Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Там ш(х) >,9 > О, йв/йт~р ~ < -)у < О, поэтому (*(т))-~(*(т,)) = у й <-В(е-1,) -~ (е ), с ьЬ(х(т)) ат 169 Глава 4. Авпюномные сисглемы и усгпойчаеосгпь но е(х) > О. Противоречие показывает, что предположение х(1) ч 0 неверно. Замечание. При выполнении условий этой теоремы нулевое решение будет также устойчивым при постоянно действующих возмущениях (134), а 70).
А.М.Ляпунов доказал более общие теоремы — с функцией е($, х) вместо е(х), удовлетворяющей некоторым другим ограничениям. Функция е(х) или е($, х), применяемая при доказательстве устойчивости, называется функцией Ляпунова. Для конкретных систем дифференциальных уравнений ее подбирать нелегко. Для несложных систем иногда можно брать функцию е(х) равной квадрату расстояния точки х от положения равновесия. Более сложные приемы подбора функции Ляпунова обычно не включаются в программу курса дифференциальных уравнений. Пример В.
Устойчиво ли нулевое решение уравнения ! х =гйпх — х? Решение примера. Возьмем е = х~. Тогда ао — = 2хх' = 2х(з!пх — х) (О (х ~ 0). ас По теореме 4 нулевое решение аснмптотнческн устойчиво. Пример б. Устойчиво ли нулевое решение системы 1 1 1 х =р — х, р =-х? (15) 1 ! 170 Я 1У. Исследование успилтчиваспгн с поиоа1ыо функций Ляпунова Решение прииера. Линейная часть систеиы имеет матрицу (оо)' Для нее Л, = О, Лг = -1, собственные векторы о = ~ /1~ /1~ ~1)' е = ~ ) лежат на прямых у — х = 0 и у = О. Возьиеи г 1,0) о=(у-х) +у~.тоога — =2(у — х)(у — х)+2уу = ов 1Озг = 2(у — х)(х — у — хз) — 2ухз. Это — инопгчлен 2-й степени относительно у.
Чтобы судить о его знаке, выделяен полный квадрат — ж -2(у — х+ х ) — 2х (1 — х ). по ~ э г 4 г а ~(нб Это меньше нуля в области ~х~ ( 1. кроне точки (О, О). По теореме 4 нулевое решение асииптотически устойчиво. 'е Для систем вида ~Ь/йа = у(х) (х Е Ж") часто бывает удобнее вместо теоремы 4 пользоватьсп следующей теоремой. Глава 4.
Автоноиныв спспгвиы н успгобчивость ° ааааааааа~ Доке«опелытпео. При данных условиях выполнены также условия теоремы 3, поэтому нулевое решение устойчиво и все решения с 1х(0)~ < б остаются в шаре Я(ф < е). У любого такого решения х(С) по теореме 1 существует и-предельное множество Й С Я, состоящее из целых траекторий. Функция е(х(С)) не возрастает и существует 1!и! е(х(С)) = 1.
Любая точка Ь б Й есть Шпх(С!) ! а для некоторой последовательности С! - со. В силу непрермвности функции е из х(С,.) - Ь слелует е(Ь) = Вше(х(С,.)) = 1. Точка Ь б й произвольна, поэтому на й вскегу е(х) = 1. В силу теоремы 1 существует решение «(С) б й с «(О) = Ь. Тогда е(«(С)) вв 1, и на траектории «(С) пе! Ь(«(С)) = — шО. й ~1з! бС Значит, траектории «(С) содержится в множестве СУ. Так как ДГ не содержит целых траекторий, кроме точки х = О, то «(С) ш О, Ь = О.
Так как Ь вЂ” любая точка нз й, то множество й состоит из одной точки х = О. Значит, все решения с (х(0)~ < б стремятся к нулю при С -+ оо, и нулевое решение асимптотически устойчиво. Пример 7. Уравнение х" + ах'+ х! = 0 сводится к снстене 1 ! 1 х'=р, р'=-х'-Оу. (1б) 1 1 1 1 Исследуем, устойчиво ли нулевое решение системы. ! ! 1 Решение принеро. В случае о = 0 из (16) следует др/ггх = -х«/р, 2рт+х~ = с.
