < те и при $' < $ < $1 имеем х($);е 0 и существует мг = (,/*' + ... + Й)'. Дифференцируя по $ обе части равенства 14з = х ° х, имеем 2!4 ° 14' = 2х ° х' < 2~4 1х'~. Сокращая на 214, получаем ~х~' < ф, если х зь О. Обозначая !х($)1 = т(Ф), имеем т(1') < те и т' = ф' < ~х'~ < Ь + пь при 1' < Ф < $~. В случае л = 0 отсюда следует требуемое неравенство. В случае 7з > 0 для функции 1о($) = е ~(т($) + пь/1з) получаем р'Я = е ы(т' — мт — пь) < О. Поэтому функция р($) 33 Глава 2. Суи(есглвавание и айи(ие свойстлва решений не возрастает и (е(Ц < у($'), то есп е ' 1($~)+ — <е г($')+— Так как г($*) < ге, то г(~ ) <г ь(а-г)+ (еа(ь-г) () й Число $~ Е 1 любое, большее $е, и $~ — Ф* < 4~ — $е, поэтому неравенспю (10) при любом 1 Е 1, $ > $е доказано.
Случай ~ < 4о сводится к рассмотренному заменой $ на -с, 4о на -Фо тогда в формулировке леммы )х'($) ~ и )х — Ц не меняются. ° 9 5. Существование и единственность решения В в 5 даются теорема единственности решения системы нормального вида с начальным условием х(те) = ве и два доказательства существования решения: методом последовательных приближений (доказателмтво Пикара) и более короткое — путем перехода к уравнению с запаздыванием (вариант доказательства Тоннели). Достаточно прочитать любое из этих доказательств. [3Д $5. Еущеапвование и единственноапь решения ючнее, любые два решения этой задачи совпадают на общей чаапи ик интервалов сущеапвования.
Доказхпвльство. Предположим, что существуют два решения х(Ф) и р(1) задачи (11), х(1о) = р(се), х($!) зе р(Ф~) при некотором 1~ > го. (Случай $! < $в сводится к рассматриваемому заменой $ на -1.) Пусть «(Ф) = х(Ф) — р(Ю), а Ф' — верхняя грань таких Ф б [Фе, Ф~], при которых «(1) = О.
Тогда «(Ф') = О и «(1) ~ О для всех 1 б (1',$![ (иначе число $' не было бы верхней гранью). Пусть Я вЂ” содержащийся в Р шар (Ф вЂ” Ф') + ~х — х(Ф')~~ < й~, Л > О. В этом шаре все дЯдху непрерывны, значит, ограничены, и функция 1 там удовлетворяет условию (8). Поэтому 1« ~ = ~х' — р'! = 1,/(Ф, х) — 1(1, р)~ < й~х — р~ = Щ.
Тогда из леммы 2 следует «($) = О при 1' < $ < $~. Это противоречит предположению, что х(1~) зе р($ ). ° Лемма 3. Если функция 1(1, х) непрерывна то любое решение задачи (1! ) удовлетворяет интегральному уравнению .-,Е -ь г У „щеь4ь 4. х(1) = хе+/ 1(в,х(в)) бв, с (12) Ф"'"$' и любое непрерывное на интервале (или отрезке) 1 (1в б 1) решение уравнения (12) является решением задачи (11). (Если 1 — отрезок, то производные в его конце« вЂ” одностлоронние.) 35 Глава 2. Существование и общие свойства решений Доказхвельство. Пусть х($) — решение задачи (11). Интегрируя обе части равенства йх($)/г!! = з(1,х(!)) ог !е до $, получаем, что интеграл в (12) равен х($) — х(ге). Но х(зе) = хе. поэтому функция х(!) удовлепюряет (12).
Пусть непрерывная функция х(!) удовлетворяет (12) на 1, Фе Е 1. Тогда на Т сложная функция у(в,х(в)) непрерывна, поэтому производная по ! от правой части (12), значит, и от левой, то есть от х($), существует (односторонняя производная в концах отрезка з) и равна у($, х(1)). Следовательно, х(!) удовлетворяет уравнению (!!). Из (12) при $ = $е получаем х($е) = хо. По теореме 1 может существовать не более одного решения задачи (11), а' согласно лемме 3 достаточно доказать существование непрерывного решения интегрального уравнения (12).
