Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найдем А«/вй' в силу системы р' = Ар. Имеем ( )~ (У())~ /~ тл фгвуг~ е где р(1) — решение системы у' = Ар с начальным условием р(0) = х, то есп р(в) = е'~х. Подынтегральное выражение равно ~е'лев~а!2 = !е1'+йлх!~. Перелопа от т к в = т+ Ф, получаем, что выражение (22) равно Оь — Г' ~е'"х~~ <Ь~ = —,~е'~4~~ = -1х1~. (23) в Теперь найдем <Ь/ов в силу си«гомы (18) — = (йгаб «(х)) * (Ах+ 12(Ф, х)) = <Ь(х)! АЗ ВВ) = (йпи1 «(х)) ° Ах+ (йгас$ «(х)) ° вг(1, х).
Первое слагаемое в силу (13) естыЬ/ав~,, „, значит, равно выражению (22) и (23). Оценим второе. Из (21) получаем, пользуясь неравенством Коши ($4) и считая ~Ьв 3 < Ь, 1,7 = 1,..., и, В гЬ,г в п ~рад«(хИ = ~~в~, — ( 4Ь и ~х~; йв(в,х)~ ( у(х)ф. Ахв 178 а Уй.
Усп!ойчиеоспь по первому прибпиженшо Позтому — ~ (-!х ~+ 2Ьм~х~ 7(х)ф ~ (--~х! ьо(х) 2 1 3 (!31 2 в той области, где у(х) < 1/(4Ьм). Кроме того, из (20) имеем «(0) = О, и(х) > 0 при х ~ О. Следовательно, е(х)— функпия Ляпунова для системы (18), и нулевое решение асимптотически ус!юйчиво по теореме 4.
Доказательство утверждения 2) (о неустойчивости) не входит в программу курса. Оно имеется, например, в [281, стр. 262-2б4. Утверждение 3) о критических случаях подтверждается примером 10. ~зД ! Пример 9. При каких значениях параметра а 6 Ж нулевое решение системы ! Р ! ! х =х+(2 — а)у, ! ! ю з з (24) ! у' = ах — Зу+ (а — 2а — 3)х ! ! ! асимптотически устойчиво? устойчивоу неустойчиво? ! ! Решение примера. Составляем характеристическое уравнение дяя линейной части систеиы 1 — Л 2 — е! 2 ! ~ = О, Л + 2Л+ а — 2а — 3 = О.
а -3 — Л! По теореие Вмята Л, + Лз = -2 ( О, Л! ° Лз —— а — 2а — 3 = (е — 3)(а+ 1). 179 Глава 4. Явтономные системы и устойчивость В зависиностм от значения параметра а получаем 1) -1 < а < 3, тогда Л, ° Лз < О, существует корень Л > О.
По теореме 7 нулевое решение неустойчиво. 2) а<-1 или а>3, тогда Л, Лз>0. Учитывая, что Лг+Лз= -2, получаем два случая. Если Л,, Л вещественные, то Л,<0, Лз<0;если Лгз — — а~1%,то КеЛгз-— а=-1. Вобоих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво по теореме 7. 3) а=-! или а=3, тогда Л +2Л=О, Л,=О, Лз=-2. Корни простые, а система (24) линейная. В силу теоремы 2 нулевое решение устойчиво, но не асимптотическм из-за наличия корня Л, =О. В Г т Пример 10. Устойчиво ли нулевое решение системы 1 ! г з г з з 1 1 х = у — свз у = -Ьх — суз7 (25) 3 Решение примера. При Ь = с = 0 система лннейна, Л, = О, жорданова клетка размера 2.
По теореме 2 нулевое решейне неустойчиво. При других Ь и с имеем критический случай, возможна как устойчивость, так и неустойчивость. При Ь > О возьмен и = 2у~ + Ьх4, как в примере 7. Тоща 6 ь — = -4Ьсх — 4су . й1 (251 Если с > О, то ао/сЫ < 0 Ох!+ 1у! ть 0). По теореме 4— асимптотическая устойчивость. Если же с = О, то Ию/йг ва О. По теореме 3 устойчивость, но не асинптотическая, так как и(х(Ю), у($)) аа сопят О. При Ь < О, с < 0 неустойчивость — как в примере В, и = ху. 180 Уй1. Особые точно ° веющее а ] ] 4.
А.М. Ляпунов дал методы исследования устойчивости в основных критических случаях, см. ]34], гл.4. Об исследованиях других критических случаев см. ]19], гл. 3. Теорема об устойчивости по первому приближению обобщалась в разных направлениях, в частности, на случай, когда систрма первого приближения имеет не постоянные, а периодические коэффициенты (]28], гл.4, 812).
В различных работах оценивалась область устойчивости — область возможных начальных возмущений, для которой отклонение решения х(1) от р(1), см. (8), при всех Ф > гз остается ограниченным (или стремится к нулю при $- со). 0 частотных метолах исследования устойчивости см.
]27]. Список более поздних работ по теории устойчивости имеется в [35]. 'Фвееееавяй $21. Особые точки Изучается расположение траекторий системы х', =ах1+Ьхз, хз — — сх, +Ахз (а,Ь,с, а Е )к~), (26) вблизи особой точки (О, 0). Рассматривается также нелинейная система двух уравнений.
