Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В случае б(С) л тг > О (С, < С < со) из теоремм 12 и примера 1б следует, что любое решенме уравнения (52) имеет на интервале (С„оо) бесконечно много нулей, т.е. является колебеющиисл. 3. Линейные уравнения 2-го порядка давно мсслсдовались, см., на- П пример, [23[, гл. б; [39[, гл. П; [37[, т.1, гл.3. Получены достипвчные условия ограниченности всех решений уравнения (52) на интервале (С„оо), например, б(С) - оо монотонно или б(С) = ог+ р(С)+ ф(С), и > О, ф(С) - О (С в оо), интеграл от [р[+ [фв[ сходится, условия колсблемости (б(С) > (1/4+ ег)/Сг) и неколеблемссти (б(С) < 1/(4Сг)) решений на интервале (С„со). Изучалось асимптотическое поведение решений при С -в со. Для этого у1авнение у" + б(и)у = О (б(л) > О) с помощью преобразования Лиувилля !=Фв / ъй*м и ю'"к в приводится к уравнению и'+(1-И вЂ” Ь')и=б, Д= — ' в бв(*(С)) е 4б(а(С)) ' 114 У 13.
Краевые задачи Бо мнопог случаях, например, когда у = ся", и > -2, илн коглд 9 = еш, Л > О, при и -+ со имеем Ф -+ со и [Лз + Л',[ < сГ', а = сопи > О. Тогда имеем решения р =9 '~'[ в(Ф))+О(Г(а)) ], р,=й '~'[нп(Г(и))+О(Г(и)) Об асимптотике решений см. также [П], гл. 7. Для некоторых дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющих важное значение для теории и приложений (уравнения Бесселя, Эйри, Матье, гипергеометрические уравнения и другие) детально изучены свойства решений ([5], б 18, п. У; [9], гл. 6, $2, п. 2; [37], т.
1, гл. 3, $4, б 6) и составлены их таблицы — таблицы специальных функций. «в~~иаее 513. Краевые задачи 1. В предыдущих параграфах для уравнения и-го порядка ряс[ ] сматривалась задача с начальными условиями, в которой все н условий задаются при одном и том же значении 1 = Фе. В краевой задаче задаются условия при двух (или более) значениях 1. Такие условия называются краевыми. Здесь будут рассмигриваться только линейные краевые. задачи, в которых дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Левые части краевых условий — линейные комбинации значений искомой функции и ее производных в заданных точках Ф,, а правые части — заданные постоянные числа.
Примеры линейных краевых условий: а) р($,) =а; б) у'(Ф,) = Ь; в) ор(1з) + )ур'(1з) = с (а и б заданы, [се[+ [ф уь 0); 11$ Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы г) у(~0) у(11) д) у'(ге) — у'(г,) = Ь; возможны и другие виды условий. Если постоянная в правой части краевого условия равна нулю, то условие называется однородным, если не равна нулю— неоднородным. Для уравнения и-го порядка задаются и условий.
В разных точках $, условия могут быль одного типа или разных типов. Краевая задача называется однородной, если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны и однородны. В отличие от задачи с начальными условиями краевая задача может иметь одно или много решений, а может и не иметь решений. Например, задача у" + у = О, у(0) = О, у(я/2) = а имеет единственное решение у = аз(п$, а задача у" + у = О, у(0) = О, у(я) = Ь в случае Ь ~ 0 не имеет решений (так как все решения уравнения, для которых у(0) = О, имеют вид у = с ьйп1 и при $ = 1г они равны нулю), а в случае Ь = 0 имеет бесконечно много решений у = се!и $, с — любое. Теорема 11 (об альтернатива). Рассмотрим уравнение ае(1)уйй+ а,(1)у!" О+... + а„(!)у = З(1) (и >~ 2) (58) (все а;(Ф) и,Г(Ф) непрерывны, ае(Ф) зе 0) с п линейными краевыми условиями.
Возможны только два случаю или 1) задача имеет единственное решение при любых правых частях в уравнении и краевых условияк ияи 2) однородная задача (левые части те же, а правые заменяются нулями) имеет Бесконечно много решений, а неоднородная задача при некоторых правых частях имеет Бесконечно много решений, а при всех других — не инеет решений 11б У 13. Краевые задачи Даказавельопва. Общее решение уравнения (58) имеет вид у= с~у1+ " +сьуь+е* (59) где у„..., у„— линейно независимые решения однородного уравнения, е — частное решение уравнения (58), с„..., с„— произвольные постоянные. Подставляя (59) в краевые условия и перенося е в правую часть, получаем систему и линейных алгебраических уравнений относительно с„..., с„. Коэффициенты системы зависят только от значений у, у',...
в заданных точках Ф и не зависят от правых частей уравнения и краевых условий. Если данная задача однородна, то правые части алгебраических уравнений равны нулю. Возможны только два следующих случая. !) Если детерминант системы не равен нулю, то система имеет единственное решение с„..., с„при любых правых частях. Подставляя эти с,,..., с„в (59), получаем единственное решение краевой задачи. 2) Если детерминант системы равен нулю, то однородная система (т.е. при правых частях„равных нулю) имеет бесконечно много решений относительно с„..., с„, а неоднородная система имеет решение не при любых правых частях.
