Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Левая часть в (54) при любой функции е б С' постоянна вдоль траекторий системы (50), значит, яааяется ее первым интегралом. При Р,'(М) ~ О равенство (54) определяет вблизи точки М неявную функцию х(х,,..., в,), удовлетворяюшую по теореме 11 уравнению (49).
Покажем, что формула (54) содержит все решения уравнения (49). Пусть, например, а,(М) ~ О. Тогда вблизи точки М характеристики уравнения (49) удовлетворяют системе йя, а,. ох Ь вЂ” — (1 = 2,...,п), (55) ои,,а, ' ' ' гйг, о, Пусть х = у(х,„...,я„) б С' — любое решение уравнения (49), М(яи,...,в,е,хе) — точка на его графике. Решение системы (55) с начальнмми условиями яг(х, ) =с< (1= 2,...,и), х(я1е) = 1(я~е, "°, „)+с„ глава 5. Дифференцируемасть решения па параметру независимые первые интегралы системы (55) нлн (50), зто все равно по лемме 3 (лемму применять можно, нбо системы (50) н (55) свсаатся к (45) м (46), если положить х = х,, Ь = а,). Покажем, по дм,~,/дх Ф 0 в точке М. В этой точке а,.
= х„ (! = 1,...!ОЗ) н в силу(58) н (56) м ~+1(хрр ° ° ° э хче» х) ад+~ х У(хрр °" в хт) Следовательно, дмч ы/дх = 1 ~ 0 в точке М. ° веамаааа~ Замечание. В случае, когда х входит только в один из первых интегралов, например, только в е„, вместо (54) можно написать е„(х,,...,х„,х) = = Н(е,(хм..., х„)„., е„!(х„..., х„)), (59) где Н б С' — произвольная функция. разрешая, еслм возиожно, зто уравнение относительно х, получим общее решение уравнения (49) в явном виде. ! Задачи для упражнений: (12), $20, !8 1167-1188, 1211, 1213, 1215, 1216, ( 3.) Задача Коти лля квазнлинейного уравнения. Чтобы упросппь формулировки, ограничимся случаем, когда искомая функция х зависит только от двух переменных х и р. Требуется найти поверхность х = у(х, р), удовлетворяющую уравнению дх дх а, (х, р, х) — + аз(х, р, х) — = Ь(х, р, х) х и проходящую через линию г х = ф!(я)~ у = фз(я) = фз(я).
228 в кб. Уравнения с чосвными производными первого порядка Предполагаем, что данные функции а„а~, Ь, 1Ь,, таз, >рз принадлежат С . Пользуясь геометрическим смыслом характеристик, можно предложить такой способ построения решения задачи Коши. Через каждую точку линии е надо провести характеристику.
Если из зтих характеристик составится гладкая поверхность х =,г(х, р) б С', то она и будет решением задачи Коши (рис. 31). Рис. 31 Докозхяеяыгпво. Так как а„аз,Ь Е С и а, + аз Ф О, то через каждую точку (1Ь!(в), 1Ь2(в), Ф3(в)) дутн .61 проходит единственная характеристика х = 1е~(1>в)> р = уз(1> в), к = уз(1>в). (б1) Функции (б1) удовлетворяют системе уравнений вида (50) (где теперь и = 2, хз — — у) и начальным условиям х,=а„й=аз, х,=Ь; (б2) раааа у. дифферениируеность решения яо яереиетру Чэ, (О, в) = ф,(в), ср2(0, в) = ф2(в), рз(0, в) =Рз(в). (63) Поверхносп, состоящая из таких характеристик, выражается формулами (61), где 1, < $ < $2, в, < в < в .
Таким образом, (61) есп параметрическое задание искомой поверхности. Покажем, что в окрестности любой точки дуги Ь, эту поверхность можно записать в виде х = 3'(х, у). для этого надо разрешить первые два уравнения в (61) относительно $, в и подставить в третье. Функции ~р2 Е С' по теореме 1 523.
Уравнения (61) удовлепюряются в любой точке на дуге Ь, в силу (62). В этой точке согласно (62) х', = а,, у,' = а, а в силу (63) (1в,)', = ф, г (1р2), = ф', поэтому якобиан (М' (р)' ' ф' Фо (1р2)1 (1р2)ь 2 ф2 по условию (60). Значит, в окрестности этой точки по теореме о неявных функциях первые два уравнения в (61) можно разрешить относительно 1,в и получить функции 1 ж $(х, у) Е С', в = в(х, у) Е С'. Подставляя их в третье уравнение (61), получаем искомое решение в виде в = р ($(х, у), в(х, у)) Е С'.
Сущеспювание решения доказано. Его единственность следует из того, по любое решение есть поверхность, состоящая из характеристик, значит, имеющая вид (61). Вблизи любой точки дуги 2, функции 1(х, у), в(х, у), см. выше, определяются однозначно, поэтому решение в — тоже. Геометрический смысл условия (60). Вектор (а,, а2, Ь) касается характеристики, а вектор (ф;, фп ф~) — линии 2,.
