Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Покажем, что х(1) удовлетворяет интегральному уравнению (!2). Для этого перейдем к пределу в равенстве (13). Разность правых частей равенств (13) и (12) имеет в силу (8) оценку При р -~ со подынтегральная функция на з равномерно стремится к нулю. Тогда интеграл стремится к нулю, и правая часть (13) стремится к правой части (12). Левая часть тоже. Значит, предельная функция х(Ф) на отрезке Х удовлетворяет уравнению (12). По лемме 3 она является решением задачи (11). Сущеспювание решения доказано.
Единственность доказана в теореме 1. Далее излагается другое дохлзательспю теоремы 2 при тех же предположениях. 39 Глава к. Существование и общие свойство решений Доказтпельояво Тоннели ([37], т. 1, гл. 1, а б, и. 3) (благода- ря предположению о непрерывности дД/да не требуется применять теорему Арцела). Возьмем такие г, гл, а, Я, как в формулировке теоремы, тогда в шаре Я имеем !Т! < пю н справедливо (8).
Для любого целого р > >2 возьмем Л = Л„= в/р и построим приближенные решения уравнения (12). Положим р„(Ф) = аю при Фю — Ьр < 1 < 1ю, а на отрезках [1ю + (ю — 1)Л ° $ю + юЬе]. ю = 1, 2,..., р, последовательно определим р„($) равенством г ре(1) = хо+ ~(в,ре(в-Ье))йв. (19) н Если ю > 1 и при 1ю — Ье < $ «1ю+ (1 — 1)Ьр функция рв($) определена, непрерывна и !р (1) — ию! < пЫ, то это же верно и при $ю < $ < Ц + 1Ь„, так как при таких $ точка (1,д,(1-Ь,)) ЕЯ, р'(1) = Я р (1 — Ь )) [р,'(1)! < гл, (20) !рр(1) — аю! «гл!Ф вЂ” Фю! < пиЮ. По индукции получаем, что на отрезке.7 (1ю < $ < Фа+а) функции рр(1) н у',(1) непрерывны и справедливо (20).
Оценим разность х(1) = р ($) — р (1) приближенных решений с Ь = Ь и с Ь=Ь . В силу(20) и (8) !в(1)!= ~У(4 ре(1-Ы)-У(4 рю(1-Ью))! < «Ь~д,(1-Ь,) -д,(1-Ь,) ! = 1 ва Ь~ (р,(1- Л,)-д,(г)) — (рю(1- Л,)-дю(г))+ (р,(1)-д,(1)) ~. Так как ф < пю, !р' ! < пю, то при Ф Е,Т [х'(х)! < Ь Ь +Ьт Лю+Ь!в(1)!1 х(1ю) =0. б 5. ~ущеапвавание и единопвеннаапь решения В силу леммы 2 получаем прн $ Е Х ~в(1)~ < нг(й~+йе)(е й ~~ — 1) < пъ(й +й )(еье — 1). (21) Для любого е > 0 найдется такое р~, что при р > р~, д > р~, правая часть (21) меньше е. Тогда ~увЯ вЂ” р (Ф)~ < е на .7, то есть последовательность непрерывных функций (р„($)), р = 2, 3, 4, ..., удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на Х.
Значит, она сходится равномерно к непрерывной функции, которую обозначим х($). Покажем, что х(8) — решение уравнения (12). При р > р'(б) имеем на У б б ~рв(1- Ье) — рв(1) ~ < гпй < —, ~рв(Ф) -х(Ф) ~ < —, 2' 2 (22) ~Я,уя(Ф-Й ))-Я,хЯ)~<3в~ув(1-й ) — х(1И<йб. Правая часть сколь угодно мала при малых б. Значит, в (19) У(в,Р (в — йт)) =З З(в,х(в)) пРи Р -+ со. В пРеделе Равенство (19) превращается в (12).
Итак, х(1) — решение уравнения (!2), значит, и задачи (11) при Фе < Ф < Фе+ б. Случай $е - а < $ < $е сводится к рассмотренному заменой 1 на -1. Существование решения доказано, а единственность следует из теоремы 1. ! Задачи для упражнений [12), Ф 223, 225, 226, 228 д, е. Глава 2. Существование и общие свойства решений Докоэапельовво. Приближенные решения уг(1) строятся н оцениваются как в (19) н (20).
В силу оценок (20) и (3) на отрезке Т все у (Ф) равномерно ограничены н равносгепенно непрерывнм. По теореме Ариеле нз них можно выбрать равномерно сходяшуюся подпоследовательность (у .), г = 1,2,3,.... Ее предел— непрерывная функция я(8). Переход от (19) к (12) при р = рг — со проводится как в предьшушем доказательстве, кроме оценки (22). При достаточно махом е нз неРавенства 1ун(Ф вЂ” Лн) — н(Ф)~ < б н РавномеРной непрерывности функции Т в Я следует, что лешя часть (22) меньше е. Значит, при р = р; - со равенство (19) превращается в (12). Поэтому н(Ф) — решение задачи (П).
