Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 8
Текст из файла (страница 8)
° 53 Глава Я. Существование и общие свойства решений [2!.[ Рассмотрим задачу с параметром р б Ы (ле — область уп) х' = 1(ь, х, р), х(зе) = а(р). (32) Если вектор-функция 1 и все дД/дху непрерывны по 4, х, то при каждом 1ь б Ы сушествует решение х = ф($, р).
Считаем, что оно продолжено, насколько это возможно. В следуюшей теореме при определенных условиях доказывается непрерывность функции р($, р) по р, а в главе 5 — дифференцируемость функции р по р. Теорема г (о непрерывной зависимости решения ет параметра).
Пусть при р = ре решение задачи 13к) существует на отрезке 1 = [$„Ц и в окрестности У (Ф 6 1, !х — р(Ф, ре)[ < р) его графика при р б М вектор. функция 1(Ф, х, р) и производные 81~/Вху (ь', 1 = 1,..., и) ее координат Д непрерывны по совокупности переменнык ($, х, р)г а(р) непрерывно по р. Тогда сущесптует токов и > О, чпю функция ф($, р) непрерывна по совокупности переменных при 4 Е 1, !1г — ре! < и. Доказтпельство. При фиксированном р = ре задача (32) удовлепюряет условиям теоремы б.
Следовательно, лля любого е > О найдется такое б > О, что в случае, когда [,Г(г,х,р) — 1($,х,ре)[ <б для (Ф,х) Е У, ~а(р) — а(ро)! < б, (33) $1. Непрерывная зависинасть решения ат начальных условий решение р(х, р) при Ф Е 1 существует и ~р($.Н) — у($ Не)~ < е (8 Е 1). (34) В силу равномерной непрерывности функций 1($, х, р) и а(р) при (Ф, х) Е У, р б Мо С М (Мо — некоторая замкнУтаа окРестность точки Рв) найдетсЯ такое й > О, что при ~Ф вЂ” рв~ < й имеем р б Мв и выполняются неравенства (33). Тогда по теореме б решение р($, р) на 1 существует и удовлетворяет (34), то есть р(3, р) непрерывна по р при Ф = Ив Далее, при ($,х) б У, 'уи — рв1 < и функция 1 непрерывна, значит, ограничена, то есть ф < а. Поэтому !уф = ф < а, и для любых г, т Е 1 при р — т~ < е/й имеем ~~р(~,и) — х(т,р)~ < 0~Ю вЂ” т! < е. Отсюда и из (34) при йв — рв~ < й, ~т — Ф~ < е/й следует ~х(т, и) — р($, рд) ~ 4 2е, то есть решение х(Ф, и) непрерывно по совокупности переМенных при р = рв, $ б 1.
Возьмем е Е (О, р). Тогда для некоторого зп б (О,п) при любом таком и~, что ~р~ — рв~ < п1, по доказанному, решение р($,р1) на 1 существует и удовлетворяет (34). Тогда его окрестность ~~ (х б 1, !х — р($, ~и1)~ < р — е) содержится в У, значит, в $~~ выполнены условия теоремы 7, но с и~ вместо рв. Следовательно, решение у($,р) непрерывно по совокупности переменных (с, р) при р = ры !Н1 — ив~ < йы Ф б 1.
и в. П 3. Теорема б позволяет в прикладных задачах пользоваться дифференциальными уравнениями, в хопзрых некоторые константы и функции определялись пз опытов, значит, известны лишь приближенно. Если )лава 2. Сущеолвование и общие свойства решениб (35) Пример 3. Рассмстрин задачу х' = г (й, х, р), х(0, !в) = О, где при 0 < й < 1, ]х] < 2 ! г ° г й г ! )(й,х,йг)=х +4(1-х)пгп — (йггеО), Я,х,О)=х -2х+2. ! ! !и ! ! ! Условие (35) выполнено, так как при йг -+ 0 | 2згпг — Ь =З 1 Ь= 1 (О< й < 1). йг о ю Поэтому решение данной зааачи а = р(й,йг) при йг - 0 равномерно по й б (0,1] стремится к функции !Р(й, 0) = 2 га й/(гй й+ 1), являющейся решением при йг = О.
