Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Общее решение системы х = хе + х, + хз, у = ув+ у, + уз, где х, уе — решение однородной системы (пример 21), а х,, уы хз, уз найдены здесь. 135 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и актены ! Задачи для улражненирл [12], $14ь !8 826-845 и уй84б-850. ° ч Ф П 5. Системы уравнений, не приведенные к нормальному виду < и! «+о,х! '«+...+о х+Ьум«+Ь,уы '«+...+Ь„у=й, с х«г«+схгг О+...
+с а+йьуй«+йу!г '«+... +д у =О, обладают свойствами, отличными от свойств систем вида (70). Согласно [7[, $ ! ! все решения являются линейными комбинациями решений вида х = г(Ф)е"', у = а(!)ен, где Л вЂ” любой корень характеристического уравнения лу(Л) = О, г(!) и я(Ф) — многочлены, степень которых меньше кратности Ь корня Л (если Ь = 1, то г и ю — числа), о Л + о Л "' +... + о Ь Л", + Ь Л' '+... + Ь сьЛг+с3Л' +...+сг йеЛ'+а,Л' + ° ° .+й, Многочлены г(1) и а(Ф) могуг быть найдены мспввм неопределенных коэффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений.
См. задачи в [12], $14, ЬЬ 8!3-825.' 6. Известно много способов решения линейных систем с постоянны[ [ ми коэффициентами. Если известны не только числа Л, но и базис, в котором матрица А имеет жорданову форму, то решение системы ха = лх пишется в явном виде ([7[, теорема П; [12[, $14, п. 3). Операционный метод решения линейных уравнений и сисгем с постоянными коэффициентами изложен в [5[, $24. Известны условия существования периодического решения системы х' = лх+ Г(!) с периодической вектор-функцией У(!) ([2[, гл.4, $7, п.3). 136 $ ХЯ.
Паказапеяьная функция мхприцы $15. Показательная функция матрицы Показательная функция матрицы используется при изучении решений линейных систем с постоянными и с периодическими коэффициентами. Здесь рассматриваются свойства этой функции, а также некоторых других функций матриц. 1. Пусть А и  — квадратные матрицы порядка и, Е— П единичная матрица, а;, Ь,, с — постоянные числа.
Из линейной алгебры известны следующие действия над матрицами: А + В, сА, АВ, А~, А~,... ," А ', А ~ = А 'А ',... (если бег А у6 О). Поэтому для каждого алгебраического многочлена р(х) = а + а,х+... + а хь можно определить матрицу р(А) = а В+ а, А+...
+ а А~. Если а(х) = Ьв+Ь х+ ... + Ь х, 7(х) = р(х)/ц(х) (а(х) ~ О), то в случае аег ц(А) уя 0 можно определить У(А) = р(А)(ц(А)) ' ьз (ц(А)) 'р(А) Последнее равенство получается путем умножения очевидного равенства Е(А)р(А) ы р(А)ц(А) слева я справа нв (а(А)) '. Операции предельного перехода, дифференцирования, интегрирования производятся с каждым элементом матрицы отдельно.
Например, А(1) = (ас;(Ь)) у=и,.„., А'(1) = (ау(Юс„=,,...л 137 Глава 3. Линейные диффврвнииальныв уравнения и свалены Другие функции матриц можно определить с помощью рядов. Ряд матриц АП1+А1з>+... называется сходящимся к матрице Я, если для любых в, у = 1,..., н ряд а1,~1 + а1з~,у + ... из ву-х элементов этих матриц сходится к (у-му элементу матрицы 8.
Аналогично определяется абсолютная сходимость ряда матриц, а также равномерная сходимость, если элементы матрицы являются функциями. Теоремы о непрерывности суммы ряда и о почленном дифференцировании и интегрировании рядов остаются справедливыми и для рядов матриц. Это следует из предыдущих определений и из того, что для рядов, составленных из Ц-х элементов матриц, эти теоремы справедливы.
Доназатвлызнво. Для любых з, у' имеем !а(т>б(Ф)! ~ (1!А(т)(1Ц ~ (ою. Поэтому для всех з, у ряды а1,~у($)+а1 р ($)+... сходятся абсолютно и равномерно на Ю, значит, ряд матриц — тоже. Ь 138 в 15. Показательная функиия матрицы Доказательплео. При пь > 1 — — — ° А °... ° ~ 4— ',~!А(~~ = а, и доказываемое утверждение следует из леммы 1О. ° Д2. Пеказателыагй функцией е" матрицы А называется сумма ряда е =Е+-А+ — А + — А +..., я ! ! г (82) 1! 2! 3! следовательно, сумма ряда (81) равна е'". Свойства показательной функции матрицы.
1' Если АВ =ВА, то ел+ = е" ° ел. В самом деле е е =~В+-А+-А+...! ~ Е+-В+-В +... ля / ! ! г ~~ 1 ! г И 2! "') 1, и 2! =~~,с АВ, (Е~ —,(А+В)<- —,(А~-В)~+.../ г Й А~В, (Ы) 1 1 ь, к=о (83) 139 так как (А+В)(А+В) = Аз+ АВ+ВА+В = Аз+ 2АВ+Вг и т. п. Если А и  — числа, то е" ° ел = е'+в. Одна и та же функция не может разлагаться в два разных степенных ряда, поэтому е = Иь, для всех й и пь. Если А и  — матрицы, то сь и Н те же, поэтому выражения (83) и (84) также равны.
