Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теорема 15. Если выполне«ы условия теоремы 14 и у(Ф) «епрерывка при Ф, < Ф < Фз, то решение краевой задачи (61) 120 У 13. Краевые задачи Доказосиельппво. Разбиваем интеграл на части $с < в < $ и $ < е < $з. Учитывая (63), имеем с сс р(й) =уз(й) Ь(в)с(в)де+у',(Ф) а(в)Я(в)сЬ (66) с (сбразуюспиеся при дифференцировании члены Ь(Ф)рз($) и -а(Ф)рс(Ф) взаимно уничтожаются в силу (64)). Подставляем выражения для р(3) и р'(Ф) в краевые условия. Так как 'рс удовлетворяет первому, а рз — второму краевому условию, то р(1) удовлетворяет обоим условиям, Дифференцируя (66) еще раз, получаем с рк(г) = р,"(~) Ь(е)у(е) е+ Ь(а)р',(З)у(Е) + с~ сс + рс(Ф) а(е)Яв) сЬ вЂ” а(Ф)рс(Ф)7(й). с Сумма внеинтегралъных членов в силу (64) равна У(й)/ае(й). Умножая полученные выражения для р", р', р на ае, а„аз и складывая, находим, что Ьр вз арра + аср'+ азу равно с с,~с~-,,~с~-~у) /к )ус )а, 121 Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и си!пены +!~К+ ю',+ я,)~ ! >5! !а +$Ю. Так клк Гуз — — О, Ху! = О, то Ьу = З(Ф). Итак у(1) — решение задачи (б1). ! ! (б7) Пример 13. Найти функцию Грина краевой задачи ! у" + у = З(1), у(0) = О, у'(я) = О. ! решение примера Из однородного уравнения у" + у = 0 при «ть:-о~~~~е р=ы с.т д!~! -о~ р г(и)ио задача (67) имеет только нулевое решение, то есть выполне- но условие существования функции Грина.
Функции у, = ыпФ, уз — — соьз удовлетворяют уравнению у" + у = 0 и условиям у,(0) = О, ут(гг) = О. Позтону согласно (63) С(1, в) = а шп Ф (О < Ф < в), сг(1, в) = Ь соьз (в ~( Ф ~ 4а). Теперь из условия (62) или, что то же самое, (64) инеем а ьш в = Ь соь в, -Ь ьш в ж а соь в + 1. Из втой систенм находим и = — соь в, Ь = — ьш в. Теперь из (68) С(т,в) = — соьвьпг$ (0<1< в), С(1, в) = — шп в сов 1 (в < 1 < !г). ! Задачи для упражнений: [12], Ь 13, ЗД 764-771. 122 ! 3. ! Рассмотрим краевую задачу лля уравнения с параметром Л Ту-Ау=0, ау'(1!)+!ду(1!)=О, уу'(тз)+бу(зз)=0, (бр) $13.
Краевые задачи где Ьр,!х,!д, у, б те же, что в (61). Значения Л; при которых задача (б9) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями этой задачи, а сами ненулевые решения — сабснжнными Функциями. Прн тех Л, которые являются собственными значениями, имеет место второй случай альтернативы, а при остальных — первый. г -! ! Пример 19.
Найти собственные значения и собственные ! функции задачи ! р" — Лр = О, р(0) = О, р(д) = О. ! ! Решение примера. В силу теоремы 10 ненулевые решения этой задачи могут существовать только при Л < О. Полагаем Л = -аз, а > О. Иэ уравнения и условия р(0) = 0' получаем р = сзш аФ. Из условия р(б) = 0 следует св1п ад = О. Чтобы было р 81 О, надо с;6 О, аб = згй, й = 1, 2, . Поэтому згй /нй 1 аша»вЂ” - — Л»ш-а»ж — ~ — ! йж1 2 .... а Ф а э э 1' ° ° Числа Л» — собственные значения, а функции р = свш У2-— еы собственные функции. ! Задачи для упражнений! (12], б 13, Эй 782-785. ° ° П 4. Для различных краевых задач исследовались условвг, прн которых задача имеет единственное решение.
Важное направление теории краевых задач — спектральная теория, изучающая свойспа собственныхзначений н собственных функций. Выделен класс самосопркженных» краевых задач, у которых собственные 123 гнала 3. Линейные дифференциальные уравнение и сипаемы функции ортогональны в пространстве Ь на данном отрезке н доказано, что любую гладкую функцию на этом отрезке, удовлетворяющую краевым условиям этой ззлачн, можно разложить в сходящийся рял по собственным функциям такой задачи, аналогичный ряду Фурье [30), гл. 7. Такие разложения используются, в частности, прн решении различных зааач для уравнений с частными производными методом разделения переменных.
