Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда в этой точке е = с. На интегральной кривой, проходящей через эту точку, первый интеграл е сохраняет постоянное значение — значение с. Значит, эта кривая лежит на поверхности е=с. Требование, чтобы функция е класса С', сохраняла постоянные значения вдоль интегральных кривых системы (31), равносильно тому, что ее полная производная в силу системы (31) равна нулю, то есть де де де — + — ~Ят,х„...,и„)+...+ — 1„(т,аы...,х„)=О. (32) Любой первый интеграл системы (31) удовлетворяет уравнению (32). Знание первого интеграла, у которого де/дх, ~ О для какого-нибуды, позволяет свести систему (31) к системе с меньшим числом неизвестных функций. Для этого разрешаем равенство е($, х„..., х„) = с (возможио, в меньшей области) относительно х< и подставляем полученное выражение х, через остальные переменные в уравнения системы (31), кроме 1-го уравнения.
12.) Для любой функции ~р Е С' и первого интеграла е (или нескольких первых интегралов е,,...,еь) сложная функция Р(е($, и„..., х„)) (соотаетственно, 1е(е„..., еь)) тоже посго- 213 Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру анна вдоль кахогой интегральной кривой системы, значит, является первым интегралом. Поэтому первых интегралов бесконечно много. Первые интегралы о,,..., оь системы (31) называются независимьпни (или функционально независимыми) в области 2?, если в каждой точке этой области ранг матрицы (д~,/дх ) равен Й.
Функциональная независимосп отличается от линейной. Из линейной зависимости функций е„..., е следует нх функциональная зависимость (тогда строки матрицы, см. выше, линейно зависимы и ее ранг меньше й). Обратное неверно, например, функции о, = $ — х, и ез = (с — х,) функционально 2 зависимы, но линейно независимы в любой области. Следуюшая известная теорема неоднократно применяется в Я25,26.
Теорема о неявных функциях. Дана сиапема уравнений 1р;(Уы...,рч; я)=0, 1=1,...,п (лба, пью~1). (33) функции р, б С' в окрестноапи точки М(У~ = Уш,..., У„= у„, я = в ), а в этой пючке равенапеа (33) выполняюпкя и якобиан оег (д1о~/дУ );„, „Ф О. Тогда в некоторой окрестноппи точки яе сиппему (33) можно разрешить относипшяьно уп..., у„, точнее, существуют такие непрерывные функции у,(х),..., у„(к), что для ь = 1,..., и Р (У1(в) ° ° ° У„(к) Я) = 0 Ц(хе) = Уе $ = 1 Такая система функций у,(я),..., у„(я) единственна и у; Е С', 1= 1,...,и.
Я 25. Первые интегралы Доказательство. Для любой точки ($в, с„..., с„) Е Ре по теореме 2 $5 существует единственное проходящее через эту точку решение системы (31) х; = са;($, с,..., с„), 1 = 1,..., и. (34) В силу следствия теоремы 1 й 23 уз, Е С'. Так как рг(ге,с„...,с„) =с;, 1= 1,...,и, то при 1 = се матрица (дц/Эс )г„, „— единичная и ее детерминант — якобиан функций р„...,р„— равен 1.
По теореме о неявных функциях, где теперь надо взять р< -— с,, с=1,...,п, л =(1,х„...,х„), систему(34) можно разрешить относительно с, „..., с„в некоторой окрестности точки М сс— - е,(1,х„...,х„), 1=1,...,п. (35) Покажем, что функции е, — независимые первые интетралы системы (31). По теореме о неявных функциях ег Е С'. Числа с,...,, с„— одни и те же во всех точках интегральной кривой, проходящей через точку (ге, с,,..., с„).
Значит, функции а; постоянны вдоль интегральных кривых и являются первыми интегралами. При любом фиксированном 1 (вблизи 1 ) системы функций (34) и (35) взаимно обратны, поэтому щюизведение их якобианов равно единице: Ь, =сСес — '; Ьз =бес 215 Глава 5.
Дифференцируемость решения по параметру Значит, Ьз ~ О, ранг матрицы (де~/дхЗ) равен п, и первые интегралы е,,..., е„независимы. й Доказтпельство. Эти уравнения удовлетворяются в точке М, и в этой точке бег (де~/дху),З, „„-ь О в силу независимости первых интегралов. По теореме о неявных функциях систему (Зб) в некоторой окрестности точки М можно разрешить относительно х„..., х„: х = АЗ(1,с,...,с„), 3 =1,...,п. (37) Функции (37) удовлетворяют системе (36), так как получены из нее. С другой стороны, решение системы (31) удовлетворяет (36) при $ = $ в силу выбора постоянных с„..., с„. Оно удовлетворяет (36) и при других 1, так как первые интегралы постоянны вдоль решения.
