Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Другие физические задачи с автоколебаниями разобраны в [15), главы 3, 8. Известны различные достаточные условия существования замкнупях траекторий и предельных циклов, а также условия их единственности. Разработаны методы, позволяющие во многих случаях исследовать особенности расположения траекторий автономных систем на плоскости (особые точки, предельные циклы, сепаратрисы) и их качественные изменения (бифуркации) при малом изменении данной системы ([15), [16), [17), [19], главы 5, б, [22)). Траектории в К, и > 3, изучены значительно меньше.
ГЛАВА Дифференцируемость решения по параметру и ее применения 9 23. Дифференцируемость решения по параметру Я Рассматривается система уравнений с параметром р Нх — =У(» * р) х(ее) =вЫ' х = (х,,..., х„), у = ®,..., ~„). При каждом р система имеет решение. Оно зависит не только от Ф, но и от выбранного значения параметра р„поэтому обозначается «(Ф, р).
Теорема 1. Пусть про ($,х) Е Ю, р Е М, (1у — область в К"+', М вЂ” онтервол в К~) все фуннцно ф дЯдх~, дЯдр, 19б Я ВЗ. Дифференцируемость решения по параметру а'(!и) непРеРывны. ПУсть пРи всех Р б М на отРезке [Ф2, $2] Э св решение х(Ф, р) задачи (1) существует и проходит в области 27. !огда это решение имеет производные дх2/Вр, непрерывные по (ь, р). функции и! = Вх,/др (1 = 1,..., н) удовлетворяют системе уравнений в вариациях . м(!.ФМ ~асзь — — ~н + — ', н<($е) = а,'.(!и) (2 =1,...,н). (2) з=! Я г Пример 1.
Найти дх/др при р = 0 от решения задачи ! ! 2 2 ! — = х + 4!ие+ р, х(1) = 2/ь — 1. да Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = хз+ 4р$+ рз и а(р) = 22и — 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по * и р. Дифференцируя (3) по р и обозначал х' = и, получаем н Ф Ии — = 2хн + 4$ + 2р, н(1) = 2. !П (4) 197 ! ц,[~лмьо ! 9.м~;~ ~з/"л Л ь4ь(/х~"ь"" В (2) про зводные от /! зависят от аргументов $, х, ($, р),..., х„($, р), р, где х;($, !и) — координаты решения х($, !и) при том значении р, при котором разыскивается дх/д!и. Если решение х(с, р) известно хотя бы прн одном значении р, то системеЩ позволяет найти дх/др при этом р.
Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по р," прн этом считаем, что х = х(с, р), и Вх2/Вр обозначаем и!. Глава 5. Дифференцируемопль решения па параметру Здесь р = О, а х — решение задачи (3) прн ~и = О, то есть задачи г1х/ат = х~, х(1) = -1. Отсюда х = -1/$. Теперь (4) прннммает внд Нм 2и — = — — +41, и(1) = 2.
'Ж $ Решая это линейное уравнение (выкладкн пропускаем), получаем и = $~ + с1 ~. Из начального условия находим с = 1, Итак, и = от+ Гз Даназалгеяьппва пгеаремы. Зафиксируем ~и б лк. Имеем дх . х-х — = 1пп— др (5) где х = х($, Д вЂ” решение задачи (1), но с р вместо ~и, то есть ж(1, й) У(1, х, й) — У($, х, р) р-р а٠— а(р) «(со рг = Ф 1г (7) 198 — = У(1, *, Ж, х(со) = аЩ Нх (б) Обозначим дробь в (5) через «($, Д. Идея доказательспга теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для «(1, р) при р ~ р.
Его правая часть при р -+ /о стремится к правой части уравнения (2). Поэтому и решение «(Ф,Д при р -+ ~и, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/др, сушествует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (!), вычитая и деля на и — р, получаем У 23. Ди4ференцаруемаппь решения па «аранетру Преобразуем первую дробь в (7).
