Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1ак как С 'АС вЂ” ЛЕ = С '(А — ЛЕ)Си дегС ' дегС=1,то бег 1С '(А-ЛЕ)С~ =дегС '.бе1(А-ЛЕ) ° с$егС=бег(А-ЛЕ). Ф Поэтому матрицы С 'АС и А имеют одно и то же харакгеристическое уравнение, значит, одни и те же корни Л,. с теми же кратностями. К системе х' = Ах применяем линейное преобразование координат х = Су, то есть х; = сну, +...
+ сыу„(ь = 1,..., и), (72) где матрица С та же, что выше. Получаем Су' = АСу. Умножая слева на С ', имеем у'=С 'АСу, тоесп у'=Ву, где матрица  — жорданова. Если первая клетка имеет размер й х й, вторая — 1 х 1 и т.д., то в первые й уравнений системы у' = Ву входят только неизвестные у,,...,у, в следующие 1 уравнений — только неизвестные у +„..., у +,, и т.д. Значит, система распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать отдельно. Первая подсистема имеет вид (где Л = Л,) У1 = ЛУг+Угв Уг = ЛУг+Уз (73) Ф Уь !=ЛУь $+Уь Ф Уь = ЛУь. Другие подсистемы отличаются только числами Л и й. Сделав в (73) замену у, = е~х; (1 = 1,..., й), получаем / хг = лг, аг = лг, ..., ль„г ж хь, хь ж О.
(74) 12б в М4. Линейные системы с оостохнными коэффициентами Решая зту систему, начиная с последнего уравнения, находим хь = сей хь, — — сьФ+сь „ ~й-1 ~й-2 $ х = сь . — + сь, — +... + сэ- + сн (м — 1)! (7с — 2)! Ц Умножая на е"", получаем решение первой подсистемы эи рд— - се рь, =(с„с+се,)е ', р, = с» ° — +...+сэ-+с,(е '. (й-1). '" и '! Это решение — общее, так как получается из уравнений (73) с помощью тождественных преобразований, Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь числа Л~, и = йу и произвольные постоянные с~ будут другими (Л вЂ” число Л в у-й клетке, м — ее размер).
Собрав вместе решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы р' = Вр. Возвращаясь от р к х в силу (72) получаем такой результат, Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы Коэффиийентымногочяенов У~ Я (ь = 1,...,и; у = 1,...,пь) зависят от и произвольных постоянных. Решение конкретной системы х' = Ах можно получить и без приведения матрицы А к жордановой форме. Для этого надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения бег (А — ЛВ) = О.
Для каждого Л надо найти число пь линейно независимых собственных векторов по формуле ш = » — г, где и — порядок матрицы А — ЛЕ, г — ее ранг. В с)гучае ш = Ь, где Ь вЂ” к1атность корня Л, этому корню соответствуаг решение х = с,емЬ'+... + с емЬь, где Ь',..., Ьь — линейно независимые собственные векторы. Если матрица А — вещественная, то надо воспользоваться леммой 9 и сказанным после нее.
В случае ш < й надо искать решение х = (х„...,х„) в виде х, ж (а+ Ы+... +АЬ')е х„= (р+ йс+... +г1')е где е = Ь вЂ” ш. Подставляя эти выражения с буквенными коэффициентами а, Ь,... в данную систему, сокращая на ем и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систему линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее от Ь произвольных постоянных. (Заметим, что в случае Ь > 4 все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав зто для каждого Л и сложив найденные решения, получим общее решение системы.
130 $14. Линейные с1клшмы с лоспюянными коэффицненн1анп Пример 22. Решить систеиу 1 / У 1 х =2х-2у, у =х — у, 1. 1 ! 1 1 я' = 2х — я. Решение примера. Составляем и решаеи характеристическоеурав- нение 2-Л -2 0 0 -1 — Л 1 и-Л +ЗЛ вЂ” 2=0, з 2 0 -1-Л Л! 2' Л2,3 Для простого корня Л = -2 находим собственный вектор (а, Д, у) 4а — 21У ж О, 17+7 = О, 2а+ у =О. Иожно взять а = 1, 1У = 2, у = -2. Имеем частное решение х=е, у=2е ~, х=-2е ~. (7б) 131 Если матрица А вещественная, то достаточно проделать описанное только для вещественных корней и для одного из каждой пары комплексных сопряженных корней Л = а ~ 1Я (уУ зе 0), и от полученного решения взять вещественную и мнимую части. Например, из решения х' = (с, +с $)ен получаются два решения: и1 = Ке х = (с, + с 3) сов с и и~ = (с + с4з) япс с новыми постоянными с, с .
(Обоснование такого метода требует детального анализа и изложено в [7), у 34.) Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы Для кратного корня Л = 1 находим ранг иатрицы А — ЛЕ, число пз собственнй!! векторов и степень в многочлена: Ищем решение в виде х = (а+ Ьй)е, у = (с+ гИ)с, л = (7+ у$)е~. (77) Подставляем это в 'данную систему и сокращаеи на е'.