° оее ш Замечание. В случае, когда на функцию Т(г,х) не налагается других условий, кроне непрерывности, задача (11) может ииеть более одного решения. Например, задача ггх/аг = Зхзгз, х(0) = 0 имеет решения х = 0 и х = 1~, си. пример 2 $ 2 и рис.4. ~ЗД георема 3 (о существовании и единственности решения для уравнения и-го порядка). Дано уравнение с начальными условиями у("1=У(С,У,У',...,У("-11), (23) у(со) =уо у'(Со) =уо ", у " ' (Со) =уо" (24) Пусть в области Ю С гс"+' функция у непрерывна по совокупности всех своих аргументов, имеет непрерывные чванные производные 2-го порядка по у, у',..., У(" '1, и начальнал пючка (1о Уо уо." ° ° уо" ') лежит внутри 23.
Тогда на некопюром Я д. Гущеапвование и единственность решения отрезке (е — Н < Ф < Фь+ д (й ) 0) существует'единственное решение задачи (23), (24). Ф х(=у, хз=у, и хз=у (ь-!) (25) (ь-2) хь-1 У Из этих равенств получаем первые и — 1 уравнений следу- ющей системы, а и-е уравнение получаем из (23) с учетом замены (25) и того, что у("» = х'„: Ф Ф (26) х~ х2~ хз хз~ х'„~ =х„, х',, = у($,хп...,х„). Из (24) и (25) получаем начальные условия для системы (26) хи(ео) = Уо, хз((о) = Уо..., хя((в) = Ув .
(27) Таким образом, каждое решение уравнения (23) с помощью замены (25) переходит в решение системы (26). Обратно, для каждого решения системы (26) в силу замены (25) у функции у = х~ существует у(") = х'„= У($, у, у',..., у(" ')). Соответствие между начальными условиями (24) и (27) очевидно. Если задача (23), (24) удовлетворяет условиям доказываемой теоремы, то задача (26), (27) удовлетворяет условиям теоремы 2 и поэтому имеет единственное решение х((Ф),...,х„(Ф) (Фв — д < Ф < ге+ д). Первая координата х~($) этого решения в силу доказанного является решением задачи (23), (24). Доказхпеяьство. Переходим от уравнения (23) к системе уравнений с помощью введения новых переменных Глава 2. Сущестеаеание и общие сеайстеа решений Геометрическая иллюстрация теорем существования и единственности.
Для простоты будем предполагать, что функция Г и ее частные производные первого порядка непрерывны всюду. Для дифференциального уравнения 1-го порядка х' = З(С, х) или системы нормального вида теорема 1 означает, что через любую точку (Со,хо) проходит ровно одно решение, точнее, график решения. Для уравнения у1"1 = 7(С,у,у',...,у1" '~) порядка и > 2 рассматриваются графики решений у(С) на плоскости С, у.
В силу теоремы 3 для уравнения 2-го порядка при начальных условиях у(Со) = уо у'(Со) = уо существует единственное решение. Значит, через точку (Со,уо) проходит бесконечно много решений, различающихся значениями у'(Со) = уо, то есть направлениями касательной к графику решения в этой точке. Но два разных решения не могут иметь в этой точке одну и ту же производную у'(Со), следовательно, не могут касаться друг лруга. Для уравнения 3-го порядка задаются начальные условия у(Со) = уо, у'(Со) = у4, у"(Со) = ф.
Значит, через точку (Со, хо) по каждому направлению (с угловым коэффициентом у', здесь уо произвольное) проходит бесконечно много решений. Они касаются друг друга и различаются значениями у" (Со). По любому другому направлению (с другим значением уо) проходит тоже бесконечно много решений, Задачи для улражнениф (12), $ 7, Ф 228 а-г, 229-234; $ 21, СВ 13, 14, 16, 18-27. К системам нормального вида с помощью аналогичных замен можно свести широкий класс систем уравнений, содержащих производные высших порядков, а именно системы, разрешенные относительна старших производных. В таких системах число уравнений равно числу искомых функций, для каждой искомой функ- я у. гущеппаование и единапеенноопь решения ции выделяется старшая из входящих в систему производных, она стоит в левой части одного из уравнений системы, а в правых частях нет этих старших производных.
Например, такова система уп»=2'(Ф,у,у~,у~,л,л), ли =у(Ф,у,у~,у,л,л). Заменой у = х1, у» = из, у = хз, л = х4, л = хз эта система сводится к системе нормального вида » » » х! ж Х2, Х2 ж хз» хз = Я»хм Х2, хз,хе» хз), » » Хе — Х5» Х5 — у($» Х$» Х2» ХЗ, Хе» Х5). ° »юш»»»»»в' П 4» Известны н другие теоремы о существовании решения. Доказательство имеется в [6), 817, н в [2), гл.б, 84. Методы отыскания коэффициентов ряда (28) см. там же и в [12), б 18, п.4. Хотя полученнмй ряа обычно сходится только на малом интервале, он часто попользуется, в вычислительной мвгематнке для самого начала вычислений.
Распространение теоремы существования решения на днфференцнаяьные уравнения с разрывными правыми частями связано с обобщением понятия решения, так как функция, называемая решением, может не всюду иметь производную. В следующей теореме решением Глава 2. Сущесшеование и общие саойппва решений задачи (1!) называется решение интегрального уравнения (12), интеграл и интегрируемость понимаются в смысле Лебега.
Системы автоматического управления с переключениями описываются дифференциальными уравнениями х' = у(1, х), х Е Ж", с разрывными по и функциями у(1, х). Для таких уравнений рассматривался вощюс, какими должны быль решения, идущие по поверхности разрыва, чтобы онн хотя бы приближенно описывали движения в реальной физической системе [35), гл. 1, $3, [38), $4, $8„п. 3. Исследовались свойства решений в таких системах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
