Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 22
Текст из файла (страница 22)
12). Решение х = Р($) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво по Ляпунову, 2) все решения х(3) с начальными условиями Щ) из некоторой бо-окрестности точки хе неограничено сближаются с решением х = «р($) при Ф вЂ” +со, то есть х(8) — «р(3) - О ($ -«+ос). 1бО $18. Понятие устойчивости Рис. 22 Требования !) и 2) независимы. Из 1) не следует 2), так как из неравенства (8) не следует, что х(2) — гр($) — О, а из 2) не следует 1), см.
следуюгднй пример. г -1 Пример 2. Пусть линии на рис. 13 изображают траектории ! 1 системы Й~ Иу 1 1 — = р(х, у), — = д(х, у). гй ' ' Ж ! 1 г 1 Пусть функции р, д непрерывны; р(0,0) = о(0,0) = О, значит, х(с) гы у(т) аа 0 — «нулевое» решение. На одной из кривых, идущих из точки О(0,0) влево, возьнен точки В и В.
Возьнеи числа 0 < е < 1ОЩ и сколь угодно малое б > О. Решение х(2), у(1) с начальным условиен в точке В, лежащей на дуге ОВ в б-окрестности точки О, идет по дуге ОВР. 8 точке В инеен 1ОВ! > е. Нельзя подобрать такого б > О, чтобы решение из точки В оставалось в е-окрестности нулевого решения. Позтону нулевое решение неустойчиво. Глава 4. Авглономные снсглемы и усглойчнвоаиь Наличие или отсут- в стане устойчивости не зависит от выбора начального момента те.
8 самом деле, пусть при начальном моменте зе решение х = гр(з) устойчиво, то и есть из ~х(Фе)-р(зе)~<б следует неравенство (8). Пусть начальный момент Ф, ) Ф„ (или Ф, < Фе) и Рнс. 13 !х(Ф,) — р(Ф,)! < 8. Если г) достаточно мало, то из этого неравенства в силу непрерывной зависммости решения от начальных условий следует неравенство 1х(Ф) — р(т)~ < б на отрезке с концами з и С,, а отсюда— неравенство (8).
То есть и при начальном моменте т, решение х = ~р(Ф) устойчиво. Исследование устойчивости любого решения х = р(т) системы (7) можно привести к исследованию устойчивости нулевого решения другой системы. Для этого в (7) делается замена искомой функции х = уг(3) + р. Получается система р'(т) + р'($) = у(с,у($) + р).
Так как х = р($) — решение системы (7), то у'($) = у(з, Тг($)), и мы имеем Решение х = р(з) системы (7) при такой замене переходит в решение р вв О системы (9). Устойчивость (нли неустойчивость) решения при этом сохраняется так как разность х(т) — р(Ф) переходит в равную ей разность р(т) — О. 162 $1В. Понятие усгпойчивости Устойчивость нулевого решения системы (9) означает, что из 1у(йе)! < В следует 1у(Ф)~ < е при Фе < Ф < оо. Пример 3. Устойчиво ли нулевое решение уравнения 1 1 Ву — ж — у у 1 ат 1 1 1 1 1 1 Решение примера. Общее решение у = 1/(Ф+ с), с = сопи; у = 0 — тоже решение.
Иэ того, что у(Ф) - 0 при 8 - +ос, ошибочно было бы делать вывод об устойчивости нулевого решения. Длл устойчивости нулевого решения надо, чтобы иэ ~у(0)! < В следовало бы (10) О Ф при 0 < Ф < оо. 1 При у(0) ) 0 решения убы- 1 вают и стремятся к нулю. При Рнс. 14 у(0) < 0 решения убывают и имеют вертикальные асииптоты (рис, 14), то есть не удовлетворяют условию (10). Поэтому нулевое решение неустойчиво. Другой способ.
Для решения с у(0) = уе иэ формулм у = 1/(Ф+ с) получаен с = 1/уа, у(Ю) = уе/(суц+ 1). Для любого 163 3. Исследовать устойчивость, пользуясь лишь определения- П ми, можно только тогда, когда удается найти в том или ином виде общее решение данной системы или когда удается выяс- нить такие свойства решений, как ограниченность, возрастание и убывание. Глава 4. Авшономные сисгпены и услгабчавосшь уе ( 0 имеем Фуе+! = 0 при Ф = -1/ув > О, поэтому у(Ф) -+ -оо при $ -+ -1/уе — О.
