Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При таком исследовании используется понятие логарифма матрицы. 1. Лагарифм матрваы. Логарифмом вешественноп» или комплексного П числа л называется такое число и = 1п л, что е = е. Так как е +Я» = е (сов)9+»ипф), то для числа л = »(созр+1мпу») имеем е +Я» = з тогда, когда е = г, )У = р + 2а й, й — любое целое. Поэтому 1п л = 1п» + 1(р+ 2ай), где г = 14, р = а»йж Таким образом, 1пл — многозначнвя функция. Если з»е О, то 1пз существует. Логарифмом квадратной лае»рицы А называется такая матрица Х, что е~ = А. Теорема 17.
Дяя любой кведрааной матрн»»ы А, имеющей де»А»Е О, сущеалеуе»а 1п А. Донсзияеяьовео. Сначала найлем логарифм жорлановой клетки Х = ЛЕ+Р = Л(Е+Н), где Л ~ О, Н = Л 'Р, матрицу Рсм. в(85). Покажем, что 1п(Е+ Н) = Ф, где Е = Н - Н»/2+ Н»/3- .... По определению логарифма, для этого надо показать, что ел = Е + Н или, учитывая (82), что Я = Н, где Я ='Я вЂ”., ~Я:.и»'~ .
" 1/" (-1)»-» Л» (89) »!»» Если Н вЂ” число, 1Н~ <1,то Я=е»щ»+л»-1=Н.Таккакряд(89) остается схцаяшимся и после замены всех членов их модулями, то в ряде можно переспаить члены и обьединить члены с одинаковыми степенями Н, то есть Я = с, Н + с Н'+ с Н» +.... Каждое с получается из конечного числа коэффициентов в (89) и не зависит от Н.
Так как Я = Н при 1Н) < 1, то с, = 1, с„= О (и» > 2). Пусп теперь Н вЂ” матрица й ха, Н = Л 'Р, тогда Н = О при »и > й. Ряды в (89) превращаются в конечные суммы, перестановка 146 й Яб. Линейные сисщемы с периодическими коэффициенпгами и группировка членов законны, и Я = с Н+с Н~+... +е,Н Коэффициенты с получаются с помощью тех же действий, что и в случае, кожа Н вЂ” число, поэтому с те же самые: с, = 1, с = О (щ > 2).
Значит, и в случае Н = Л 'Р имеем Я = Н, то 1л(Е + Н) = и. Рассматривая данную жорданову клетку берем всегда одну и ту же ветвь логарифм!ь При Л ~ О ев"'"+» = ели» ° е» = ЛЕ (Е+Н) = ЛЕ+В. Поэтому при Л ~ О для жордановой клетки Х = ЛЕ + Р имеем 1п К = Е 1п Л+ Н = =Е1пЛ+-Зг — — Е + — Р ...+ ' Р» г 1 ! (1) Л 2Л! ЗЛ! (й — 1)Л» ' Если жоеаанова матрица В состоит из клеток К,, ...,К„ и все Л, ~ О, то 1п В есть матрица Ю, состоящая из клеток 1п Кг, » = 1,...,1,так как ел состоитиз клеток е'"к',тоестьиз клеток К,, значит, ео = В. Для любой матрицы А с йе» А»» О существует такая матрица С, что матрица В = С 'АС жорданова, и бе! В ~ О.
Тогда СВС ! С ьВС ! с(ьв)с то есть 1пА = С(1пВ)С '. Существование матрицы 1пА доказано. Логарифм вещественной матрицы А может быть комплексным. Однако если матрица А с се!А ~ О равна квадрату вещественной матрицы, то существует вещественный 1п А [7), $ ЗЗ. 2. Рассмотрим линейную систему в векторной записи и я' = А(1)я (л б И"). (9О) Предполапются, что матрица А($) — непрерывная функция от 1 с периодом Т. Раааа А Линейная дифференциальные уравнения и системы Пусть Х(1) — любая Фундаментальная матрица системы (90).
