Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Решение уравнения Ь(р) = А + Б равно р, + р,, де М,) = У„Ь(р,) = У,. Существуют частные решения р, и рз вида (41) с одним и тем же й (корни а ~ 1% имеют'одну и ту же кратность). Переходя от е1'ьлп' к е~ сов,й и е" ип ~М, получаем (44). ° На практике лля отыскания решения (44) можно пользоваться любым из двух способов. 1. Написав в (44) многочлены К($) и Я($) с буквенными коэффициентами, подставить зто выражение в дифференциальное уравнение. Приравняв коэффициенты при подобных членах слева и справа, можно найти эти коэффициенты без использования комплексных чисел.
Например, для уравнения р" +р = 2с<в$ -8$я1пк имеем у = 4 = Л„й = 1, тп = 1, поэтому частное решение можно искать в виде р =11(аФ+Ь) соя$+ (с1+й) я1п$~. 2. В этом способе неизвестных коэффициентов вдвое меньше, но они комплексные. Так как соя 1М = Ке е~р', я1п р$ = 1т е'~ = — Ке ((ечв), то в (43) уЯ = Ке д($), у(Ф) = (Р(1) - ИЯ)) е1~+РШ. 102 в И. Линейныеурпвнения с поаполнными козффипиенгпами 'як как линейное уравнение и-го порядка сводится к линейной системе, то в силу леммы 1 89 данное уравнение х (у) = у с функцией у(1) = Кед($) имеет частное решение у = Ке х. Комплексные числа де,..., д уже найдены, а е! +РОг = е~(с!ж!Оз+ 1 зш П$), поэтому найти Ке х теперь нетрудно.
Пример 13. Решить уравнение ! ! у" + у ж 2созФ вЂ” 81з1п1. ! ! (45) Решение примера. Харак!еристическое уравнение Л +1 = О имеет корим Л, = з, Лз — — -1. Общее решение однородного уравнения у = с, сгш Ф+ сз зш Ф. Для каждого слагаемого правой части в (45) определяем числа гз = О, О = 1, у = а+ !!Зг = 1. Для обоих слагаемых они одинаковы, поэтому надо искать частное решение сразу для данного уравнения, не разбивая его правую часть.
Так как 2созс-81 вша = Ке(2+8И)еп, то вместо (48) пишем у = Ке х, х + х = (2+ 8Ы)е ', (46) число у = з равно корню Л, кратности Ь = 1, степень многочлена 2+ 8Ы есть гп = 1. По теореме 9 ищем решение в виде х = Ф(аФ+ Ь)е". Подставляя зто х в уравнение (46), получаем 12а+1(4ас+2Ь)]еи = (2+80)еп. Значит, 4ай = 8з, 2а+2Ь1 = 2.
Отсюда а = 2, Ь = з и х = (21з+ вс)е!!. Частное решение 103 Ишем решение х уравнения з.(х) = д(Ф) в виде (41), где у = а+,Я. Для этого подставляем такое х в уравнение и находим комплексные коэффициенты дс, д„..., д . ПолУчаем = зла(1) '+РО! 1у(1) = 1 "+ Ч 1 ' + + Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сислшмы у, = Ке л = 21з сгшз — ззгпз. Общее решение уравнения (45) у = у + у, = е, соз$+ ез зйтз+21зсов1 — зшпФ.
! Задачи длл упражнений: (12), 5 11, зд 533-574, 607-608; 3 23, зд 68-73, 78-85, 87-90. И 1 Пример 14. Уравнение упругих колебаний (без сопрстнвле- г 1 г ния) под дедпвием синусоидальнод внешней силы имеет < вид 1 1 п~+ азм = Ьз(пиз (а, Ь,ы ) О). (47) г г решение примера Характеристическое уравнение Лз+ аз = О имеет корни Л, = шаз. Общее решение однородного уравнения ав = е, соз а$+ез шп аз — зто коаебаниЯ пРи отсУтствии внешней силы, они называются собстлвенными «олебанилми.
Для функции сбп ыз имеем 7 = ыг. В случае ы;Ь а уравнение (47) имеет частное решение вида мг = есозыз+ Изгпю$. Подставляя это в (47), получаем (а — и )е сов М+ (аз — ыз)д шпиг« = Ьшпыз. Так как ~ы~ ~ ~а~, то е = О, д = Ь/(а — ыз). Общее решение уравнения (47) Ь и = хь + юг = с, сов аз + ез кгп аг + — з згп ыз. й ы Случай ы = и, когда частота внешней силы совпщщет с частотой собственных колебаний, называется резонанс«ым. В зтои случае согласно (44) надо искать частное решение в виде 104 в И. Линейные уравнения с пооналннынн «озффициенгнами х, = 1(ссовМ+ нв!пы!).
Подставляя зто в уравнение (47) и учитывал, что и = и, получаен Ь отсюда И=О, с=- —. 2ы 2(ыг!совыФ-ысвшы1) = Ьв!пис; Общее решение Ы х = хе+х, = с, совыФ+с зшыс — — совыс 2Ю представляет собой колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. В реальных физических систенах колебания никогда не ноп~т расти неограниченно, так как колебания большого разнаха или сдерживаются сопротивлением, или приводят к разрушению системы. Пример 15. Пусть в электрической цепи (рис.