Беря е = 2у~+х~, получвен !Се/гСС~, и О. По теореме 3 нулевое решение устойчиво. Мсннптотической устойчивости нет, так как дпя любого ненулевого реаения х(С), у(С) ннеен 2рг(С) + х4(С) = сопя! -е 0 при С -+ оо. 172 я 19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова В случае о > О берви тоже е = 2ут + х4. тогда 2 — =-4 у <О. об) Равенство достигается только на пряной 9 = О.
На атой пряной инеен 9' = -аз та О при х ть О. Следовательно, все решения, проходящие через точки прямой 9 = О, кроне нулевого решения, туг же сходят с нее. По теореме 6 нулевое решение асинптотнчески устойчиво. В случае о < О систена (16) валеной 1 и 9 на -Ф н -9 сводится к систеие и' = 9, 9' = -в)+ оу, отличающейся от (16) только знакон перед о. По доказанному, все решения втой новой систены из некоторой области ха+ 91 < рт стренятся к нулю при 1 -«оо. Значит, для системы (16) решения стреиятся к нулю прн Ф - -оо. В примере 2 было показано, что прн наличии хотя бы одного решения, стренящегося к нулю при 1- -оо, нулевое решение неустойчиво.
"е «е«««е«я С33 Доказательство. Предположим, что нулевое решение устойчиво. Тогда найдется такое б > О, что любое решение х(1) с начальным условием х($о) Е 22, )х(1о)~ < б, остается в шаре Я при $о < 3 < оо. Пока х(т) Е Р, имеем )Ь(х(1))/)Ы > О, значит', о(х($)) возрастает и э(х(1)) > о(х(йо)) = оо > О. 173 Глава 4. Автономные системы и устойчиеоапь г Пример 8, Устойчиво ли нулевое решение системы 1 1 х = ох+ йу — у, у = ох+ Иу — х 1 (в,й,, 1>О)2 1 1 1 ! (17) 1 Р~ р~ ~> Пр ~ыю~.> ° 1-й~иервюн~>'>О. > >О.зн~ю> рве м>>~а>о м н,о).В « = ху в области В (х > О, у > О, х + у2 < е2).
Тоща — =ху+ху = оху+йу -у +сх +Й~у-х =ш(х,у), а«1 2 3 2 з При малом е и О < х < е, О < у < е сумма подчеркнутых членов положительна, поэтому в Р е)(х, у) > О. По теореме б нулевое решение неустойчиво. ! Задачи длл упражнений (12), $15, 18923-930. 1 гч Т!г часп Эо множества Р 0 Г, где «(х) > юе — ограничен- ное ммкнутое множество (в его пределъных п)чках имеем тоже х е Р с2 Г, «(х) > «вследствие непрерывности ю(х)).
Решение х(Ф) не может выйти из Ве, ибо на Г ю(х) = О, а на Г, Решение не попадает, так как 1х($)! < е. На Ве имеем ш(х) > Ф > О, И вЂ” ю(х(Ф)) > ш(х(Ф)) > !9, ю(х(Ф)) — ю(х(Фе)) > )б($ — йе) -> оо (Ф-+ оо). Это противоречит ограниченности функции «(х) в Эе. Сле- дователъно, нулевое решение неустойчиво. вар. Устойчивоаиь по первому приближению ° аа ваа а» П м. Вследствие трудностей при подборе функции Ляпунова возникает вопрос о ее существовании — вопрос,'когда можно пытаться подбирать функцию е(х) или е(ьх), уловлетворяюшую условиям теорем 3 и 4 (или подобных теорем), а когда нет. Массера доказал, что для систем вида х' = у(х), х Е и", в окрестности всимптотически устойчивого положения равновесия всегла существует функция Ляпунова е(х), а для систем х' = у(г, х) с периодической по г функцией у — периодическая функция Ляпунова е(г,х) ([34[, $73).
