Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Хврактеристическое уравнение для линейного уравнения с постоянными коэффициентами получается, если подставить у = е в левую часть уравнения и сократить на общий множитель еи, см. (31), (32). У нас е' = х, е" = х", поэтому надо подставить у = х" в левую часть (49) и сократить на х". Получается характеристическое уравнение аьЛ(Л-!)... (Л-и+1)+а~Л(Л- 1)... (Л-и+2)+...+а„!Л+а„=О.
Таким образом, в (49) каждое произведение х"уйе заменяется на произведение Ь убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1)... (Л вЂ” Ь+!). 108 д Зд. Линейные уравнения вшороео порядка Пример решения уравнения Эйлера с подробными пояснениями см. [12), б 11, и.4. Задачи дяя упражнений [12), $11, 1П 689-698, 606, 609, 610. $12. Линейные уравнения второго порядна Линейное однородное уравнение второю порядка имеет вид р,(1)у" +р,(1)р'+ р,(1)р = 0. (51) У многих таких уравнений (например, у уравнения у" + 1'р = О, а = сопи > О) решения не выражаются через элементарные функции н неопределенные интегралы.
Ниже излагаются иекоторме методы исследования свойств решений уравнений вида (51) без отыскания самих решений. 1. Уравнение (51) можно привести к простейшему виду [) р" +9(1)р=б многими способами, из коюрых два основнмх. (52) 209 б. Дяя линейных уравнений с постоянными коэффициентами деталь) ) но исследовалось поведение решений в случаях, интересных для приложений, например, в [4), гл. 2, б 10; [9], гл.б, б 1, п. 2, примеры 2, 9, 10. Разрабатывались различные методы решения линейных уравнений с поспшнными коэффициентами.
Об отыскании решений с помошью рялов Фурье см. [9), гл.б, 81, п.З; [5], 818, п. 3'. Операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа, позволяет находить решение, удовлепюряющее зтданным начальным условиям, не находя обшею решения. Доступное изложение этого метода и примеры его применения см. в [5], 8 24, с. 205-211.
° вееюеееме Глава Я. Линеднне дифференциальные уравнения и сисшемн А. Линейная замена искомой функции, Подставиш у = а(8)и в. (51), получаем (предполагается, что ро,р, б С') роаи" + 2роа и'+ров'и+р~ай+р~аи+рзаи = О. Чтобы уни пожить члены с й, полагаем 2роа'+р,а = О. Отсюда получаем а(Ф) = с е ндоо», берем с ~ О. Б. Замена независимого переменного. Считая и = 1о(Ф), иаходмм У,' = УЩ Ул н= У'„',(Р',)з + У,'Ре. Подставваа в (5!), полУчаем Роу (Ю) +Роуоуе+Р~у*уг+Р»У=О. Чтобы уничтожить члены с у'„полагаем роуа +р,у', = О.
Понижая порядок заменой Р', = ф, накодим сначала ф(1) = с ° е з»чгооа (берем с ~ О), затем Р(1). Другие способы приведения к виду (52) являются комбинациями этих двух. Например, можно сделать в (51) замену вида и = Р(1) с какой-либо функцией Р б Сг, у' ~ О, а затем в полученном уравнении уничтожить член с у', заменой у = а(а)и.
~2Д Иссведоваиае выпуклости г»афиков рмиеиий и нувей решеинй. Если в уравнении (52) у(Ф) < 0 на интервале а < Ф < )3, то в области у > О, а < 1 <»5 имеем у" = -е(1)у > О. Поэтому там графики всех решений выпуклы вниз, а в области у < О„а < 1 <»5 имеем у' < О, и графики выпукаы вверх.
В обеих областях графики вмпуклы в сторону оси Оо. Если же е(Ф) > 0 при у < 1 < б, то на интервале (у,б) имеем у" = -Оу < 0 при у > 0 и у" > 0 при у < О. 41оэтому при т < 1 < б графики решений обращены вогнугостью к оси 01. Нулями решения у(Ф) называются такие Ф, при которых у(Ф) = О. Лемма У. Если у(1) Ф 0 — решение уравнение (51), у(го) = О, то у'(Ф ) оь О.
шч ч е б 1оо гоо л, р ных условиях существовало бы два решения: данное решение у(1) 22О '$12. Линейные уравнения второго порядка н нулевое решение у,(г) ш О. Это противоречит теореме едннствен- НОСТИ. Лемма О. йвнуяввое решение у(Ф) М О уравнения (51) не может иметь бесконечно много нуявд но конечном отрезке. Докозетеяьствх Пусть на отрезке [а, Ь[ решение у(с) Ю О имеет бесконечное множеспю нулей.
Выберем из них схожщуюсл последовательность Фнгм... - Фь. Тогда Фь б [а,Ь[ н из у(гь) = О (Ь = 1, 2,...) н непрерывности у(г) следует у(се) = О. Решение у(Ф) имеет производную у'($). Следовательно, существует у(гь) — у(гь) йш = у'(гь). ь ч гь-~ь Числитель равен нулю, значит, 1г(гь) = О. Это протнюречит лемме 7. Ю Теорема 10. йо отрезщ где о(Ф) ~ О, любое решение у(1) 4 О уровне ния (52) нв можаи оброиизвься в нуль Всмее, чем в одной точке.
