Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из этих свойств следует, что если х',...,хь — решения линейного однородного уравнения Хх = О (верхний индекс — номер решения), уы..., уь — числа, то х'+ х~, х' — хз, 7гх + " + 7ьх — тоже Решения того же Уравнения. Следова- 1 ь тельно, множеспю решений линейного однородного уравнения (или системы) есть линейное пространство. Если же х,..., х — решения линейных неоднородных 1 ь УРавнений Ьх' =,Г (ь = 1,... Й), 7н °" 7ь — числа, то х = 7~х +... +7Ьх — решение уравнения Хх = 71Х +" +7ьу ° В частности, если Хи = О, Хе = Г, то Ь(и+ «) = Г; если Ье' = Х, Хе~ = Г, то Х(е' — е~) = О. То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же Х) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.
Линейная зависимость вектор-функций. Вектор-функции х'(1),..., х ($) называются линейно эаеисимыми на интервале (нли на множестве) М, если найдутся такие постоянные числа с„..., сь, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при 70 в У. Свойапеа леней ных снсшем всех зб М имеем с1х'($)+... + хь(Ц вз О (5) Вектор-функции линейно независимы на М, если они не являются линейно зависимыми на М, то есть если равенство (5) (при всех $ Е М одновременно) возможно лишь в случае с! = ... —— сь = О. Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном ', множестве М, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.
Если вектор-функции х'($),..., х~($) линейно зависимы на М, то при каждом $ Е М их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (5). Обратное неверно. 1 1 Пример 1. Вектор-функции х1($) = и х ($) = 1 при любом $ являютсл линейно зависимыми векторами 1 (при любом Ф = Ф! имеем с1х1(Ф1) + сзх~(Ф1) = О, если 1 с! — — $1, сз = -1).
Но как вектор-функции, они на любом 1 ! 1 интервале (а, 15) линейно независимы, так как при иосл!олиных с1, сз равенство 'с! 1+ сто вз О на всем интервале 1 (а, 1з) возможно лишь при с! —— сз — — О. 1 ! Детерминант Вронского или вронскиаи для и-мерных векфункций х'(т),..., х" (1) — это детерминант и-го порядка, бцы которого состоят из координат этих вектор-функций, то 71 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнение и сиапены Лемма 2. Если вектор-функции х',..., х" линейно зависимы, то ик вронскиан $У'(с) = О.
Доказательство. В этом случае столбцы детерминанта линейно зависимы, а тогда, как известно, он равен нулю. ° Следствие. Если аракс«ион Я'($) ,=й О, то веклюр-функции х', ..., х" линейно независимы. Доказапельство. Пусть 7У($~) = О. Из алгебры известно„что тогда столбцы детерминанта, то есть векторы х'($~),..., и" ($~) линейно зависимы. Значит, сушествуют такие числа с~,..., с„, из которых хоть одно не равно нулю, что с,х'($~)+...
+ с„х" (Е1) = О. (6) С этими цн..., с„рассмотрим вектор-функцию х($) = с~х (3)+... + с„х"(ь). (7) Она является решением системы х' = А(с)х. В силу (6) х($Д = О. Функция «(ь) аа О удовлетворяет той же системе и начальному условию «($~) = О. По теореме единственности имеем х(с) гя «($) аа О. Итак, функция (7) всюду равна нулю, и решения х'(ь),..., х" (1) линейно зависимы. 72 в 9. бвойства линейных сиппен Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, лля вектор-Функций примера 1 имеем И~($) вз О, а они линейно независимы.
3. Далее рассматриваются решения линейной системы П х' = А($)х, х Е 1к". Фундаментальной системой ретений называется любая система и линейно независимых решений. Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем $в Е (а,)у) н любые и линейно независимых векторов Ь',...,Ь" Е К". Пусть х'(Ю),...,х"(1) — решения системы х' = А(1)х с начальными условиями хх(Юе) = Ь', 7' = 1,..., в. Эти решения линейно независимы, так как при $ = Фв их значения — линейно независимые векторы Ь',..., Ь" и равенство (5) возможно только при с~ — — ...
—— с„= О. Общим реаением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множеспю при всевозможных значениях произвольных постоянных). Доназавельство. В силу свойств линейных уравнений функция (8) при любых сн..., с„является решением. Покажем, 73 Глава 3. Линейные дифференциальные ураененил и системы что любое решение х(с) системы выражается формулой (8).
Возьмем $е Е (а, р). Решения х'($),..., х"($) линейно независимы. Из леммы 3 следует, что их вронскиан Иг($е) зь О. Расписав покоординатно равенство (8) при с = Фе, получаем систему х~($е) = с~х',($е) +... + с„х;(Ц, х„($е) = с~х,',($е) +... + с,х"„®. Из этой системы неизвестные сн..., с„определяются однозначно, так как детерминант системы есть бес (хУс($е)), Г, „= И'($е) ~ О. С этими сп..., с„для решения х($) при $ = се справедливо равенспю (8).