Нулевое решение неустойчиво. 1 ! 1 ! Пример 4. Устойчиво ли нулевое решение системы 1, 1 бх бу — =-4у, — =х? 1 гй ' дб с Решение примера. Деля второе уравнение на первое, получаем бу/Их = -х/(4у). Общее решение х + 4уз = с > О. Эти линии — эллипсы.
Если х~(0) + у'(0) С б~, то при Ф > 0 решение х(1), у(1) находится внутри эллипса х + 4у = 4б~, описанного у около круга х + у~ = б~. Так как кривые, изображающие решения, не пересекаются, то решение х($), у(1) остается внутри х х этого эллипса (рис.15), значит, и внутри круга а~+ уз = е~, е = 2б, описанного около эллиРис.
15 пса, Нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, так как каждое решение остается на своем эллипсе хз + 4уз = с и не стремится к нулю при Ф -+ оо. < ! Задача для упражнений (12], $15, Нг 884-888, 890-892; $24,?и 140-147. Я Условия устойчивости для линейной системы с настоянными коэффициентами. Пусть в системе Их/й = Мх матрица 4 имеет собственные значения Л,,..., Л„. В 1В. Понтпие уапойчивости Теорема 2. 1) Если все Ке Л < О, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 2) Если все Ке Л < 0 и для тех Л, у которых Ке Л. = О, все жордановы клетки размера 1, то нулевое решение устойчиво.
3) Если имеется Л, у которого Ке Л ) О, или у которого КеЛ = 0 и жорданова клетка размера > 2, то нулевое решение неуапойчиво. Доказательство. По теореме 1б в 14 любое решение имеет вид (75) в 14, то есть в векторной записи х = у',($)ехк + ... + Ф (1)е""', (П) где У'($) — многочлен степени не выше й — 1, м — размер наибольшей из жордановых клеток, содержащих Л; коэффициенты многочленов — векторы из К". При Л = а + рз У(1)е = М(1)е (совР$+ез1пфЮ), ~созЯ+зз!п,64 зв 1. Если а < О, то е" -+ 0 (Ю -+ со) и, как известно из курса математического анализа, Р(1)е - О.
Поэгому~р случае !) кюкдое решение стремится к нулю при $ -+ со, значит, ограничено при 0 < $ < со. Тогда и фундаментальная матрица Х(з), столбцы которой — решения, н Х(0) = Е, тоже ограничена, ~~Х(8)~~ < <пз (О < <Ф < оо), и ОХ(Ф)й -+ 0 (! -+ со). Для любого решения имеем х(Ф) = Х(Ф)х(0). Поэтому из /х(0)~ < 6 = е/зп следует ~х(!)~ < ЦХ(1)Ц ° ~х(0)~ < е (О < Ф < оо), кроме того, х(1) — 0 при Ф вЂ” оо. Нулевое решение асимптотически устойчиво. В случае 2) те слагаемые в (1!), в которых Ке Л < О, ограничены при 0 < ! < оо, как в случае 1). Слагаемые 165 Глава 4.
Авшананныв сисшены и уопайчиваопь с КеЛ = О имеют многочлены нулевой степени, то есть константы, и тоже ограничены. Опять все решения ограничены, и в силу тех же оценок, что выше, нулевое решение устойчиво. В случае 3) при наличии хотя бы одного Л = а+)31 с о > 0 имеется решение вида х(1) = е1н+р'"е, где ив собственный вектор для этого Л . Так как ем - оо (1 — со), ~ели~ вт 1, то это решение неограниченно при 0 < $ < со. Если матрица А вещественная и д ~ О, то решение х(1) комплексное, но Ке х($) и 1ш х(1) — вещественные решения, из которых хотя.
бы одно неограниченно. Пусть д > 0 любое и с = д/(21х(0)~). Тогда для решения х,(1) = сх(1) имеем !х,(0)! = д/2; х,(1) неограниченно при 0 < 1 < оо. Нулевое решение неустойчиво. Если же нет Л с зсеЛ > О, но есть Л с КеЛ = 0 и жордановой клеткой размера й > 2, то из формул, дающих решение системы (73) б 14 с жордановой клеткой, следует, что существует решение вида р = У'($)ем, где У'(1)— многочлен степени й — 1 > 1 со старшим коэффициентом„ не равным нулю.