0 Дпя простоты изложения зпесь припохпся менее сбшме условия, чем в (31]. 66 это приближение достаточно хорошее, то и решения таких приближенных уравнений на конечном отрезке времени будут мапо отличаться от решений точных уравнений. Оценка (31) разности решений двух близких уравнений, полученная в теореме б, может быть использована, в частности, для оценки ошибки приближенного решения. Она очень груба, но в вычислительной математике есть возможности получения менее грубых оценок. Существенное обобщение теоремы 7 имеется в [31].
Условие непрерывности функций й по йг заменяется условием с ! | й(в, х, !в) ов ~ у(в, х, !ге) гйв (йп < й < й!), Фф и при йг !пе. !зе фиксированно; у и ОЯдхй ограничены'> в У, у непрерывна по й, х. Доказывается, что р(й, !в) =З уг(й, йгп) при !в ~ !ге равномерно по й Е ]йо, й!] 3 В. Уравнения, не разрешенные относилтельно лроизводноб Еще более общие результвтм получены чехословацкими математиками, главным образом, Я.
Курцвевлсм. $8. Уравнения, не разрешенные относительно производной Я Основные свойства уравнений вида Р(х, у, у') = О отличаются от свойств ранее рассмотренных уравнений у' = у(х, у). Пример 4. Уравнение (у')з — 4хз = 0 иожно свести а двум уравнениям: у'=2х и у'=-2х. 1 Их решения у=х +с и у=с-х (рис. б). Через каждую точку плоскости х, у проходит не менее двух решений: по одному из каждого семейства решений. Имеются также решения, составленные из кусков решений этих семейств. Такие составные функции являются решениями только тогда, когда они всюду имеют производную, то есть когда в точке стыка два соединяемых куска имеют общую касательную.
Например, на рис. б функция Рис. б Глава Я. Существование и общие свойства решений $ АВОХ вЂ” не решение, так как не имеет производной в точке В, а функции АВСМ и АВСИ вЂ” решения. Для того чтобы выделить единственное решение уравнения Р(х,р,р')=О, вообше говоря, надо задавать не только точку (хе» ра), но и значение ре' (не произвольно, а так, чтобы тройка чисел хе,ре, ре удовлетворяла данному уравнению: Р(хе,уе, ре) = О).
Для уравнения (р')з — 4х' = О через точку В(хе — — -1, ре — — 1) проходят два решения: р = х' (ЭВО, рис. 6) и р = 2 — хз (АВС, рис. б); если задать еше ре — — -2 или ре — — 2, получаем одно из этих решений. Точки касания решений — точки нарушения единственности (точки оси Ор на рис. б). Решение, пришедшее в такую точку, можно продолжить за нее более, чем одним способом. ( Доназательство. По теореме о неявной функции в некоторой окрестности У точки (хе, ре) сушествует единственная непрерывная функция у(х, р), удовлетворяюшая условиям л'(х,р,у(х,р)) ш О, у(хе,ре) =Ус, (38) при этом Г Е С'.
По теореме 2 э 5 уравнение р' = у(х, р) на некотоРом отРезке 1хе — Ин хе + а11, 4 > О, имеет един- 58 у у. Уравнения, не разрешенные относительно производной огненное решение у(х), удовлетворяющее начальному условию у(хе) = уе. Так как у'(х) вт /(х, у(х)), то нз (38) следует Р(х, у(х),у'(х)) ш О, у'(хе) = /(хе, ув) = уе. То есть у(х) удовлетворяет уравнению (36) н условиям (37).
