Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Значит, х(1) ~ а при всех г. Решение х($) может приближаться к особой точке только при г - +оо или при $ - -оо. 3' если х(з) — решение, х(г,) = х($з), $э > 1„и х(г) зь сопи, то решение — периодическое, у него есть наименьший положительный период, а траектория — замкнутая кривая без самопересечений. Доказательство. Функция р(з) = х(з+ ~ шенне по саойсзвУ 1 Р($ ) — х(1 ) единственности р($) гя х(1), то есть х(г + а) гя х(1), период а' = гз — $, > О.
Мо~уг быть н другие периоды, Так как х(3) рь сопзг, то найдется такое $', что х($') ,-ь х($,), то есть ~х(г*) — х($~)! = г > О. В силу непрерывности х(1) найдется такое Ь > О, что ~х($) — х(з,)~ < 1 при 1, — и < 1 < Г, + Й. Значит, х(г) -,ь х(Г') при этих 1. Но за время, 154 й 17. Автономные систены равное периоду, решение х($) должно пройти через все точки своей траектории. Поэтому длина любого положительного периода не меньше, чем 2Л, и нижняя грань их длин р > 2Л. Если р не есть период, то имеется последовательность периодов р; -+ р+ О, х($+ р;) вз х(3).
При р; -ч р получаем х($ + р) аа х($), то есть р — период. Траектория х($) (О < 1 < р) — замкнутая кривая, так как х(р) = х(О). Если она имеет самопересечения, то х($,) = х(ьз) при некоторых $,,$з 6 (О,р), ~$, — Ц < р. В силу доказанного выше, тогда решение х($) имело бы период д = ~3, — Ц < р.
Это невозможно, так как р— наименьший положительный период. И 4' Каждая траектория автономной системы является или точкой или замкнутой кривой без самопересечений, или незамкнутой кривой без самопересечений. Доказательство, Если решение х($) аз сопзг, то траектория— точка. Если х($,) тЬ х® пРи любых $, и $з „-ь $„то тРаектория — незамкнутая кривая без самопересечений.
Если х($) рь соим и х(3,) = х($з) при некоторых $, и $з чь $,, то траектория — замкнутая кривая в силу 3'. ° 5' Преаельшее множества траекторий. Для траектории Т(х = р($), -оо < $ < оо) или для ее положительной полутраектории Т+(х = р(3), 3' < 3 < оо) и-нредельной точкой называется такая точка р, что существует последовательность 8,, $т,... — оо, по которой ф,) -+ р при ь — оо. Множество й(Т) всех ы-предельных точек траектории Т называется ее ы-нредеаьным множеством.
Аналогично, но при 1; -+ -оо, определяются а-предееьные точки и множества. 155 Глава 4. Ав«пононные сиопемы и усшойчввоопь Например, для траектории * = $ (х Е й') множеспю Й(Т) пусто; для полутраектории Т+(х = е ', О < 3 < со) множество Й(Т+) — точка х = О; для траектории х, = евсоа1/(1+е'), х = е'з(пв/(1+е') вх-предельное множеспю есть точка х,=х =О, ы "предельное множество — окружность х«+ хт = 1. 2 Дохозшвельопво. Для любой последовательности В« -+ со последовательность т«($«), в = 1, 2,..., ограничена, значит, имеет предельные точки н й(Т+) непусто.
Из ограниченности Т+ следует ограниченность Й(Т+). Замкнутость. Если рв б Й(Т+), р, - р, в = 1,2,..., то для 0 = 2 ' найлется такое р,, что (р, -р1 < О. Для этого р, сувюствуст последовательность $в, У = 1, 2,..., такаа, что Р(В«„) - Рв (~ -«сс), поэтомУ найастсв такое / = /(в), что Г,.„.в > в, 1У«(в, „) - Р,.~ < «1. Тогда ~р(В«„.В, ) — р~ < 2«1 = 2' ', в,,„б > в - со, Значит, р б й(Т+), Докажем, что й(Т+) состоит из целых траекторий, то есть что через любую точку о б Й(Т+) проходит траектория Т,(а = х(в), -со < 1 < со), содержащаяся в й(Т+).
По определению й(Т+) существует такая последовательность $„вв,... ос, что р(в,.) -«е (в — ос). Функции д«(с) ш т«(г,. +в) (в = 1,2,...)— решения по свойству 1, Х,(0) - о (в - ос). Обозначим через х(В) решение с х(0) = а, а через Р— замкнугую (е/2)-окрестность полутраекторни Т'. Точка В = О, а = а лежит внугрн замкнутой неограниченной области Ю(-со < В < со, в б Р). В силу следствиа теоремы 4 $6 решение х(В) продолжается в каждую сторону или до выхода на границу области Э, или до, сколь угодно больших 156 $ 27. Автономные системы ф.
Предположим, что «($) выходит на границу области Ю в точке Ф = г', х = «(г')' = Ь. Тогда Ь лежит на границе множества Р, слепо вательно, р(Ь,Т+) = —. 2 (4) Согласно следствию теоремы б б 7 из Х,(0) — а = «(О) следует: Х,(Г') - «(г') =Ь (в- сс). (5) Так как Дг(Ф') = Р(Ф, + Г') Е Т+ пРи Ф, > Ф, — Ф', то (5) пРстивоРечит (4). Поэтому решение «(г) не может выйти на границу области 27, следовательно, продолжается на интервал (-со, со). А тогда, как выше, имеем дая любого г р(гг+4) = Х,.($) - «(г) (4-+ со). Следовательно, «(г) Е П(Т+) при всех г.