10) последа- ! 1 вательно включены катушка саноиндукцни Ь, конденсатор ! еикости С, сопротивление В и источник перененного тока с напряжением Уз!по4; Х, С, Л, У, ы > О. Найти силу тока в цепи при установнвшенся режине. 1 105 Обобшая этот пример, в математике называют резонансным любой случай, когда определяемое по правой части уравнения число у совпадает с корнем Л характеристического уравнения, независимо от того, имеет ли правая часть уравнения колебательный характер. При наличии сопротивления, пропорционального скорости, уравнение упругих колебаний имеет вид, отличаюшийся лишь Е=!гв!и ьч обозначениями от уравнения, рассмотрен- Рнс.
10 ного в следуюшем примере. Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и аюпемм Решение лринера. Уравнения для силы тока 1(1) и заряда конденсатора у($): Ь вЂ” +Ж+ — = т" вгпыв, — = 1, а . 88 йв С ' а1 (о получении этих уравнений и приненяеиых физических законах сн. (12), 411, п.5 или Я, 4 13). Дифференцируя первое уравнение, получаен 1 й1н + Ы' + — 1 = ыУ сов ыэ. С (48) Характеристическое уравнение 1Л + 22Л+ 1/С = О инеет или комялексные сопряженные корни Л,,Лз с вещественной частью -Л/(21) < О, или вещественные отрицательные корни, так как Л, Лэ = 1/СЬ, Л, +Лэ = -Л/1 < О.
Поэтону решение однородного уравнения 1в(в) = с,е""+ с е~" стреинтся к нулю при Ф-+со. Чтобы найти частное решение 1,(Ф) уравнения (48), заметки, что сов ыэ = Ке е~, позтоиу 1, = Кс х, где 1х" +йх'+х/С= ыУе' '. Было показано, что КеЛгз<О. Поэтому у = вы -,е Л, и частное решение ищеи в виде х = Ае"'. Подставляя в уравнение получаем А -ыэЬ+йиВ+ — /е~=ыУеыг, Аж, С~ ','.-Д +в22' Полагая А = Щеге, получаеи х = ~А~с'~~+~~, 1,(Ф) = Кех = ~А1 сов(ыФ+ эз).
Общее решение уравнения (48) есть 1(1) = 1в(Ф) + 1,(Ф). Так как 1в(Ф) - О при Ф -+ оо, то при любых начальных угс овнах через некоторое вреня 1 (Ф) будет близко нулю и 1(Ф) будет очень 106 я 11. Линейные уравнения с постполннымн нозффиниенгпамн мало отличатьсл от периодическою решения 1,(1), не завися!него от начальных условий. Такое решение называется усшанояившемся рахимом, а процесс от начального момента до момента, когда слагаемым 1 (1) можно будет пренебречь — переходным процессом.
< В электротехнике важно знать наибольшее значение 1!($), достигаемое на каждом периоде. Оно равно Щ, р' Щ= Графики !А~ в зависимости от ьг при разных В изображены. на рис. 11. Линия 1 — при В = О, линия 2 — при малых В, линия 3 — при больших В. Максимум !А~ досппается при ! рр тоесгьприч'=и'в ~в= !!/И' Рассматриваемая электри- !А( ческая цепь в случае маяо- ! ! ! го В хорошо пропускает только ток определенной частоты ! ! шв и близких к ней частот. ! Подобное устройство приме! ! няется в радиоприемниках (на! ! стройка приемника на опреде- 2! ленную частоту с помошью из- ! менения параметров Ь, С, В). уточнение.
Для функции 1,(1) = Ясов(ьг1+ р) период Рис. 11 равен 2к/ьг, а частота в обычном смысле, т. е. число колебаний в единицу времени, равна ы/2я; число ьг называется крутовой частотой. 107 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы Ю, аьх"убе+а~х 'ум О+...+а„охру+а„у= у(х) (аг — постоянные) сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х > 0 (или х = -е' при х < 0). Докажем это.
Имеем при х > 0 Ы ...4. ~-'Й-~-'М у»= — =е уг=л; у~= = =е (уя уг) ° , е' По индукции докажем, что у!М =е мВ(у), В(у) =Ьму1Н+Ьыуа О+... +Ьь,ь,у'„(50) где все Ьы — постоянные числа. Предположим, что (50) верно для некоторого Ь. Обозначая е™Ь(у) через В, имеем !+О „В,' е м(Ь(у))', — Ье мХ(у) <ь+,>, ух з х( е' — е Х!(у), где Х|(у) — сумма производных у,, у,,..., у,' с постоянными ко- (а+О (ь! эффициентвми. По индукции формула (50) доказана. Подставляя (50) для Ь = 1, 2,..., и в (49), получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для этого уравнения характерисгическое уравнение можно на- писать, не пересчитывая производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
