Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда х' = а+ Ьу', следовательно, л' = а+ ЬГ(л). Это— уравнение с разделяюшимися переменными. ! Задачи длл упражнений [12), $2, ЗД60-65. Их х — (б) ау у 1б 2. Запись уравнения в дифференциалах — это запись П М(х, у) Их+ М(х, у) ду = О, (б) где М и дТ вЂ” известные функции. Здесь считается, что любую из величин х и у можно назвать искомой функцией, а другую— независимым переменным. Решениями уравнения (6) называются решения хотя бы одного из уравнений ау М(х, у) ах ДГ(х, у) дх Гт(х,у)' ду М(х,у)' Например, уравнение у 4х + *Ау = 0 можно преобразовать к любому из видов ау — (а), Их х й Я. Простейшие неводы ошыскания решений Ра ~ ур ь ~() Ф~н ива=~/*(Е— бое число, включая нуль), а уравнения (б) — функции х = ст/у (ст — любое). Функция у = 0 удовлетворяет только уравнению (а), так как для нее символ ах/ау не имеет смысла, а функция х = 0 — только уравнению (б).
Все зти функции (у = с~/х, у = 0 и х = 0) называются решениями уравнения у ах+х ау = О. 3. Одиарелшае уравнения. Это уравнения, которые можно за- П писать в виде у' = /(у/х) или в виде (6), где Ы(х, у) и М(х, у)— однородные функции одной и той же степени. Функция Ы(х, у) называется однородной функцией степени р, если для любых х, у и любого й > 0 М(йх, йу) ш й~М(х, у). Примеры однородных функций: х+2у з. у *+Ву, .~.3 усср~, 2 +ч -5рэ,, ~В Зхт-4ху' х' Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой у = хх, х = х(х); следовательно, у' = хх'+ х. Пример решения однородного уравнения см, в ! !2), $4, п.!.
Однородное уравнение не меняется при одновременной замене х на йх, у на йу (й = сопзг ) 0), это следует из определения однородного уравнения. Поэтому каждое решение однородного уравнения при такой замене переходит в решение того же уравнения. Из этого следует геометрическое свойспю: подобное преобразование х йх, у йу с центром подобия (О, 0) переводит все интегральные кривые однородного уравнения в интегральные кривые того же уравнения. 17 Глава 3. Дифференциальные уравнения и их решения ° ееваееее» Об уравнениях, приводящвхся к однородным, см.
[121, $4, и. 2 и п.3. Задачи там же, М 113-ИО к и. 2 н ЬЬ 12 1-129 к п. 3. ~аз\\ ° ~Я Линейные уравмиия — это те, в которые у и у' входят линейно, то есть в первой степени. Они привш1ята~ к виду у' = а(х)у+ Ь(х). (7) Чтобы решить зто уравнение, сначала решаем уравнение у = а(х)у. (8) Разделяя переменные, как в (3), получаем у' ГФ Г вЂ” = а(х), у — = у а(х) ах+ сы у, у 1п ~у~ = а(х) Их+ сы 1у~ = е" 1р(х), где р(х) = еХ'1*14в. Значит, у = хеар(х) = ор(х) — решение уравнения (8).
Здесь с — любое. Значение с = О дает решение у = О, которое было потеряно при делении на у. Теперь ищем решение уравнения (7) методеж вариации но- стоянных. Заменяем постоянную с на пока неизвестную функ- цию с(х). Подставляя у = с(х)р(х) в (7),получаем с'1р,+ с1/ = а(х)с~р + Ь(х). (9) Так как у = ~р(х) — решение уравнения (8), то су' ве а(х)ор, и из (9) имеем с'~р = Ь(х). Находим с'(х), затем с(х), и получаем решение у = с(х)1р(х) уравнения (7). 1 Пример 3. Решить уравнение ху' = 2у — 2х4, 1 $2. Простейшие методы отыскания Решений Решение примера.
Решаем сначала уравнение ху' = 2у. Разделяя переменные и интегрируя, получаем у' 2 /ф /2 — — ~ — =~ — дх+сн 1п!у!=21п!4+с,. у х ,/ у ,/ х Отсюда имеем у = шемх = ох~. Теперь ищем решение исходиого уравнения в виде у = с(х)х~. Подставляя в исходное уравнение, получаем хэппи+ с 2хз = 2схз — 2хч Отсюда с(х) = -х~+ст и у = с(х)х~ = -х~+сзх~ — мскоиое решение. Об уравнениях, линейных относительно х, см, 112), 9 5, и. 2, ! Задачи дяя упршкнений: [12), $5, Ф 13б-'150. Б. Уравнения Бернулли — это те, которые можно записать в виде П у' = а(х)у+ Ь(х)у~ (а ~ О, а та 1)'. (10) При а = О и а = 1 это уравнение — линейное. Чтобы решить уравнение (10), надо обе его части разделить на у у му' = а(х)уг а+Ь(х) и ввести новую искомую функцию л = у' . Тогда = (1 — а)у у, и уравнение сводится к линейному — = а(х)я + Ь(х).