Положим Р(в) = Г($, х, Гь ), х = х+ в(х — х), Гь' = 1ь+ в(Д вЂ” и). Тогда Я, х, Я вЂ” Я, х, 1ь) = Р(1) — Р(б) = ГГ" (в) 4в, о Р~(в) = — (х - х)+ — (Гь-~и) дГ дГ дх' дре — есть матрица Поэтому из (7) имеем ! Ии 1 à — — — ( Р'(в)4в = а й-р/ о 1 1 ~1в ° — + / —, Ив. (8) Г дГ(1,х',гь') х-и Г дГ дх' р — и др' о о Так как дУ/дх, дУ/др непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по $, х, х,1ь,Д,в, а интегралы — по В,х,х,1ь,ГТ. Из (1) х = х($,р) непрерывно по $. Из (б) по теореме 7 87 х непрерывно по ($, Д вЂ” по совокупности переменных. Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции ог (Ф, Д, включая значение Д = р.
Обозначая их Н($,Д и Л($,Д, получаем (9) Глава 5. ДиЯврвнцирувмоопь решения па параметру Функция «($, Д была определена при р ~ р. Доопределяем ее при р = р как решение уравнения (9) с начальным условием «(ге, р) = а'(р), полученным из начального условия (7) при р - р. По теореме 7 97 функция «($,Д непрерывна по р, включая р = р. При р = р имеем х = х = х(4,р), р' = р, подынтегральные выражения в (8) не зависят от в. Тогда в (9) матрица Н и вектор Ь принимают значения д/ /д/г ~ д/ В'(1, р) = — = ~ — '/ .
й(1, р) = —. да [,дху,l<„ , „' ' дР' Таким образом, для «($, р) уравнение (9) и начальное условие «($е, р) = а'(р) совпадают с (2), то есть «($, р) удовлетворяет (2). В силу непрерывности «(3,Д сушествует 1пп «(1, Д = «($, р). То есть в (5) существует производная р-~н дх/др = «($, р) и координаты х~ вектора «(4, р) удовлетворяют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть р меняется на интервале И. Тоща правые части системы (2) (и производные д/дв от них) непрерывны по ($, р).
По теореме 7 В 7 решение системы (2), то есть производные дх,/др, тоже непрерывны по ($, р). ° [2.] Дифферпишруемость решения ио начальным условиям (след- ствие теоремы !). Рассмотрим начальную задачу — ' = /,.(1, х,,..., х„), х,(ге) = хм (( = 1...,, и). (10) Их, Пусть при ($,х) Е Р все функции /, и ВА/дх непрерывны, и на отрезке [$,, аз] Э 8е решение задачи (10) существует и прохо- дит в области Р.
Тогда при $, < $ < $ существуют непрерывные производные решения х,($) (1 = 1,..., и) по начальным усло- виям хье (7г = 1,..., «). Функции иг —— дх;/дхье (1 = 1,..., п) 200 Я ЯЯ. Дифференцируеность решения по паранетру удовлетворяют системе ду 0 (ь',-Е Ц, — "' = Š— ' .;(1.) = (П) ес дх. У' Здесь у,.
= ~~(Ф, х,(1),..., «„(Ф)), где х~(1),..., «„(1) — решение задачи (10). Доказательство. Пусп хье — — и, а при ь' ~ й хю не зависит от р. Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, производные дх,/дх вз дх,/д1ь = и; существуют„непрерывны и удовлетворяют системе (2), которая в этом случае превращается в (11).
! Задачи для упражнении: (12), 9 18, В 1064-1073 и 9 26, В 186-194, 196-199. Доказательство производится с помощью индукции по «п. Для пь = ! утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка пь — 1 > 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка пь. Так как д х,/др~ гя д~ ' и,/д~и~ ', а функции и, = дх;/др (ь' = 1, ..., и) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по и,, р до порядка пь — 1 включительно. 201 Глава 5. Дафференцируемосгпь решения по парамеару По условию, 1< Е С по х„...,х„,и, значит, в (2) дЦдх и дЦдр принадлежат С"' ' по аргументам х,,..., х„,~и.