Приведем два из многих известных способов доказательства Доказательство Пикара ((9], гл. 2, а 1, глА, В 1 или (б], В 14). Построим последовательные приближения хв(!) (р = О, 1, 2,... 36 я Я. Сущеовеоеоние и единппеенноовь решения — номер приближения) к решению уравнения (12). Возьмем х (г) гя хо (1б) 37 хя(Ф) =хо+ / $(е,хя ~(а))де, р=1,2,....
Г, (13) Покажем, что на отрезке Х все приближения хе(Ф) определены, непрерывны и ф'(1) — хе~ < пью. Для хе($) это верно. Предположим, что функция х1 '(1) на Х определена, непрерывна и ф '(1) — хе! < пью. Тогда при е Е Х точка (е, хе '(е)) 6 Я, в (13) функция Х(е, х(е)) определена, непрерывна и ~Х(е, хг '(е)) ~ < пь. Значит, при 1 Е .Х интеграл в (13) — непрерывная функция от 1, по модулю не превосходящая тЫ. Поэтому на Х функция хе($) определена, непрерывна и 1хе($) — хе! < пьд. По индукции это верно для всех р=1,2,3,....
Покажем, что последовательность хе($) (р = О, 1, 2, ...) равномерно сходится на Х. Это равносильно равномерной сходимости ряда хе(1) + (х'(1) — хе(1)) + (х~(1) — х~(1)) +..., (14) так как его частные суммы являются функциями х~(1), х'($), х'(1),.... Оценим по индукции члены ряда на отрезке Х. Из (13) получаем согласно (4) ~х (Ф) — х (М)~ < пь~Ф вЂ” та~.
(15) Покажем, что на Х при некотором х для любого р > О ~Г" (1) -* (1)~ « Для р = О это доказано в (15). Пусть это верно для р = о — 1. Докюкем, что это верно и для р = о. Напишем равенство (13) Глава 2. Существование и общие свойолво решений для р = о и для р = о + 1 и вычтем из второго равенства первое.
Получим Для всех р точки (г, х"($)) Е Я при $ б 1. В Я все дуг/дх непрерывны, значит, ограничены, и по лемме 1 функция 1 в Я удовлетворяет условиго Липшнца (8). Поэтому в (17) ~~(в, хе(в)) - 1(в, хе '(в)) ~ < пйг')в — 4е1е < 8~хе(в) — хе (в)~ < , . (18) д1 Последнее неравенство вытекает из (16) при р = в — 1. Подынтегральная функция в (17) имеет оценку (18), поэтому в силу(3) прн $ Е 1 Значит, неравенство (16) верно и при р = о. По индукции оно верно для всех р = 0,1,2....
Таким образом, члены ряда (14), кроме первого члена, при )г — Ц < И по модулго не больше членов числового ряда ае + а) + аз + ..., где а +) = «й"У+)/(р+ 1)!. Каждая координата и~+ (г) вектора хе+'(3) — х"(г) не больше его длины, поэтому тоже имеет оценку (16), то есть 7гвУ+' )1«~~+'(Ф) ~ < ав+) —— , ()г — Фо~ < И, 8 = 1,..., «).
38 я 5. 1ущесавоваияе и едиясптениостпь решеиия Рад 2; аг+~ сходитсл по пРизнакУ ДаламбеРа, так как Следовательно, длЯ каждого з Рад пег+ и! + и~~ + ... из 1-х координат ряда (14) сходится абсолютно и равномерно на отрезке 1 по признаку Вейерштрасса. А так как члены ряда — непрерывные функции, то его сумма — тоже. Значит, и векторный ряд (14) на отрезке 1 равномерно сходится к непрерывной вектор-функпии, которую обозначим х($). То есп последовательность приближений яг($), р = О, 1, 2,... на 1 равномерно сходится к а($).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