Глава 3. Пинедные дифференциальные уравнения и сиоиемы 2' Имеем фе'" = Ае'". В самом деле, дифференцируя почленно ряд (81), получаем А+-А +-А +...=А~Я+-А+-А +...( =Ае 2 1 3 1 12 2 И В 21 1, 1! 2! Левый ряд равномерно сходится в любом круге Щ < $,, так как ! ~ 1ФВ 00 ~ †,А +'~~ < йАца,я, пь = 1,2,...; ~) йАЙа,„ < оо тю! в силу оценок в лемме 11. Поэтому почленное дифференцирование законно. Следствие 3. де1 е'" = е", в = ап + а22+ ... + а„„вЂ” след наприцы А. 140 Я 15. Показательная функцоя мппрацы ' 1 Г4 -зт Пример 24.
Наати е'", если А = ~ ). ! -~2 -1). с Решение примера. Найдем два решения системы х'=Ах (хайя) Находим собственные векторы 2 -2 О О 2 -3 7 О 7=31 Общее решение х = с е' ~ ) +с е ~ ). Начальное условие *'(0) = дает с, +сз =, с,=-2, сз — — 1; (1) = -2е' + е" 2 а=15=1; Л=2; с начальными условиями ~ ) н ~ ) соответственно, и составим из ннх матрицу е'". Составляем н решаем характеристическое уравнение ! = Л вЂ” ЗЛ+ 2 = О, Л, = 1, Лз = 2. Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и сиовемы Начальное 1кловие х (О) = ~ ) дает /0~ И с~ ! +с2 2 = ! с~=3 гь= 1' х (г) = Зе — е Из найденных решений составляем матрицу -2е'+ Зе" Зе' — Зе е -2е' + 2е Зе' — 2е~ ~ЗД Функции диагональной и жордаиовой матриц. Пусть матрица В имеет жорданову форму О Л; 1 О Х2 В= О х, Х;= =Л;В+У, О 01 0 1 (85) О 0 142 или Х; имеет размер 1 х 1 и состоит из одного числа Л;. При определении функции !'(В) сходящимся степенным рядом (рядом (81) или рядом с другими коэффициентами) все я 1а. Показательная функция маа1рицы действия с В проводятся с каждой клеткой Х, отдельно, поэто- му матрица у(В) состоит из клеток у(К1),..., у(К1), располо- женных на главной диагонали, а остальные элементы матрицы у(В) — нули.
Короче, у(В) = ейа81у(К1), ..., у(К1)); е1В Щй 1 е1х~ Вееру ) (86) У(В) =б1 8(У(Л,),...,У(Л„ф е' ж 81ад (е1"',..., е (87) Найдем е'~, где К вЂ” жордаиова клетка размера я х м, й > 2, то есп К = ЛВ+ Р, Р определено в (85). Имеем е1 К е1АВ+1Я е12В еЕГ У с помощью (87) или (81) получаем е ж 81ай (е'",..., е Ъ1 ж е'"В. Матрицы Р2, Рз, ... имеют вид, сходный с Р, но у каждой следующей косой ряд из единиц сдвигается на одно место вправо. При яз > й имеем У = О. Поэтому ряд (81) для А = 1Р обрывается, е =В+ — Р+-Р +...+ Ре 1В 1 1 2 1 -1 11 21 " (й 1)1 143 В частности, если каждая клетка Х, состоит только из одного числа Л,, матрица В называется диагональной.
Тогда у(В) тоже диагональна: Глава 3. Линедные дифференциальные уравнения и сиплемы ~2 зь-$ 1! 2! (й — 1)! 1ь-г 1 1! (й — 2)! 1 (88) О Замечание. Для треугольной матрицы собственными значениями являются числа, стоящие на главной диагонали, и только они. Поэтому для матрицы е'в (значит, и для е'") собственными значениями являются числа е~', где Л; — собственные значения матрицы А. Пусть для матрицы А известная матрица С, приводящая А к жордановой матрице В = С ~АС. Тогда А = СВС ', А = СВС ~ ° СВС ' = СВ С ', А~=СВ С ~. Подставляя это в (81) и вынося слева С, а справа С ', получаем 12 е'~=С Е+ — В+-В +... С. '=Се С '. П 2! Эта формула и (86), (88) дают еше один способ отыскания е". Пример см. 18], $22.
144 Матрица е'л = е'~е'~ получается умножением всех элементов найденной матрицы е на число е'". Из клеток е~' соспаляется матрица е'в, см. (86). р 16. Линейные сигзпемы с периодическими козффициенлзами у(д) — — "* у'(д) у"(д) 1! 21 У(Ч У'Р) * УР) У '(л) (й — 1)! уь-2 р) (й — 2)1 У(К) = О У(л) ° в ° е ° 51б.
Линейные системы с периодическими коэффициентами Ю ° Линейные системы и линейные уравнения и-го порядка с периодическими коэффициентами — важный для приложений класс дифференциальных уравнений и систем. Решения уравнений и систем этого класса ®аававвааеФ П 4. Друпм функции матриц (доказательства имеются в 12), гл.4, $4).
Пусть функция У(з) определена степенным рядом У(з) =аз+а,з+азз + ° ", сищящимся в круге 14 < г. Тогда для любой квадратной матрицы А, у которой все собственные значения лежат внутри круга 1л1 ( г, ряд аеВ+а,А+азА +... сходигся н его сумма принимается за У(А). Если матрица А = СВС ', то У(А) = СУ(В)С '. Для жордановой матрицы В = дюд (К,,..., К,) имеем У(В) = дмд (У(Х,)„... У(К,) ~. Для жордановой клетки К = лВ+ к (Р см. в (85)) размера я х й Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и а»темы могут быть исследованм известными метолами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