Докозавеяьонво. Предположим, что у(Ф~) = О, у(гз) = О, г~ < ге На отрезке [Фь гз[ по лемме 8 может бмть только конечное число нулей. Возьмем два соседних нуля с = а н с = Ь > а. При а < Ф < Ь у(г) не меняет знак, например, у(Ф) > О (если там у(1) < О, то рьссмотрим вместо у(г) решение у~(г) = -у(г) > О). Тогда у(а) = у(Ь) = О и по лемме 7 у'(а) зь О. Так как у(1) > О на (а, Ь), то 1/(а) > О и у" = -у(Ф)у ~ О на (а, Ь). Значит, у'(Ф) не убывает и из у'(а) > О следует у'(Ф) > О на (а,Ь). Тоща у(Ф) возрастает на [а, Ь[ и из у(а) = О следует у(Ь) > О в противоречии с выбором точки Ь.
111 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и сиаяемы Дсмааиельсею. У этих решений нет обших нулей (в точке Ф», пге у»(ь») = уг(Ф») = О вронскиан »У(г») = О, а тогда решения были бы линейно зависимы по лемме 3). Предположим, что в промежутке (г», Ег) между двумя соседними нулями одного из решений, например уг, нет нулей решения у». Тогда на отрезке (Е», гг) имеем у»(г) ~ О, »У(г) гь О, производная »г Уг ~ У»уг У»уг »гг сохраняет знак и функция уг(г)/у»(г) строго монотонна. Но это невозможно, так как уг(Ф») = уг(гг) = О. Значит, в промежутке (г»,гг) есть нули решения у». Их— конечное число по лемме 8.
Если их более одного, то в промежутках между ними не было бы ни одного нуля решения уг, а эго невозможно по доказанному. Следовательно, в (г», гг) есть ровно один нуль решения у». Дсяегаиельавео. Предположим, что для решений у и з имеем у(а) =у(Ь) = О, у(С) 1 О, г(Г) Ф О (а < Ю < Ь).
112 $12. Линедные уравнения второго порядка Будем считать, что на (а, Ь) имеем р(х) > О, з(х) > О (если не так, то вместо р и х можно рассмотреть решения р, = -р, х, = -з). Умножая уравнение (а) на х, (б) — на р и вычитая, имеем у"х — х"р+ (е-®рз = О. (53) Так как р~з — з~р ьт (у'х — рз')', то интегрируя (53) от г = а до $ = Ь, получаем 1 ОГ*-г! -н -ют -/0х~)- т!)и~ 641 В Имеем р(а):- "р(Ь) = О, поэтому левая часть равна )/х '! — р'х~ Учитывая лемму 7 н неравенство р(Ф) > О на (а„Ь), имеем р'(а) > О, р'(Ь) < О. Тек как х(г) > О на (а, Ь), то в силу непрермвност функпии з имеем з(а) > О, з(Ь) ~ О. Значит, левая часть в (54) неположительна.
В правой части тг ~ О, рз > О на (а, Ь), поэтому она неотри- пательна. Если хотя бы одно из равенств з(а) = О, х(Ь) = О, т;)(Ф) гп О(Ф) на (а,Ь) не выполняется, получаем противоречие. Теорема до- казана, Равенне лрииеро. Срааннеаеи уравнение (ЬЬ) с ураенениеи з +Мз=О, ииеюжии реюения х = с, стжЛй+с я$пМФ тп д! з!пМ(1+4 ), (56) 113 Пример 16. Оценить сверху и снизу расстояние вежду соселниин нуляни дяя ренений 'уравнения ! ! ! ! у" + О(1)у = О (55) ! ! 2 2 ! на таков отрезке, на котором О < ит 4 О(Ф) < М . 1 1 риала я. Линейные дифференциальные уравнения и сислюмы вде си Юв (в = 1, 2) — произвольные постоянные. Пусть Ср, С, — соседние нули ренеимз у(С).
Беря е (Бб) вСг = -С, имеем л(Св) = О. Из теоремы 12 получаеи, что следующий нуль С ренеиил з лежит иа пслуиитераале (Се С ]. Так как е силу(56) Сг Св+«/М, то Св Св > Сг Се «/М Сравниваем уравнение (55) с уравнением и" + нвги = О, имеющим ренеиив и =с, сознвС+с нптС = вС з1пт(С+вС ). (57) берл вСв = -С, получаеи из ($7) соседние нули Св и Св = С + «/т. Так как б(С) ~ внг, то из теореввы 12 следует, что куль С, ранения у(С) лежит е полуиитервапе (С,С ]. Значит, С, — С К вг/нв. Итак, получена оценка «/М < С, - С < в'/т. Из теоремы 1О следует, что в случае б(С) < О при С, вб С < оо любое ненулевое решение уравнения (52) имеет на интервале (С,, оо) не более одного нуля, то есть является неколеблювциисл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