Так как здесь 1е"'~ = 1, то это решение неограниченно, и нулевое решение неустойчиво, как выше. ° Замечание. Здесь доказана достаточность условий теоремы 2. Нетрудно доказать также их необходимость. ! Задачи длл упражнений: (12), 424, уд156, 157. ° еннннн~ П 5. Кроме понятий устойчивости и асимптотической устойчивости, о которых говорилось выше, лля приложений важно понятие уещойчиеоети лрн лоелнншно дейоиеующих еозмущенннх.
Такая устойчивость 1бб й 1У. Исследование усшойчивосгпи с помощью фуннций Ляпунова означает, что при 1 ~ г < оо решение мапо меняется не только из-за малых изменений начальных условий, но и из-за любых достаточно малых внешних воздействий, например, помех, действующих все время ((за), О 7О).
Решение я = р(1) системы (7) с начальным условием р(ге) = хе называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если двя любого е > О найдугся такие б > О и О > О, что при любых яе и Ь(г,х) Е С такюг, что ~хо — хе! < б, 1Л(Ф,х)~ < О прн Г > со, ф < е, юпкдое решение а(г) задачи !ба = Р. я) + п(1 а) я(гь) = ве гй при $е ~ 1 < со существует и удовлетворяет неравенству (8). Условия, обеспечивающие всимптотическую усгойчивость, часто обеспечивают н устойчивость прн постоянно действующих возмущениях, Таким является, в частности, условие 1) теоремы 2, 5 19. Исследование устойчивости с помощь(о функций Ляпунова (13) 167 [Я Пронзвааной функции «($, х) в силу данной системы = У(с.
х) (х Е ас~. У Е Ж"), (12) называется функция г(«! д«д« д« вЂ” = — + — Уг+" + —.У. а)(!2) д( дх! ! дх. где «и Д„...,,г'„зависят от 1, х„..., х„. Формула (13) позволяет найти производную сложной функции «(1, х(1)) гп «(1, хг(1),..., х„(1)), Глава 4. Явтононные систеиы и устойчивость где х($) — любое решение системы (12), не зная решений системы.
По теореме о производной сложной функции 4 д« д 4*, д 4*„ — «($,х ($),...,х„($)) = — + — ° — 1+...+ — ° — ". (14) 41 '! ' ' " а дх! и дх„а Так как х($) = (х,($),...,х„(с)) — решение системы (12), то Их;/М = Д;($, х„..., х„) и сумма в (14) равна (13). Доказательство. Возьмем любое е > 0 и е, = пМп(е,р). Непрерывная функция «(х) на множестве Я(1х~ = е,) достигает в некоторой точке х' Е Я своего наименьшего значения ш1п «(х) = «(х'). Так как «(х) > 0 на Я, то «(х') = пз > О.
Функция «(х) непрерывна, «(0) = О, поэтому найдется такое б>О,что «(х) <из при ф <б. Предположим, что решение х(1) с /х(се)~ < б или существует не на всем интервале се < с < оо, или не остается в области ~х! < е,. Тогда в силу следствия теоремы 4 $ б найдется такое $, > $е, что !х(1,)~ = е„~х($)~ < е, при бе < 1 < 1,. Тогда «(х(се)) < тп, «(х(с,)) > гп в силу выбора т и б. Эго невозможно, так как б«(х($)) 4« ~ бб 1Оз1 168 $ Я У. Исследование уапойчивоспю с помощью функций Ляпунова и е(х(с)) не возрастает. Итак, предположение неверно, и теорема доказана. фив~енэ ~ щквмауикй амари» ло ства следует, что нулевое решение устойчиво и что любое решение х($) с ~х(~е)! < б остается в шаре !х1 < е, при $е<Ф <оо.Докажем, что х(Ф)- О при 3- со.
В противном случае нашлись бы такие числа и > О и ~„~„... оо, что !х($,И > 9 (ь = 1,2,...). В замкнутой области и < )х~ < в, имеем е(х) > и > О, поэтому е(х(3,)) > И > О (ь — 1,2,...). Так как ав/й~ ~< О, то е(х(8)) не возРастает; поэтомУ в(х(Ф)) > И пРи всех $ > йв. (Если бы было е(х(Ф)) < И при некотором с, то при всех Ф,, ббльших этого $, толсе было бы в(х(с,)) < и, а это противоречит предположению.) Возьмем такое б, > О, что е(х) < и в области !4 < й,. Решение х(с) не может войти в эту область, поэтому остается в замкнутой области й, < ~х~ < е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