Для устойчивого положения равновесия системы х' = у(г, х) существует функция Ляпунова е(г, х) ([28], гл. 4, $9), а функция е(х) может не существовать даже для системы х' = 7(х) ([32[, стр. 57). Однако не существует общих методов построения функции Ляпунова в случаяк, когда решения системы неизвестны. Для нужд приложений разрабатывались методм построения функций Ляпунова для отдельных классов систем, например, в [28[. $20. Устойчивость по первому приближению 1.
В теореме 2 были получены условия асимптотической устой[ [ чивости и условия неустойчивости для линейной системы с постоянными коэффициентами х' = Ах. Следующая теорема 7 утверждает, что в случае пшх Ке Л; ~ О зти условия пригодны и для нелинейной системы х' = Ах+ (е($, х), где А — постоянная матрица, [(е(Ф,х)[ < у'(х) = о([х[) при х-+ О. К такому виду приводятся и многие другие системы. Пусть х = хе = (х,е,..., х„е) — положение равновесия системы х' = у(х) (х Е Иж), то есп У(хе) = О.
Разлагая у(х) вблизи точки х = хе по формуле Тейлора до членов первого порядка малости, полу- 175 Глава 4. Автономные системы и уопойчивость чаем систему * = ап(х~ х~о)+ ". + есн(хя хпо) + ув(х) где а,~ —— дУ;/дх ~,, р,(х) = о(1х — хо~) при х -+ хо. Перенося начало координат в точку хо заменой х = хо+ у, получаем (в векторной записи) у = Ау+Фа(у). уо(у) = о(Ы) прн р-+ 0 матрица А = (а, ),„, „, а, см. выше. В более общем случае, когда матрица А зависит от $, теорема 7 не применима. (2.) Теорема у (еб устейчивести по первому приближению).
рассмотрим систему х' = Ах+ р($, х), х б Ж". (18) Пусть при Ф ~ О, 1х~ » (ро функция 1р б С', 1У(4, х)! » 17(х)14, у(х) -+ 0 (х -+ 0). . 1) Если матрица А имеет все Ке Л1 ( О, то нулевое решение асимптотически усМойчиво. 2) Если матрица А имеет хотя бы одно Л с Ке Л > О, то пулевое решение неустойчиво. 3) й «критическом» случае, то есть ковда шахКеЛ = О, наличие устойчивости или нвуапойчивоопи зависит не только от матрицы А, но и от функции 1о($, х). Доказательство. Докажем теорему в случае, когда все КеЛ (О.
Оценим столбцы матрицы е . Эта матрица — фунсв даментальная для системы р' = Ау, ее столбцы ф"($),..., 17б $2ГЛ Уовойчиеоппь по первому приближению тр'(г) — решения этой системы. Каждое решение имеет вид (11). Пусп а > 0 такое, по все Ке Л < -а < О. Тогда Ке Л + а < -р < 0 для всех у; Ф.(1) — многочлен, поэтому ~У'(1)е1"г' "~ < ~У'(1)/е~'] -+ 0 при 1 — ао, значит, ~У)(1)е~з'+ ~~ < с~ (О < г < оо), и ~Ф(1)е""~ = ~~~(1)е1~'+и" ~е ~ < с.е и. 1 Поэтому при некотором с = сонм имеем оценку Иу ($)! < се (й = 1,.", «).
(19) Функцию Ляпунова возьмем в виде 00 «(х) = ~е™х~ дт. о (20) ~е™х1 ='1У(т)~ =У У=~~ В, (т)х,.х., йу(т) =4 (т)4(т). $,яж! В силу (19) !И,~(т)! < с~е э". Пользуясь этим, из (20) полу- чаем Э ОО «(~) 2 В„~р, 6„ /Ш. ( )Ю =Ь». (21) 177 Решение системы у' = Ау с начальным условием у(0) = х = (х„..., х„)т, есть у($) = е х = хф (1) +... + х„11 ($), так как ф~(С) — решение, у которого ф (0) есть и-й столбец единичной матрицы, Поэтому Глава 4. Аетоноиные гиопеиы и уопойчиеоапь В силу оценки функций й"(т) интегралы от них, а значит и интеграл в (20), сходятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