Но каждое х = х ($,р) есть координата вектора х(Ф, ~и), являющегося решением задачи (1), где у и а(р) принадлежат С, значит, принадлежат и С ' по х,,..., х„р. По предположению индукции, все х ($, р) Е С ' по р. Значйт, в (2) сложная функция д Л(~, х,(~, р),",х.(~, р), р) дх принадлежит С"' ' по р; аналогично дЯдр; также в'(р) Е С~ '. По предположению индукции, примененному к системе (2), решение и,,..., и„системы (2) принадлежит С по р. Так как и; = дх;/д~и, то х;(Ф, ~и) Е С~ по р.
° 5 24. Асимптотические методы решении дифференциальных уравнений 1. Асимптотические методы позволяют отыскивать прибли- П женные решения дифференциальных уравнений (или систем), близких к таким уравнениям (или системам), решения которых известны. В прикладных задачах часто бывает, что на течение рассматриваемого физического процесса влияют как основные факторы, определяющие хоп процесса, так и другие факторы, оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные характеристики процесса. При учете только основных факторов можно получить точное решение системы уравнений, а при учете всех известных факторов система становится сложной и не решается. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют найти решение с нужной точностью.
202 2. Разложение решения по степеням малого параметра — один П из наиболее употребительных асимптотических методов. Здесь х(1, 1з) и «г($) — и-мерные вектор-функции, «(1) аз х(1, О) есть решение системы (1) при !и = О, оно считается известным. Чтобы найти «,(1),..., «(3), надо подставить разложение (12) в систему (1) и начальные условия, и разложить правые части по степеням гз до р включительно. Далее надо приравнять козффицненты при одинаковых степенях гз. Получается для «,,..., «система дифференциальных уравнений с начальными условиями.
Последовательно решая уравнения системы и пользуясь начальными условиями, находим «г(з),..., «(з). Решение примера. Правая часть уравнения в области х > 0 имеет производные любого порядка по х, гз. Условия теоремы 2 203 я 24. Асиипгпопшческне мел!оды решен«я Пример 2. Найти разложение решения задачи ! ! ! — = — - 21М~, х(1) = 1 — — +— ! гЫ х ' 2 8 ! по степеням параметра !н до гн~ включительно. ! ! ! (13) ! ! ! ! Глава 5. Дифференцируемосгль решения ло ларанеглру выполнены для любого гтг, пока решение задачи (13) с 1г = О проходит в области х > О.
При р = О задача (13) принимает вид г(х/<11 = 1/х, х(1) = 1, и имеет решение х(1) = Ф, оно проходит в области х > О при 1 > О. Позтоиу «е(Ф) = 1 (1 > О). Разломенна х = !+ |и«!+|и~«э+ о(1!~) подставляем в уравнение и начальные условия (13), члены порядка о(из) не пишем. 1+р«г+р «р+ ...
ж з — 2рз, (14) +р |+1н 2+''' 1+Ф |(!)+р «2(!)+ "*= ! — — —— 2 Ф Ф 2 8 Разлагаем дробь в (14) по степеням,и, члены с |из, и > 2, не лишен. 1+ + з +.. !+ 1! +|из!! + ж1 — -«+ — «+... + — «+... =1--« — — «+ — «+., р |и 2 | ! з 12 | Подставляем это в (14) н приравниваеи коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях параметра дн (16) (17) Здесь начальные условия получены иэ (13). Все дифференциальные уравнения для «,,..., «всегда линейные. Из (16) получаем 204 «| при р; «,=- — -2г, Ф 2 2. г «2 «! при р: «=- — + —, 2 1 12' 1 «|(1) = --; 2' 1 2(!) 8' Я 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