Обе части этого равенства — решения нашей системы. По теореме единственности они должны совпадать при всех с. Итак, любое решение представимо в виде (8). ° Доказанная теорема означает, что множеспю решений системы х' = А(с)х (х Е Ж") есть и-мерное линейное пространство. Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (8) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.
Фундаиеитальюй матриней системы х' = А($)х называется матрица Х(с), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений. Из леммы 3 следует, что бе~ Х(Ф) ш Яг(с) ~ О. С помощью фундаментальной матрицы Х($) общее решение (8) записывается в виде х(с) = Х(с)с, где с — вектор-столбец с произвольными координатами сн..., с„(так как Х(с)с — линейная комбинация столбцов матрицы Х($), равная правой части (8) с коэффициентами сн..., с„). У У. Свойства линейных систем г Пример 2. Найти линейно независимые решения и фундаментальную иатрицу для системы х' = у, у' = О. ! ! Решение примера. Из второго уравнения имеем у = с! (произвольная постоянная).
Подставляя в первое уравнение, получаем х' = с!. Отсюда х = с!с+ сз. Общее решение есть х = с!1 + сз. у = с!. Полагая с! — — 1, сз = О, находнн частное решение х! — — $, у! — — 1, а полагая с! — — О, сз = 1, находим другое решение хз — — 1, уз = О. Их вронскиан Иг(1)= = ш-1зеО, и в силу следствия леммы 2 зги решения линейно независимы.
Позтону фундаментальной является матрица Х(1) ж Фундаментальная матрица Х($) удовлетворяет матричному уравнению Х' = А(3)Х. В самом деле, пусть х'(1) — у-й столбец матрицы Х($). Тогда (х')' и А($)хг — т'-е столбцы матриц Х' и А(з)Х. Эти столбцы равны, так как хг(з) — решение системы х' = А($)х. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапены Доказапельство.
По определению детерминанта (9) э ='> ,'(+)ьц,ь„;...ь„;„, где Ьт1 — элемент 1-й строки и у-го столбца детерминанта Э, сумма берется по всем и1 перестановкам уы...,у„чисел 1, ..., х; берется знак + (или -), если пересшновка четная 76 Доказапеяьгшво. Пусть с' и р'(Ф) — 1-е столбцы матриц С и У(1). Из равенства У(Ф) = Х($)С и правила перемножения матриц следует, что р'(3) = Х(Ф)с~,(1 = 1, ...,и). Значит, р'($) — решение той же системы х' = А(Ф)х.
Далее, бегУ(1) = бегХ(Ф) беСС;Ь О, поэтому решеиия р~(Ф) (1 = 1,..., и) линейно независимы и матрица У($) — фундаментальная. Пуси Х(Ф) и У($) — фундаментальные матрицы системы х' = А($)х. Подберем такую матрицу С, чтобы У(1) = Х(Ф)С. Для этого умножим обе части раввнства на Х '(3) слева и положим $ = $е. Получим Х '($е)У(1е) = С. Столбцы матрицы Я($) = Х(1)С = Х($)Х '(ге)У(ге) — решения той же,системы; Я($е) = У($е). По теореме единственности каждый столбец матрицы Я(1) совпадает со столбцом матрицы У(1). Таким образом, У(Ф) аз Я(Ф) ш Х(Ф)С, где С = Х '(Фе)У(ее), бег С = бет Х '(Фь) бег У(ге) те О. ° У 9. свойство линейных систем (нечетная). Так как (Ь|Ьз ... Ьв) = Ь| Ь| ...
Ь„+ Ь| Ь2 . ° * Ьп + ° ° . + Ь|Ь2... Ь„, то производная каждого члена в (9) равна сумме и слагаемых, в Ь-м слагаемом только Ь;;. заменяется на (Ь;;.)'. Так как Ьн, — элемент Ь-й строки в Р, то собирая вместе 1-е слагаемые, получаем детерминант Р~ указанного в лемме вида. Поэтому Р = Р~+... + Р„. Докозхлельство. Столбцы детерминанта И'(1) — решения системы (10). По лемме 4 йт'($) = Р~ + ... + Р„, где Р; получается из ИГ заменой всех элементов х~ Ь-й строки на их производные (хь)'. Так как х1, — ь-я координата у'-го решения системы (10), то ь-я строка в Р; есть и н Е "Е 1 % ~ и а;ьхь ...
р а;ьхь ь~! ью! а остальные строки остаются те же, что в Ю($). Вычитаем из этой строки первую, умноженную на ан, вторую, умноженную на ан, и т.д. до (1 — 1)-й; далее (1+ 1)-ю строку, Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и гаоляны умноженную на а;;+и ..., п-ю, умноженную на а;„. От этого величина детерминанта Р; не меняется. Тогда ь-я строка принимает вид 1 в анх; ... аие;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