Вследствие единственности неявной функции это решение имеет координаты х,, совпадающие с функциями (37). ! Задачи длл упрткнении: [12], 6 19, 1В 1061-1064, 1066. Теорема 6. Если е„..., е„— независимые первые интегралы системы (3!) в окрестности б' точки М'(1е, хы...,х'„), 216 У 25.
Первые инаегралы Даказхвельсава. Пусть точка М($о, хю,...,, х„о) Е У и с; = е;(М), 1 = 1,..., «. Тогда, как в доказательстве теоремы 5, система (36) определяет решение (37) системы (31). Такие решения заполняют некоторую окрестность У, С У точки М'. Вдоль каждого из этих решений имеем е = сопзг, то есть ов($ 1о~(1 с ". со) " ° уо(1 с~ °" ° )) = -=®(1о у~(1о сь " со) ".
Фо(ео сь " со)). Обозначим правую часть через Р(с,,..., с„), тогда Р Е С'. Переходя от с„..., с„к х,,..., х„и к . е,,..., е„согласно (37) и (Зб), получаем в(з,х„...,х„) вз аа Р(е,(Ф, х „..., х„),..., е„(1, х,,..., х„)). ~ЗД Первые интегралы автономной системы. Система х~ = У;(х„..., х„), 1 = 1,..., «ф,..., Д, Е С ) (38) удовлетворяет условиям теоремы 4 и поэтому в окрестности любой точки имеет «независимых первых интегралов вида (35). Так как в системе (38) функции Д; не зависят от $, то часто бывают нужны первые интегралы, не содержащие $. 217 Глава Я. Диффвренцируемосгпь решения ла ларамеи»ру Доказхпельс»пво. Пусть точка В(х,,..., х„е) — неособая, то есть в ней хотя бы одно /; ~ О, например, /„(х»е,..., х„) ,-Е О. Тогда /„~ 0 и в некоторой окрестности ТГ этой точки.
Деля на и-ое уравнение остальные уравнения системы (38), получаем в ТГ Их» /»(х,,..., х„) »1х„ /„(х»,..., х„) По теореме 4 эта система в некоторой окрестности точки В имеет и — 1 независимых первых интегралов е,(х„..., х„), 1 = 1,..., и-1. Они постоянны вдоль решений системы (39), то есть вдоль траекторий системы (38). Значит„они являются первыми интегралами системы (38).
Независимость первых интегралов и» системы (39) означает, что ранг матрицы (ди»/дх );, „, равен и — 1. Отсюда следует, что и для системй (38) эти первые интегралы независимы. ° Замечание. В теореме У нельзя отбросить условие «в окрестности иеособой точки». Например, при и = 2 в окрестности особой точки типа узла или фокуса ие существует ии одного первого интеграла вида в(х,, хз). В самои деле, у такой точки Р есть окрестность $т С Ж', через каждую точку которой проходит траектория, стремящаяся к Р при З -> оо (или при т -+ -оо), Предположим, что в некоторой окрестности у С $р существует первый интеграл и(х„хз).
Тогда и(х„хз) = с = сопя» иа траектории, стремящейся к точке Р. По непрерывности, и(Р) = с. Значит, иа всех траекториях, стремящихся к Р, инеем и(х,, хз) = с = и(Р), то есть е вз с в окрестности точки Р. Тогда де/дх вв 0 (у' = 1, 2), ранг матрицы (ди/дх,, ди/дхз) = гапй(0, 0) = 0 ( 1, и первый интеграл е = с не является независимым. 218 з 25.
Первые интегралы ~4.~ Симметричная форма системы дифференциальных уравнений — это такая запись системы, в которой ни одно из переменных не взято за независимое переменное, поэтому в уравнения входят не производные, а дифференциалы. Например, ахи !х, йв„ Ув(хвэ хы эхе) У~(хев х)ю в хя) Уя(хе ° хы ' з хя) (40) — система в симметричной форме. Если обозначить общую величину всех дробей-через М, то система (40) приведется к автономной системе "~с юЫ 4(хе х~ х ) 3~0\ 1 и л В области, где какая-либо из функций у, не равна нулю, система (40) равносильна системе й~ /Их, =,Г' /Д, т' = 0,1,..., и; т' ~ 4 (4 фиксировано, у, уь О). Обратно, систему (31) нормального вида можно записать в симметричной форме (40), взяв хв = $, Дв ке 1.
Симметричная запись системы часто облегчает отыскание первых интегралов. И.] О решении нелинейных систем. Отыскать решение с помощью конечного числа действий удается лишь для некоторых несложных систем. При исключении неизвестных непосредственно из данной системы получается уравнение с производными более высокого порядка, решать которое бывает не легче, чем данную систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