1 - а 19 рлааа 1. дифференциальные уравнении и ил решения Это уравнение решается методом, изложенным в п.4. Надо помнить, что при делении на р~ в случае а > О теряется решение у = О. ! Задачи длл упражнений: (12ь $5, 1й 151-1бО. б. Уравнение в полных дифференциалах — зто такое уравне- П ние вида (б), левая часть которого есть полный дифференциал от некоторой функции Р(х,у). Предполагаем, что функции М, йГ, Ме, К,' непрерывны. Для существования такой функции Р(х, у) необходимо, чтобы М„' вз И,'. В самом деле, аР(х,у) = Р, 'ах+ У„'ар; чтобы зто равнялось Мах+ йГау, надо, чтобы выполнялись равенства М = Р', Ф = Р„'.
Но тогда М„= Р,"„ш Р„', = К,'. В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда функции М и 1ч' рассматриваются в односвязной области, то есть в,области без «дыр», условие М„' гя К,' является и достаточным, и функция Р(х, р) выражается с помощью криволинейного интеграла. Излагаемый ниже более простой способ отыскания функции Р(х, р) можно применять в любой области, но иногда он дает непрерывную функцию Р(х, р) лишь в части области. Проверяем, что М„' ат 1ч,'.
Из уравнения Р,' = М получаем Р(х, у) = М(х, р) йх+ р(у). (11) Производная Р,' — частная, она берется при постоянном р, поэтому р считается постоянным при интегрировании по х. Функция (11) удовлетворяет уравнению Р,' = М при любой функции р(р), Найдем р(р), подставляя выражение (11) в уравнение Р„' = йГ. (Если при отыскании р(р) окажется, что у'(р) У Я. Просгпейшие неводы огпыснания решений зависит и от и, то или условие М„' вз 1У,' не выполнено, или допущена иная ошибка.) С найденной функцией 1р(у) формула (!1) дает функцию Р(х, у), Данное уравнение (6) запишется в виде аР(х,у) = О.
Функция у(х) будет решением уравнения (6), если М(х, у) + 1т(х, у)у' = О, то есть (так как И = Р,', 1т = Р'), если й — Р(х, у(х)) = О, Р(х,'у(х)) = е = сопзг. Аналогично, функция х(у) — решение уравнения (6), если Р(х(у), у) = с. Таким образом, решения уравнения (6) — это функции у(х) илн х(у), определяемые равенством Р(х, у) = с. Например, для рассмотренного в п. 2 уравнения у ах+ хау= О имеем Р(х, у) = ху, и решения уравнения — функции у(х) или х(у), определяемые формулой ху = с. Пример решения уравнения изложенным методом см. [12], 56, и.1. Интегрирующим множителем для данного уравнения вида (6) называется функция ш(х, у), после умножения на которую данное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах.
Задача отыскания интегрирующего множителя в общем случае столь же трудная, как и задача решения данного уравнения. 0 приемах, позволяющих в некоторых случаях отыскать такой множитель, см. [9], гл. 2, 5 3, п. 3 и [12], 56, п. 2, Иногда в записи данного дифференциального уравнения можно выделить такую функцию 1а(х, у), которая входит в уравнение несколько раз, например, входит и р(х, у), и дифференци- 21 Глава 1.
Дифференциальные уравнения и их решения ал д(р(х, р). Тогда в уравнении можно сделать замену (р(х, р) = л, прн этом одну нз старых переменных х и р надо выразить через другую и через я. В ряде случаев это позволяет упростить нлн решить уравнение. Примеры см. [12], 96, и.3. ! Задачи дяя упражнений [12], 9 б, гй 195-220. ° ьееааеава~ [ [ 7. рассмотренные выше типы уравнений не охватывают всех уравнений вида р' = У(х, р), решаемых элементарными методами. Много уравнений, допускающих элементарные решения, имеется в справочнике [29[, часть 3, глава 1. Большинство из них нли принадлежит к рассмотренным выше типам уравнений, или сводится к ним заменами переменных, Однако произвольно написанное уравнение вида у' = 1(х, р), если оно не из самых простых, чаше всего не удается решить с помощью элементарных приемов. Яиувияль показал, что даже среди простых уравнений имеются такие, как например у' = уз + х, ни одно решение которых не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа элементарных действий и операций взятия неопределенного интеграла.
Современные вычислительные машины позволяют вычислить решение конкретного уравнения с большой точностью. Но прежде, чем их применять, надо знать, что решение существует, и знать те свойства решений, которые надо учитывать при вычислениях на машине. ~м е 5 3. Методы понижения порядка уравнений Для линейных уравнений высших порядков методы решения рассматриваются в 910 и 511, для линейных систем — в 914. 22 $ 3. Иеяюды понижения порядка ураенений Для некоторых классов нелинейных уравнений применяются методы понижения порядка, позволяющие упросппь уравнение, а в некоторых случаях — решить его.
Ниже рассматриваются основные классы уравнений, допускающих понижение порядка. 1. В уравнение не входит искомая функция (и, возможно, П также ее производные до некоторого порядка). Уравнение имеет внд ЗЯ(х,у(ь),..., (Я))=0 ( >й>1). Тогда за новую искомую функцию я(х) берем низшую из производных, входяших в уравнение, то есть у( ) = я. Тогда у(я+0 уйб «( -ь) Порядок уравнения понижается на я единиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