° ЯО«««о««««П' Докшксм единственность решения. Так как ОР(х, у, р)/др ~ 0 а точке (хо, уз, уо), то ОР/др сохраняет знак в некоторой окрестности атой точки,тоестьпри(х,у) б г С 37, ~р-у~~ < с.Здесь3г — окресппвтьточки (хо, уо), с > О. Значит, при (х, у) б У функция Р(х, у, р) монотонна по р на интервале ~р- ф < с, н там Р(х, у, р) = 0 только при р = /(х, у). Уменьшим окрестность г, чтобы в г бмло 1/(х, у) — ф < «/2.
Тогда для (х, у) Е У значения р, для которых Р(х, у,р) = О, распадавтся на деа такие множества .4 и В (В мажет быль пустым), что р=/(х,у), ф Й < (рб А): 2 (39) Роя/(я~У), ~Р— Уо! ~ с (РЕ В). Для любого решения у(х) залечи (36), (37) при х = хо имеем у'(х) = 34 = /(хм ус) б «3. Пока (х, у(х)) Е тг, производная у'(х) не может перейти из М в В, так как по теореме анализа производная принимает асс промежуточные значения, а в силу (39) она не может принимать значений р, для которых с/2 < 1р-341 < с. Значит, при малых!х- хо! произюдная у'(х) остается в А и у'(х) = /(х, у(х)).
А зто уравнение, так как / Е С', при условии у(хо) уо имеет единственное решение, «а««««««««йй Глава Я. Существование и общие свойства решений Например, для уравнения (у')2 — 4х2 = 0 таковы точки (хо, уо) с хо ~ О. Уравнение р — 4хо2 = 0 имеет деа различных корня р3д = ~2хо, для обоих д1г/др; = 2рг ~ 0 и через такую точку в ее окрестности проходят ровно два решения (рис.
б). Если же через точку (хо, уо) в сколь угодно малой ее окрестности проходит более одного решения и хата бы два из них имеют в этой точке одну и ту же производную у'(хо), то говорят, что в такой точке нарушается единственность. Для уравнения (у') — 4х =О таковы точки (хо,уо) с хо =О. 2. Дискримииаигная кривая. Нз сказанного вьпекает, что если П для уравнения (36) с й' б С' в точке (хо, уо) нарушается един-' ственность, то при некотором уо выполняются два условия л'(хо Уо.уо) =0 йй'(хо, уо, ~4) (40) Ж Так как уо заранее не известно, то для отыскания точки (хо, уо) надо из уравнений (40) исключить уо. Получим уравнение гр(хо, Уо) = О, опРеделЯющее некотоРое множество на плоскости х,у.
Это множество называется дискримиаантлой кривой. Дискриминантная кривая содержит все точки нарушения единственности, но может содержать и некоторые другие точки. Пример 5. Найден дискрииинантную кривую дяя уравнения 1 г 2 3 1 1 (у) — 4У (1 — у) =О. ! .Л Решение примера. Дяя этого лишен деа уравнения (40): У'ае(у) — 4У (1 — у) =О, — ее2У'=О. г 2 3 Оу' бО Я 8. Уравнения, не разрешенные ошнаснтельна производной Из второго уравнения имеем у' = О. Подставляя в первое, находим дискриминантную кривую 4уз(1-у) = О.
Имеем две ветви: у = О и у = 1. В нашем случае они обе являются решениямм данного дифференциального уравнения. Чтобы выяснить,где нарушается единственность, найдем друре~ню, из а ж ура~у ~Р ю' = ~2р~/КГ- Н. Решая зти уравнения с разделягющимися переменными, получаем решения (рис.7) 1 (и+ с)2+ 1' у=о, у= 1. На пряной у = О не нарушается единствен- ность, а на прямой у = 1 — нарушается. Рис. 7 Пример 6. Найдем дискриминантную кривую для уравнения 1 гз г 1 Раз (у-1)(у') +2у' — 1 = О. ! $ 3 Решение примера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