Если она имеет решение, то она имеет бесконечно много решений, так как к этому решению можно прибавить любое решение однородной системы, умноженное на любую постоянную. Для любого набора постоянных с„..., с„, удовлепюряющего системе, формула (59) дает решение краевой задачи. Для разных наборов с,,...,с„эти решения различны, так как функции у,,..., у„линейно независимы. Из 1) и 2) следует утверждение теоремы. 117 Глава 3. Линейные дифференциалы«ые уравнения и сиапемы г Пример 17. Найти задача уп+ Ьзу ! не имеет решений. ! наименьшее кз таких чисел Ь ) О, что ! ! (60) ! ! =О, у(0) =5, у(1) = -5, . Решение примера.
По теореме 13 задача (60) не имеет решений тогда, когда однородная задача у" + Ь~у = О, у(0) = О, у(1) = О имеет ненулевое решение. Функции, для которых у" + Ьзу = О, у(0) = О, имеют вмд у = сяп Ьй. Чтобы при с ~ 0 было у(1) = О, надо в!и Ь = О, то есть Ь = «г, 2я,Зк,.... Прн зтих Ь имеем 2»й случай альтернативы, значит, при зтнх Ь задача (60) или не ииеет решений, или имеет бесконечно иного решений.
Какал из зтмх возможностей осуществится, надо проверить. При Ь = к общее решение уравнения есть у = с, соа «гз + сз яп «гз. Значит, у(0) = с,, у(1) = -с,. При с, = 5 и любом сз функция у(1) —, решение задачи (60). Но требуется, чтобы решение не существовало. При Ь = 2я общее решение у = с, соп 2«г$+ с пнт 2кз. Тогда у(0) = с,, у(1) = с, и удовлетворить обоим условиям у(0) = 5, у(1) = -5 невозможно. Значит, решений нет.
Ответ: Ь = 2в. ! Задачи для упражнений (12], $22, гй 63, 65-67. ~у ао(1)у +аг(1)у '"аз()у У(1)э «пу'(1!) + «Уу(й!) = О, (61) 7У'(зз)+ бу(зз) = О, 118 2. Далее рассматривается краевая палача на отрезке 1! < $ < 1з П $13. Краевые задачи Следующая теорема устанавливает условия сущеспювания функции Грина и дает способ ее построения. Теорема 14. Если на тпрезке (1,, Ц функции ае, а„аз'непрерывны, ае ~ О, и если при Г(Ф) вз О' краевая задача (61) имеет люлько нулевое решение, то функция Грина существует и имеет д О (1,в) = ау,(1) (1, »(1» »в), Ьуз(1) (в « ( 1,), (63) зде у, и уз — ненулевые решения уравнения Ьу = О, удовлетворяющие соответппвенно первому и второму краевым условиям из (61), множители а и Ь зависят от в и определяются из требования, чтобы функция (63) удовлетворяла условиям (62), то есть ай(в) = Ьуз(в), Ьу2(в) = ау1(в) + †.
(64) ао(в) 119 где 1а! + 1Щ ~ О, Ц+ !б1 -„е О. Частными случаями таких краевых условий являются условия вида у(1;) = О и у'(3 ) = О. Функцией 1)тина этой задачи называется такая функция ьч(Ф, в), Ф б [Ф„Ц > в Е (Ф, > Фз), что 1' Для каждого в = сопзг функция у(Ф) = 0(1, в) при Ф зе в удовлетворяет уравнению Ьу = О. 2' При 1 = $, и $ = $, функция у(Ф) = сз(з, в) Удовлетворяет краевым условиям из (61). 3' При $ = в она непрерывна по $, а ее производная по 1 имеет скачок, равный 1/а (в), то есть 1 1ю ь+е ~и ь-о' ~~1! ь+е Фю=ю-е+ ( )' (62) ае(в Глава 3.
Линейные дифференциальные уравнения и системы Доказательство. Пусть у,, у — решения уравнения з.у = О, для которых уА) з уА) Р уз('з) = 7~ уз('з) Они удовлетворяют соответственно первому и второму краевым условиям в (61). Если бы у, и у были линейно зависимы, то у,(Ф) зд суз(з), и решение уз(з) (уз у1 О, так как ~7~+ 161 зь 0) удовлетворяло бы обоим краевым условиям в (61), что противоречит условию теоремы.
Значит, у, и у линейно независимы, и любое решение уравнения бу = О имеет внд у = с,у, + сзуз. Так как первому из краевых условий в (61) удовлетворяет только у,, а второму — только уз, то из требований 1' и 2' вытекает, что функция с«должна иметь вид (63). Из требования 3' вытекают уравнения (64).
Система (64) разрешима относительно е 'и Ь, так как ее детерминант равен = И'(в) ~ 0 -уФ уз(в) (решения у,, у линейно независимы). Итак, при выполнении условий теоремы найдутся а и Ь, удовлетворяющие (64), а тогда функция (63) удовлетворяет требованиям 1'-3', ° Замечание. При выполнении условий теоремы функция Грина определяется однозначно. Хотя решения у, и уз можно заменить решениями су, и ауз, но с учетом (64) зто не изменит произведений пу, и Ьуз в (63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