Тогда матрица г (1) ул Х(г+ Т) — тоже Фундаментальная, так как дог г (г) уь 0 и з"(1) = х'(1+ т) = е(1+ т)х(1+ т) = 1(г)т(1). По теореме 3 ($9) суцгествует такая неособая матрица М, что У(1) = Х(1)м, то есть х(1+т) = х(1)м, (91) Матрица М называется мотрииед молодромии, а ее собственные значения — муяыяиияикооюроми. Из (91) следует, что для любого целого й Х(1+ йт) = Х(1)Мь.
(92) Доиозввеяызвео. Если Я($) — лругая фундаментальная матрица, то по теореме 3 найдется такая неособая постоянная матрица С, что Я(1) = Х(1)С. Тогда аналогично (91) Я(1 + Т) = Я(1)М„ М, = Я ~(1)Я(1+т) =С ~х ~(1)Х(1+т)СтС ~МС. 6' Рмтетрический смысл матрицы мегюлромии и иультивликатеров. Пусть Х(1) — Фундаментальная матрица с Х(0) = Я.
Для любого хо б й" Функция х(1) = Х(1)х„есть решение системы (90) с начальным условием х(0) = хе. В силу (91) х(т) = Х(Т)хо = Мхр. То есть сдвиг по интегральным кривым системы за промежуток времени 0 < 1 < Т 148 д 16. Линейные системы с периодическими коэффициентами есть линейное преобразование х(Т) = Мх(0) с матрицей М. Вследствие периодичности сисземы (90) сдвиг за время следующего периода Т < Ф ~ 2Т есп такое же преобразование: х(2Т) = Мх(Т) и т.д. Пусть е — собственный вектор для М и Ме = зие. Тогда х(1) = Х(1)е — решение с х(0) = е. В силу (91) х(Ф+ Т) = Х(Ф+ Т)е = Х(1)Ме = ХЯрае = ззх(Ф). То есть за каждый промежуток времени длины Т это решение увеличивается в зз раз (если зз ) 1), точнее, умножается на зз.
~ЗД Докпзпвелюпео. Пусть Х(С) — любая фундаментальная матрица. В силу (91) имеется такая неоссбая матрипа М, что Х($+ Т) = Х(1)М. По теореме 17 существует такая матрица В, что егв = М. Возьмем матрицу К(1) = Х(Ф)е "в. Она непрерывна, К'(Ф) тоже. Покюкем, что она имеет период Т. Имеем (1 + 2 ) Х(1 + Т)е-Зт+зЗв Х(1)Ме-тле за (95) Так как Ме"тв = В, то выражение (95) равно Х(г)е зв = К(1). То есть К(1+ Т) щ К(1), и теорема доказана. ззе.
Изложенные результаты позволяют исследовать решения системы 90 на бесконечном интервале. Если на отрезке ллины Т найдены (например, на ЭВМ) и линейно независимых решений системы (90), то есть известна матрица Х(1) на этом отрезке, то можно найти матрицу М. Тогда Формулы (92) и (94) позволяют судить о поведении всех решений Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и спалены системы на бесконечном интервале. Например, двя стремления всех решений к нулю при г - оо необходимо и досшточно, чтобы модули всех мультипликаторов были меньше единнцм (тогда в (92) ляь - О при оо).
В случае, когда система (90) получена из уравнения р" + р(Ф)р = О с периодической функцией р(г), А. М.Ляпунов получил условия ограниченности всех решений при -оо < г < оо ((2), гл. 7, 5 2, п. 2). ГЛАВА Автономные системы и устойчивость Эти вопросы соединены в одну тему, так как при изложении вопросов устойчивости используются понятия и результаты теории автономных систем, а при исследовании особых точек нужны методы теории устойчивости. Разумеется, вопросы устойчивости излагаются не только для автономных систем. 5 17. Автономные системы [:ьД Система дифференциальных уравнений называется ахиеномной, если в нее не входит явно независимое переменное. Например, Их; — '=у;(х„...,х„), 1=1,...,п, или, в векторной записи, ах — = 7(х), х = (х„..., х„) И1 Глава 4.
