Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2. В уравнение не входит явно независимое переменное. УравП пенне имеет вид Р(у,у',у",...,у(")) =0. Тогда берем за новую искомую функцию у' = р, а за независимое переменное у. Пересчитываем производные: Ъ И Ф 1 У У Уя=Р(У)э Уев =ря=ря'Уя=ря'Р Чтобы заменить у,, надо продифференцнровать по х выраже(я) ние у, через р, р„,..., р„. Для этого надо его продиффе(ь-0 ф (ь-2) ренцировать по у и затем умножить на у'„то есть на р.
Получим выражение у, через р, р„,..., р„. Порядок уравнения пони(я) ю (ь-0 зится на единицу. См. пример в 112), $10, п.2. ! Задачи дяя упражнений: [12), $10, )В 421-450. 23 Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения 3. Уравнение однородно относительно искомой функции у П и ее производных, то есть не меняется, если кюкдую из этих величин умножить на одно и то же число Тя > О.
Тогда делаем замену у' = ул, где х = л(х) — новая искомая функция. Производные заменяются по формулам у = ул, у = (ух) = ул + у х = ул + ух, Здесь все производные берутся по х. Выражение для каждой производной у(~1 получается путем дифференцирования выражения для у(~ ') и замены у' на ух. После подстановки этих выражений в уравнение производится сокращение на у и получается уравнение порядка и — 1 относительно л. ! Задачи длл упражнениит [12], 4 10, гй4б3-472. йв Ф П 4.
Уравнение однородно в обобщенном смысле, то есть не меняется от замены х на йх, у на й у, й — число. Прн этом у' и т1у/ах заменяется на й 'у', у" — на й' ту" н т.д. Чтобы узнать, обладает ли данное уравнение этим свойспюм, н найти чнсло о, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых будет входить й в каждый член уравнения после указанной замены.
Если найдется такое о, прн котором все этн показатели равны, то делаем замену переменных х = е' (прн х > 0), у = хе, где х = х(т). Получаем уравнение, не содержащее явно независимого переменного г. Порядок такого уравнения понижается одним нз предыдущих способов. Пример 4. Понизить порядок уравнения ху" — хуу' = ут — 2у', Решение примере. Пусть х умножается на й, у — на х", у — на й' ', у" — на й" т.
То~да е уравнении член ху" умножается на й ву. Мел!оды поншкения поряднпурпененид член иур' — на йз', ут — на йт, 2у' — на й' '. Приравнивая показатели степеней буквы й, получаеи а — 1 = 2а, а = -1. Деяаеи замену х = е', у = хе ', х = х(х). Тогда Ы *'е '-хе" и( г н! Обозначая зто выражение через А, находии 4 е "(х'-х')-2е "(х'-х) у„"=л'.— = е ~(хх — Зх'+ 2х). Подставляя зто в данное уравнение, получаем е "(х" — Зх' + 2г) — е "х(х' — х) = е "х~ — 2е м(х' — х), хи хг ха О, В уравнение не входит независимое переменное Ф.
Порядок понижается как в и. 2, то есть заменой х' = р(х), х" = р'р. Получаем р'р-р-хр = О, р(р' — х — 1) = О. Найдя равенне этого уравнения и перейдя от новых переиенных к старым, получки реаение исходного уравнения. е ур (12], $10, !а473-480. ! ! Пример Б. Дано уравнение уу" = (уг)~.
! 5. Порядок уравнения легко понижается, если обе части урав- П пения являются полными производными от некоторых функций. Например, уравнение у" = иу'+ у можно записать в виде (у')' = (ху)'. Производные двух функций равны, значит, эти функции могут отличаться 'только на постоянную; у' = ну+ с, Порядок уравнения понижен. Чаще бывает, что уравнение надо преобразовать, прежде чем обе части уравнения станут полными производными.
Глава 2. Дифференциальные уравнения и их решения Решение примера. Деля обе части на уу', получаем — — (1п !у'!)' = (1п 1у1)', у' у 1п!у'1=1пЫ+1п]с!, у'=су. -! ! Пример 6. Дано уравнение х~у" = 2уу' — 2ху'. Решение примера. Перенося 2ху' влево, получаем хзун + 2ху' = 2уу', (х~у')' = (у~)', х~у' = уз+ с. ! Задачи для упражнений: (12]. 5 10. Ф 455 462 ° е» В (9], гл.4, 64, приведено принадлежащее Эйлеру необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение е (я, у, у',..., уш!) было полной производной по и от некоторой функции, и пример отмскания этой функции для понижения порядка уравнения я. (х, у,у',..., ум!) = О. О понижении порядка системы дифференциалъных уравнений с помощъго отыскания интегрируемых комбинаций и первых интвгравов см. (12], 5 19 нли (9], гл.