Приравниваеи коэффициенты при подобных членах, начиная со старших: Ь=Ы, гй=у, гу=2Ь, -а+ Ь = -2с, 2с+ а = 7, 27+ у = 2а, Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня Л =! равна 2, поэтому все неизвестные а, Ь,... должны выразиться через два иэ них (пока не знаем, через какие). Из первых трех уравнений имеем Ь = у = 2а. Подставляя в остальные уравнения, получаем а — 2с = 2а, 2с — 7 = -а', 2а — 2У = 2а'. Все неизвестные можно выразить через с и а. Имеем а = 2с+2а, 7 = 2с+ а'.
Полагая а' = с,, с = с, получаем Ь = у = 2с,, а = 2с, + 2сз, У = с, + 2сз. Подставляя зто в (77) и прибавляя частное решение (76), умноженное на с, получаем общее решение системы: х = (2с,а+ 2с, + 2сз)с'+ сзе у = (с,Ф+аз)е'+2сэс ~, л = (2с,Ф+ с, + 2сз)с' — 2сзе 232 1 -2 О .4 — ЛЕ= О -2 1 2 О -2 с=2, ги = и — г = 3 — 2 = 1, е = й — пь = 1. 914.
Линейные сиипемы с постоянными «озффициентами ! Задачи для упражнений: [12), $14, (и 788-812~ $23. В 96-98. 105. и. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффици- П ентами. Решение такой системы всегда можно получить методом вариации постоянных (п.5 $9). При этом используется интегрирование. Однако в случае, когда неоднородности у((1) в системе (70) выражаются только через суммы и произведения функций а("', ег', сов (М, вш (9$, частное решение системы можно найти без интегрирования — методом неопределенных коэффициентов, как показывается ниже. Так какрешение системы и' = Ах+у'(1)+ "+у'(в) равно сумме решений систем (х')' = Ае" + ху(1) (7 = 1 "° г) а сину сы и косинусы по формулам Эйлера выражаются через показательные функции, то достаточно указать вид частного решения системы «' = Ах+ р($)ег(, где р($) = а $ + а,$ ' +...
+ ав; ав,..., а — векторы. Сделав с этой системой те же преобразования, что в п. 3 с системой,х' = Ах, повучаем вместо (74) систему х, = х, + р',(1)е(™ х, =хь+рх,(1)е (7-ля х' = р~(Ф)е(™, гле рз($) — многочлеиы степени не выше пв. Из этой системы последовательно находим х, хв „..., х,.
Возможны два случая. Вели 7 — Л гь О, то х = р (1)е(г хйй( = 9 (1)е(г-хр 133 Глава'3. Линейные дифференциальные уравнения и сиопемы "! ! ! ! ! ! ! г Пример 23. Решить систему ! Ф и ! х = Зх — 23+се, у~ ж х+у+4е созс. ! Решение примера. Общее решение однородной системы получено в примере 21, здесь Л, = 2 ~ з.
Для неоднородностей Фе" и 134 где д'(1) — многочлен той же степени, что р'(Ф). Здесь и далее постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как ишется частное решение. Аналогично отыскиваются х,,..., х,. Получаем х (~)е!т-М где д,'(1) — многочлены степени не выше тп. Если же у-Л = О, то е1т "" ш 1, и каждый раз интегрируется только многочлен. От этого его степень повышается на 1.
После й интегрирований степень повышается на й. Значит, в этом случае х! = а,'(Ф), з = 1,..., й, где а,'($) — многочлены степени не выше !ть+ й. Возвращаясь от функций х, к р! и затем к х!, получаем, что система имеет частное решение вида х<=у<(1)е~. (3=1,...,п), (78) где а!(1) — многочлен степени не выше тп, если у не совпадает ни с одним из корней Л и степени не выше пь+ й, если у совпадает с корнем Л ", число й, равно размеру найбольшей из жордановых клеток, содержащих Л, Следовательно, й на 1 больше наибольшей степени многочленов„умножаемых на е"Р в общем решении однородной системы. Я 14. Линейные сиолемы с лосглоянными «оэффициенгломи 4е~ сов $ числа 7 = 2 и 7 = 2+ «различны, поэтому надо решить две системы х' = Зх — 2у+ Фе~, у' = х Ч. у; (79) х' = Зх — 2у, у" = х+ у+ 4е ' сов 1 = =х+у+Кс4е(+'".
(80) Для системы (79) 7 = 2 тв л., поэтому частное решение х, ж (а«+ Ь)ез«, у, = (с«+ д)ем. Подставляя в (79), находим а = Ь = с = 1, а = О. Значит х( — — («+1)е, у, =Се . В системе (ВО) заменяем 4е~сгшЮ на 4е( "Ог. Число 4 рассматриваем как многочлен степени О. Так как 7 = 2 + « = Л,, Й = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и «( 1 ) (2+(1««( С ) (2+«1« Подставляя в систему с отброшенным "Ке, получаем (1 — «)р = 2т, (1+ «)« = р; р = (1 — «)9 — 2е, т+ (1+ «)е = д+ 4. Уравнения зависимы, решений много. Берем частное решение, например е = О, 9 = 2« - 2, « = 2«+ 2, р = 4«. Тогда х~ = (4««+ 2( — 2)е(«+О' у' = (2« + 2)«е( + ", хз —— Кс хз = е 1-2 сов $ — (4«+ 2) шп «1, уз = Ке уз — — е" (21 сов « — 2$ в(п «).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