5 14. Линейные систеиы с постоянными коэффициентами 1. Рассматриваются линейные системы нормального вида П х, = апх, +... +ашх„+у,(х), (70) х„ = а„,х, + ... + а„„х„ + у„(з), где а, — любые числа, а ~,(Г) — известные функции. В векторной !ф записи х' = Ах+у($), где х(г) — неизвестная, а у($) — известная вектор-функции, А — любая постоянная матрица. Такие системы часто встречаются и в теории дифференциальных уравнений, и в приложениях.
Общее решение такой системы в случае у(з) гя 0 всегда выражается через элементарные функции. Поэтому такие системы часто применяются для исследования более сложных систем вблизи положения равновесия. В приложениях они появляются, например, при изучении движений в механических системах с несколькими степенями своболы и при описании токов в разветвленных электрических цепях. Путем исключения неизвестных систему можно свести к одному илн нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией 124 я 14. Линейные сипнемы с постоянными коэффициентами в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравнения системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных.
С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример 20. Решить систему х' = р+ $, р' = х — 2е'. г р р ис и р. И р ~ уИ р= — Ш.Папа~ею р ур~в~ю~п~ю ~ — 1= х -2е'. Решаем зто уравнение методом а 11. Находим х = с, е'+ с е '-1е' — 1. Значит, р = х'-1 = с,е'-сзе ' — (1+1)е'-$. ° Д2.
Ршиеиие системы х' = Ах (х Е й") в случае, когда матрица А порядка и имеет и линейно независимых собственных векторов. Так будет в случаях, когда или уравнение де1 (А-ЛЛ) = О не имеет кратных корней Л, или для каждого кратного корня Л ранг г матрицы А — Л.в равен н — м, где м — кратность этого корня (так как уравнение (А — ЛЕ)и = О для собственных векторов и имеет и — г линейно независимых решений). Пусть Л вЂ” собственное значение, а и — собственный вектор матрицы А. Тогда х = е~и — частное решение уравнения х' = Ах, так как х' = е"'Ле, Ли = Аи.
Если собственные векторы и',..., и" линейно независимы, то имеем решения е""и',..., е"'и". Они линейно независимы, так как их вронскнан И' т~ О при 8 = О (его столбцы и',..., и" линейно независимы). Следовательно, общее решение системы х' = Ах имеет вид х = с,е ' и +... + с„еь и", где с„..., с„— произвольные постоянные. 125 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиапемы Доказательство.
Имеем Аи' = Л1«1. Равенство не нарушится, если в нем Л, и координаты вектора е' заменить сопряженными: Ае' = Лгу', то есть А«2 = Лзи~. Для вещественного Л координаты собственного вектора определяются из сисгемы (А — Л .Е)и =О с с$е1(А — ЛзЕ) = О и вещественными коэффициентами, поэтому вектор е можно взять вещественным и е ~ О. Общее решение системы х' = Ах с вещественной матрицей А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить кюкдую пару комплексных сопряженных решений х' = е""о', х2 еьгг«2 парой вещестггенньгк решений Х +Х 1 Х вЂ” й 1 2 1 2 — =Кех, «2 = —, =1шх, 2 ' 2 21 как в п.
1 $11. Получим вещественную фундаментальную систему решений и через нее выразим общее рдшение. г 1 Пример 21. Решить систему х' = Зх — 2у, у' = х + у. 1 1 126 б 14. Линейные актеиы с постоянными «оэффициентани Решение примера. Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л = О, Л вЂ” 4Л+ 5 = О, Л = 2 ~ в.
1 1-Л /а~ Дяя Л = 2 + з находим собственный вектор ~ ) (1 —, 1)а — 2Ь = О, 1 ° а — (1+«)Ь = О. Можно взять Ь = 1, а = 1+ з. Получаем частное решение (1+ з)е1з+~Р р — ей+'Р Решениямн данной системы являются вещественная н мнимая частм этого частного решения: х = е~(созз- з[п Ф), х = е~(соей+ з1п Ф), и р = е" сов3 р=е з1п$. < Д3. Резавшие ° ебвгем случае. Упростим систему, приведя матрицу А к простейшей форме — жо1здановой.
Известно, что для любой квадратной матрицы А сушествует такая неособая матрица С, что матрица В = С 'АС вЂ” жорданова, то есть ,Х;=(Л<) или Х;= О щ (71) 227 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнение и сиовены Клетки К~ могут быть любых размеров; в каждой клетке на всей диагонали стоит одно и то же число Л,, а в разных клетках Л,. могут быть различны или одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