Автономные системы и устойчивость — автономная система нормального вида. Автономность системы приводит к тому, что решения системы можно изображать линиями в пространстве меньшей размерности. Это облегчает исследование решений. Фазавмм пространствам автономной системы (1) называется множество, на котором определены координаты х„..., х„и задана система (1). Фазовое пространство может быть, например, обласпю в 1й" или гладкой поверхностью, например, боковой поверхностью цилиндра. Далее считаем, что в (1) функции Г! и д,Гг/дх определены и непрерывны в области сч С 1к".
Тогда С вЂ” фазовое пространство. Каждое решение системы (1) х, = хг($), ..., х„= х„($) определяет в фазовом пространстве линию (или точку, если все функции хг(с) постоянны). Эта линия или точка называется траекторией (иногда 4аговой траекторией). Точка х = а является траекторией тогда и только тогда, коща в этой точке все функции Г! равны нулю, то есть в (2) у(а) = О. Такая точка называется особой или стационарной, илн наюгхвниси равновесия. г ! ! Пример 1.
Автономная систеиа х', = х, х' = -х, имеет — г г— решения ! ! ! ! х, = с, з(п(1+сг), хг = с, соз(1+с~). (3) ! ! В пространстве 1, х, хг функции (3) изображаются вмнтог ! выми линиями, а в фазовом пространстве (здесь оно является ! плоскостью х,, х ) — окружностями хг+ хг = !. Каждая Ф окружность изображает бесконечно мноп! решений, отлича! ющихся только значенияии с . Точка х, = х = О тоже — г— является траекторией (особая точка). ! ! ! 152 в 17. Аваономные сиппвмы Система (1) или (2) в каждой точке х = (х„..., х„) фазового пространства определяет вектор 1(х) = (~,(х„..., х„),..., ~„(х„..., х„)). В особой точке 1(х) = О.
Если линия х = х(Ф) является траекторией системы, то в каждой своей точке, где х'($) ~ О, она касается вектора 1(х), так как вектор х'(Ф) = (х',(Ф),..., х'„(г)) касается линии, параметрически заданной уравнениями х, = х,($), ..., х„= х„(Ф), а х'(1) = 1(х(Ф)) в силу (1) или (2). Таким образом, автономная система залает векторное ппвв в фазовом пространстве, а траектории — линии, которые во всех точках, где 1(х) зь О, касаются векторов зтого поля. На траекториях принято ставить стрелки, указываюшие направление движения точки х(1) при возрастании $. ~2. Следующие утверждения описывают свойства траекторий.
1' Если х(1) — решение системы (2), то лля любого а б Й функция р(1) аз х($+ с) — тоже решение, и все зти решения имеют одну и ту же траекторию. Доказппвльапво. Так как х(3) — решение, то х'($) вз 1(х($)). Заменяя $ на 8+ с, имеем х'($+ с) гя 1(х(Ф+ с)), то есть р'(Ф) ш 1(у(г)). Значит, р(1) — решение. Эти решения имеют одну и ту же траекторию, так как через любую точку х' = х($') первого решения решение р($) = х(1+ с) проходит при $ = $'-с. Таким образом, каждая траектория, не являющаяся точкой, изображает бесконечно много решений. 2' Две любые траектории или не имеют общих точек, или совпадают. 153 Глава 4.
Автономные системы и устойчивоапь Доказательство. Пусть траектории решений х(ь) и р($) имеют общую точку Ь. Тогда существуют такие г, и $з, что Ь = х(Ь,) = р(зз). Функпия к(ь) = р(ь + ез — 1,) — тоже решение, и л(г,) = р(г ) = х(г,). По теореме единственности л(г) вз х(г), то есть р(г+ аэ — Ю,) вз х(з), и решения х(з) и р($) имеют одну и ту же траекторию. Следствие. Решение автономной системы не может войти в осо- йуе точку за конечное время. Доказвпельство. Пусть а — особая точка, то есть х'(3) вз а— решение. Если траектории решений х(г) и х'(3) не совпадают, то они не имеют общих точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