Условя (60) означает, что проекции (а„а ) и (ф'„ф2) этих векторов на плоскость х, у не коллинеарны. Следомтельно, проекции линии Х и пересекающих ее характеристик не должны касаться друг друга. 230 Я Яб. Уравнения с часшныни произеодныни первого порядка Решение принера. Пишен в симметричной форне систему уравнений, определяющую характеристики бх бу «Ь х у я — х2-у2' Находин независимые первые интегралы (подобно примеру 5] у х+хз+у2 — =с,, х Согласно (59), общее решение уравнения (64) можно написать в виде где 1 б С' — произвольная функция. Чтобы найти поверхнос!ь, проходящую через линию (65), надо сначала из уравнений (65) и (66) исключить х, у, я и получить равенство, которое может содержать только с, и с . Для этого можно, например, из уравнений (65) выразить у и я через х и подставить эти выражения в (66) 2 1-х 1+х 2 х=2х — х; — =с„— =с.
х ' х 231 1 Пример б. Найти общее решение уравнения 1 1 дв дя 2 2 1 х — +у — =х — х -у, дх ду 1 а также поверхность я = «р(х, у), удовлетворяющую уравнению и проходящую через линию ! ! я+х =2х, и+у=1. 2 — я=-х — у +ху 1 1 (64) 1 1 зтоиу 1 1 (65) М Глава 3. Дифференцируемасть решения по параметру Исключая х иэ последних двух равенств, получаем 1 сг- — с, +1+ —. с,+1 Подставляя сюда вместо с„с первые интегралы (66), после упрощений получаем искомое решение: г 2 2 х х=-х — р +х+и+ — (х+р)0). < х+у ! Задачи для упражнений: [12[, 6 20, В 1189-1210, 1212, 1214.
1 Пример 7. Рвссиотрни задачу йони 1 1 дл д 1 — +я — =О, з(О,х) =-агсгех. дс дх 1 1 1 (67) Решение промера. Хвракшристики удовлетворяют систене уравнений (50), то есть в данном случае $', = 1, х', = з, з,' = О. Поэтому з = с„ дх/гй = я = с,,х = с,с+с . Значит, характеристики — пряные линии. Вдоль каждой из иих з постоянно — тс же, что в начальной точке х = с, Ф = 0 характеристики. В этой точке з = — агсгй х = — агсГВ сз, [з[ ( я/2. Поэтоиу на всей характеристике имеем 1Г х = Гз - 18 з, [з[ ( -. 2' (68) 232 ВВ е» [ [ 4» О нелинейных уравнениях с частными производными первого порядка и методах их решения см. [6], $65; [9[, гл.9; [!8[, В 8. Ударные волны, В завачс Коши для квазилинсйного уравнения с частными проимюдными бывает, что решение класса С' сушсствует только в некоторой окрестности линии Ь, а в ббльшсй области может нс сушествонпь.
$ бб. Уравнения с чванными производными первого порядка Прп любом псстояпиои Ф < 1 функция р(») = 1» — гб» попс»аппо убивает с ростом», псзтопу уравнение (68) определяет непрерывную функцию»(1, и) (-со < и < со, Ф < 1) — реиинпе задачи (61). Прн любом поспзлнном С > 1 функция я(») = Ф» - 18» на игпервале'14 < н/2 сначала убывает, затем возрастает, далее опять убывает. В точке», = -агссоя(Гиз) она имеет локальный минимум, равный я(»,) = -р(Ф), где ту(Ф) = 1агссоз(Ф из) — гг' — 11, а в точке» = -»,— локальнмй максимум, равный л(» ) = 1)(Ф) > О.
Слеловательно, при любом 1 = соим > 1 не существует оанозначной непрерывной функции »(1, я) (-оо < и < со), удовлетворяющей равенству (68). Это значит, что решение заавчи (67) нельзя непрерывно продолжить на область 1 > 1, -1З(1) < и < Ф(1). В некоторых физических задачах, например, в закачал о движении газов с большими скоростями, тоже встречаются подобные явления (несуществование непрермвного решения).
В таких случаях возникают рязрмвные решения — ударные волны, существование которых подтверждается опытами и наблюдениями. Для расчета движения ударных волн используются не только дифференциальные уравнения, но и физические соображения — закон сохранения массы и т. п; Подробнее о разрывных решениях см. (6], 8 64; (10), гл.8. ° аааеваееая Литература Учебники и учебные пособия 1. Арнольд В. И. Обыкновенные днфференцнапьнме уравнения.
М Наука, 1984. 240 с. 2. Бийнкаа Ю.Н. Курс обыкновенных днфференцнальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303 с. 3. Еругин Н. П. и др. Курс обыкновенных днфференцнальных уравнений. Киев: Внща школа, 1974. 472 с. Картатгв А.П., Вюкдестегнский Б. Л Обыкновенные днфференцн- альныс уравнения н основы варнацнонного исчисления. М.: Наука, 1986. 272 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