]Ш Для исследования системы (26) сначала надо найти собственные значения Л,, Л и собственные векторы матрицы А = н а Ь1 „( . Возможны следующие случаи. с А/ А. Числа Л„Лз вещественны, различны и отличны от нуля. В базисе из собственных векторов матрица диагональна, система (26) приводится к виду г д1 = Л,р,, Глава 4. Яетононные системы и устойчивость и имеет общее решение у, = с,е"", уз = сзе""; с, и с~— произвольные постоянные. Исключая 1, получаем уравнение траекторий 1 уз — — сз — ' (при с, зь 0) и у, =0 (при с, =0). (28) ~,с,у 1 ! ! Если Л, и Лз одного знака, то траектории сходны с дутами .
парабол, касающимися оси Оу, в точке (О, 0) (если 1Лз~ > !Л,1, рис. 1б и 17), или оси Оу (если ~Л 1 ( ~Л,0; координатные полуоси тоже являются траекториями. Особая точка называется узлам. По всем траекториям происходит движение к точке (О, 0), если Л„Л1 ( 0 (устойчивый узел, рис. 16), и от нее, если . Л„Л > 0 (неустойчивый узел, рис. 17). Направление движения 1 указывается стрелками на траекториях.
92 уь 1 Рис. 17 Рис. 16 182 я2л. Особые точки Если же Л„Л разных знаков, то траектории (кроме идущих по координатным полуосям) похожи на гиперболы, так как в силу (28) ~уз~ -+ со при уг -+ О н уз -+ О при Уг ~уг ! - со (рис. 18). Особая точка называется седлом. Седло всегда неустойчиво, так как одно из Л; > О. ЕслиЛ,(О,Л >О, то по обеим половинам оси Оу, движение напра- Рис.
16 влено к точке О, так как у, = с,е"" - О ($ -+ со), а по обеим половинам оси Оуз— от точки О, так как уз — — сзе"' 1уг! -+ со ($ -+ оо). Б. Если Л, = Лз ,-ь О, то матрица в жордановой форме может быль диагональной или нет. В первом случае система имеет уг вид (27) с Л, = Лз и траектории (28) — полупрямые с концом в точке (О, О) (рис. 19) в случае Л, = Лг ( О. Если Лг = Лз > О, то стрелки — в другую сторону.
Особая % точка называется дикритическим узлом. Во втором случае система имеет вид у', = Лу, + у,, у', = Луг. Общее решение у = с ем, у, = с,ем+ сз$ем. уравнения траекторий у = — у+-у 1п — и у =О. с, 1 уз 1 2 Л 2 2 $83 Глава 4. Яввоионпые сисгпены и усвподчиеостпь Особая точка называется оыролсдеиным узлом (рис. 20 в случае А ( 0). Узлы двух последних типов, как и рассмотренные выше узлы с Л, ~ Лз, являются устойчивыми, если Л„А ( О, и неустойчивыми, если Л„А ) О.
В соответствии с этим ставятся стрелки на траекториях. В. В Л„= +,дв,РвЬО, то собственные векторы комплексные, линейно независимые (так как Л, та Л ). Пусть во — собственный вектор для Рис. 20 А~ — — а+)ув, то есть Аво = (а+ )ув)во. Заменяя все числа, включая координаты вектора и, на сопряженные, получаем Аво = (а-рв)Е, тоесть во — собстмнный вектор для Лз = а-Вв. Пусть во = и+ ве, где векторы и и и — вещественные. Тогда во = и — во. Векторы и = (во+ во)/2 и о = (во — Е)/(2в) линейно независимы, так как получаются из во и во невырожденным линейным преобразованием. Вектор-функция х = се<~+РОвво, где с — любое число, является решением системы (2б).
Подставляя с = ре'о, то = и+ ви, получаем х = ре + ~+ (и+ во) = (у, (в) + вуз(Ф)) (и+ во), (29) у,($)=ре сов(~М+д), уз($)=ре ип(рв+д). Матрица А — вещественная, поэтому решением системы (26) является также Кех = иу,(в) — еуз(4). Вещественное решение Кех в вещественном базисе и, -о имеет координаты у,(в), уз($), см. (29). Переходя к полярным координатам г, р, то есть полагая у, = гсов р, уз = гв!пр, получаем г = ре, вв = ф$+ д, (ЗО) 134 322.
Особые лютни где р > 0 и д — произвольные постоянные. Формула (30) дает осе вещественные решения, так как начальная точка решения р,(0) = р соь д, р (0) = ряп д У2 есть произвольная точка плоскости у~ ут. В случае а = О, то есть Л,д = ~фа, траектории (30)— окружности г =, сопзг (рис. 21). Особая точка называется цен- гь лчюм. В случае а ть 0 траектории (30) — логарифмические спирали 1р = — 1п -'+ д (О < г < оо), ,6 Рмс. 21 о р делающие бесконечно много оборотов вокруг начала координат (рис. 22).
Особая точка называется фокусам. Фокус устойчивый, как на рис. 22, если о < О, и неустойчивый, если а > О. Г. Если матрица А имеет одно или два собственных значения, равных нулю, то ее жорданова форма имеет один из трех видов 0 Л ' 0 0 ' 0 0 Так как бег А = О, то система ах, + Ьхт — — О, сх, + йвт = 0 имеет бесконечно много решений, значит, особых точек у системы (26) бесконечно много. Система с такой матрицей легко решается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