7, 5 5. ГЛАВА Существование и общие свойства решений В этой главе рассматриваются общие свойства решений дифференциалъных уравнений и их систем, не зависящие от конкретного вида функций, входящих в дифференциалъные уравнения. 54. Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись 1. Системой нормаяьного вида называется система П Щ ° ~ ° ° ~ о ~ — =Д($,хн...,х„), а=1,...,и. (1) В такой системе число уравнений равно числу искомых функций х~($) (1 = 1,..., и). В левой части каждого уравнения системы Глава Я. Существование и общие свойапва решений стоит первая производная одной из искомых функций, в правых частях производных нет.
Одно уравнение ах/~И = У($, х) является частным случаем такой системы. К таким системам сводятся дифференциальные уравнения н-го порядка у =У(с.у у ° "° ° у ) (по~шобнее об этом см. з 5, п. 3), многие более сложные системы и системы, возникающие в механике, физике, технике. Для исследования общих свойств такой системы удобно использовать векторные обозначения х = (хн..., х„), Г = (Ун...,,Г,). Тогда система записывается в виде одного векторного уравнения — =,Г($, х). ах й (2) Эта запись позволяет доказывать многие теоремы для системы (1) почти так же коротко, как для одного уравнения.
Необходимые для этого свойства вектор-функций изложены в п.2. Решение системы (1) есп совокупность в функций х~($),..., х„(3), определенная на некотором интервале (или спрезке) и удовлетворяющая системе. График каждого решенйя есть линия в (я+1)-мерном пространстве с координатами $, хн..., х„. В каждой ее точке угловые коэффициенты касательной к этой линии в силу (1) равны Г1($,хп...,х„),...,Д($,хн...,х„). Таким образом, система (1) определяет ноле направлений (направлений с этими угловыми коэффициентами) в пространстве $, хн..., х„ или в той области этого пространства, где определены функции ун...,,у„, а решение системы изображается линией, которая в каждой своей точке касается направления, заданного в этой точке.
б 4. Нормельныб вид сислммы и векнюрнав зались Система (1), как и одно дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений. Поэтому для выделения единственного решения надо задавать помимо системы также начальные условия х1(Св) = хю, ..., х„(Св) = х„в для (1) или х(Се) = хв для (2). Задача отыскания решения данного уравнения или системы с такими начальными условиями называется метельной задачей, задачей с начальными условиями или задачей Коши, ~2Д Свойства вектор.функций. В формулах п.2 буквы ~, у, х, у, в означают векторы из К", а другие буквы означают числа, если, не сказано иначе.
Из линейной алгебры известны следующие действия с векторами: х+у, х- у, ау, х ° у = х~у, +... +х„у„— скалярное ~онжа~, ~ ~ ~/4+...+4 — дл~ю(ил~овул ) ~ютора. Известно, что !и+у! ~ ~!х!+ !у! (неравенство треугольника), !х у! ~ !х! ° !у!,тоесть !х1у!+ ° "+ хлув! ~4 ((х~+ ° "+ ха)(у~ + ". + ун)) (неравенство Коши). ~К Для векторов с комплексными координатами !х! = в неравенстве Коши все х1 и у1 заменяются на !х4~ и (ус!з; х у=х1у~+...+х у (числа х~ комплексно сопряженные с х~). Можно дать два равносильных определения предельного перехода для вектор-функции х(С) = (х~(С), ..., х„(С)): а) 1нп х(С) = хв, если У в > О Э б > О такое, что Ч С, В-~в ' !С вЂ” а! < б =ь !х(С) — хв! < е; б) 1пп х(С) = (хю,..., хне), где хю = оп хс(С), в = 1,..., и.
Ф а Ф-~а 29 Глава 2. 6ущесэвовиние и общие свойсп~ва решений Равносильность этих определений следует из того, что длина вектора х(с) — хе стремится к нулю тогда и только тогда, когла каждая его координата стремится к нулю. Аналогично, определения производной вектор-функции как предела выражения (х($+ Ь) — х(с))/й при Ь вЂ” 0 и определенного интеграла как предела интегральной суммы равносильны покоординатным определениям.
Многие свойства производных и интегралов сохраншстся лля вектор-функций и легко доказываются с помощью покоординатного определения. Однако теоремы о существовании промежуточной точки (теорема Ролла, теорема Лагранжа о конечном приращении, теорема о среднем для интеграла) не обобщаются на вектор-функции. Например, для вектор-функции х® = (1 — сов 3, в1п Ф) имеем х(0) = х(21г) = (О, 0), но не существует такой точки Ф б (О, 2х), что х'(8) = (О, 0), так как Вместо этих теорем для вектор-функций будем пользоваться .оценками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