Связность не доказываем, она ниже нигде не используется. ° Изучены и другие свойства предельных множеств автономных систем в Кз. В пространстве К", и > 3, структура предельных множеств может быть значительно более сложной и мало изучена. ° $еееееее~ б' 11уупиовое свойство автономной системы. Обозначим через у($, р) решение системы (2) с начальным условием (р(0, р) = р.
Тогда (р(Ь,Ф,р)) — = у(Ь +~,р) (б) на любом интервале, на котором определены обе части этого равенства. 157 Глава 4. Авлюномлые сисглеиы и услюйчивоггль Л Об Р «~ — рс (р в— о ~ 1г).обад ю~ Р ~=О~ею одну точку а = (р(8„р). По теореме единственности они ' совпадают прн всех $. В ° Ф 7' Функция р(г,р) непрерывна по совокупности переменных (это следует из теоремы 7 б 7). 8' Пусть все решения системы (2) определены при -со < г < оо и их значения а(Г) заполняют множеспю Р.
Тогда при любом поспгянном р б Р и переменном Г точка а = р(Г, р) пробегает траекторию. Прн любом постоянном Г б й' и переменном р функция р(Г, р) опрегюляет непрерывное отображение множеств» Р на себя, зависящее от параметра Г б мг. Эго отображение называется сдвилгм «о траеклюрияи за время Г.
Семейство таких отображений сдвига составляет однопараметрическую коммутативную группу с групповой операцией, определяемой левой частью равенства (6) (последовательное выполнение двух отображений из данного семейства есть также отображение, принадлежащее семейству). Дсясгапильство. Коммугативность и ассоциативность групповой операции следует из (6). Единица группы есть тождественное отображение р(О,Р) ев р, а обратное отображение для р(г,р) есть р(-г, р).
3. Группа отображений множества Р на себя, обладающая свойства- П ми 6'-8', называется динамической сислгсвой. Динамические системы могут изучаться и вне связи с конкретным видом дифференциальных уравнений (!), то есть только на основе этих свойств (например, (36], главы 5 и 6). Результаты, полученные такимн абстрактными метсламн, развивалнсь с привлечением понятий из других отделов математики и применялись к конкретным задачам. 158 $ Ю. Поняаие уалойчваоат 5 18. Понятие устойчивости 1.
Математическая теория устойчивости изучает поведение П решений системы дифференциальных уравнений при $ -+ оо. Основной вопрос: в каких случаях можно утверждать, что решение мало меняется на всем бесконечном интервале 3е < $ < со при любых достаточно малых изменениях начальных условий и функций, входящих в уравнения рассматриваемой системы. Теория устойчивости имеет большое значение в технике, так как в реальных задачах исходные данные, а часто и уравнения движения (например, из-за неучитываемых помех) известны лишь приближенно. Для создания машины, способной выполнить определенную работу, не всегда достаточно качественных физических соображений, во многих случаях нужен математический анализ.
Первым важным техническим вопросом, решенным с помощью теории устойчивости, был вопрос об условиях работы регулятора Уатта. В изобретенной Уаттом паровой машине имеется механизм — центробежный регулятор, который должен поддерживать постоянную скорость работы машины. Но когда стали строить большие паровые машины, регулятор Уатта часто не справлялся с работой. Русский инженер Вышнеградский, чтобы найти причины плохой работы регулятора, составил систему дифференциальных уравнений, описывающую работу паровой машины вместе с регулятором, и исследовал зту систему на устойчивость (см. [7], 5 27). Он получил условия устойчивости в виде ограничений на конструктивные параметры регулятора.
Регуляторы, изготовленные с учетом зтнх ограничений, работали хорошо. В настоящее время в связи с автоматизацией производства все шире применяются системы автоматического управления, которые должны обеспечить работу управляемого объекта в задан- 159 Глава 4. ««отененные системы и устойчивость ном режиме. Математическое исследование устойчивости таких систем еще на стадии их проектирования ускоряет и удешевляет создание таких систем, позволяя заранее отбросить многие негодные варианты.
Важная роль в создании и развитии теории устойчивости принадлежит советским и российским ученым, начиная с основоположника этой теории А. М. Ляпунова. 2. Осиавыые определения. Рассматривается система в векторной, П записи ах — = у($, х), х = «Ы хв и ее частное решение х = «р(с) ($о < $ < оо). Вектор-функпия у($, х) и все д~',./йх определены и непрерывны при ~х-Р($)~ < р, «вишь < со* Решение х = «р($) с начальным условием «р(Фо) = хо называется устойчивым (или уснюйчивым по Ляпунову), если для любого в > О найдется такое б > О, что для каждого такого хо, что ~хо — хо~ < б, решение х($) с начальным условием х($о) = хо при $0 < $ < Оо существует и «х(с) — 1Р(г)«< в (со < с < 00). (й) Это значит, по каждое решение с начальным условием из б-окрестности точки хо при $р < $ < со существует и не выходит из в-трубки, ось которой — решение х = Р(Ф) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
