Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рисунки здесь не приводятся, так как при добавлении в такую систему слагаемых, малых по сравнению с линейными, картина траекторий обычно резко меняется. 185 Глгвво 4. Авогономные сиовемы и уаооичивосаь Рис. 22 Рис. 23 ~2Д Рисунки 16-22 изображают траектории в координатах р„рз.
Они связаны со старыми. координатами х„хз линейным преобразованием. На плоскости х„х траектории могут иметь, на- 18б УИ. Особые пючни Пример 11. При каких значениях параметра а особая точка ! ! системы ! ! х' = 2х — 4у, у' = ах — бу, ! ! ! ! только одна и является седлом? узлом? фокусом? Дать чертеж ! траекторий при а = 8.
! ! ! Решение примера. Пишем уравнение для Л,, Лз и его дискрими- нант. дискриминант 23 = 64- 1ба. По теореме Омега Л!+Лз = -4, Л! ° Лз — — 4а — 12 = <О при а<3, =О при а=3, >О при а>3. 187 пример, такой вид, как на рис. 23. Стрелки могут быль направлены в ту или другую сторону в зависимости от данной системы. Чтобы выяснить расположение траекторий в координатах х„хз, не нужно находить это преобразование. Тип особой точки и ее устойчивость или неустойчивость определяются по собственным значениям Л„Лз матрицы А.
Прямолинейные траектории всегда идут по направлениям собственных векторов, а кривые в случае узла с Л, ,-е Л касаются в точке (О, 0) того собственного вектора, у которого Щ меньше. В случае фокуса надо в точке х, = 1, хз = О (илн х, = О, хз = 1) построить вектор скорости (х',, х~з). Траектория, проходящая через эту точку, касается в ней этого вектора. Далее она делает обороты вокруг особой точки, приближаясь к ней в случае устойчивости и удаляясь в случае неустойчивости.
Гяаеа 4. Аянюномные сисглены и усгпог7чиеоапь Замечание. Интегральные кривые уравнения ду ю+ ду дх ах+ Ьу являются траекториями снстены (26). Чтобы исследовать зто уравнение. надо исследовать систену (26) и не включать в окончательные выводы заключения об устойчивости (или неустойчивости) и о направлении движения по траекториям. ! Задачи для упражнений: (12], а 16, В 961-980; $25, В 161-173. ~ЗД Для автономной системы г *1 У1(*гехт)~ хз Гз(хыхз) (31) >О прн а<4, Л,,Лз — вещественные различные, 27= =0 при а=4, Лу Лз — --2, <0 при а>4, Л„Л вЂ” комплексные.
Следовательно, при а < 3 нивен Л, ° Лз < О, особая точка седло; прн а = 3 нивен Л, =О, Л = -4, особык точек нного1 при 3 < а < 4 корни вещественные, Л, ° Л > 0 — узел (прн а = 4 вырожденный, Л, = Лз — — -2), узлы устойчивые, так как Л, + Л = -4 < 0; при а > 4 корни Л„Лз конплексные, йе Л = -2 < Π— устойчивый фокус. У При а = 8 нивен х' = 2х — 4у, у' = 8х — бу, особая точка — устойчивый фокус. В точке х = 1, у = 0 инеен х' = 2, у' = 8, значит, траектория из точки (1,О) идет сначала в область у > О, совершает обороты против часовой стрелки, приближаясь к точке (О, 0) Рис. 24 вследствие устойчивости (рис.
24). ° 921. Особые точки координаты особых точек определяются из уравнений А(ры Рэ) = О, Уэ(ры Рэ) = О. Для исследования особой точки (Р,,рэ) надо перенести в нее начало координат заменой х, = Р, + у,, х = р + у и выделить линейные по у,, у члены, например, с помощью формулы Тейлора. Получается система У~=ар~+Ьрэ+Р~(Упрэ).
(а Ь| ~В~;~~ (32) ~Рн фз = о(е) при е = 1Я+ Уз -+ О. Магрицу А можно найти из (32), не пользуясь заменой х, =р, +у,, а условие на 1а,. выполнено, если 1„3' б С~ в (31). Теорема 8. Если для матрицы А имеем КеЛ; ~ О, 3 = 1,2 (а в слУчае Л, = Лэ еи1е х„хг = О(г~+'), е > О, или в (31) 3'„1' 6 С~), то особая точка (О, 0) системы (32) имеет тот же тип, что для системы (2б) с теми же а, Ь,с,б.
При этом сохраняются направления подхода траекторий к особой точке (но прямолинейные траектории могут замениться кривыми), направления закручивания и устойчивость. Доказательство непростое, см. (7), $30, оно в программу не входит. ! Задачи для упражнений: (12], $18, В 981-992; а 25, 18175, 176, 182, 183.
189 Глава 4. Авшономные системы и усшойчивасшь Каааааеееа~ [] 4. Известны методы, позволяющие исследовать особые точки более сложнмх систем, в частности, систем вида х' = Р(х, р), р' = 42(х, р), где Р, С) — алгебраические многочлены или сходящиеся в окрестности особой точки (О, 0) степенные ряды ([14]; [19], гл.5; [16], 8 20-22).
Изучены условна, при которых систему вида (32) в окрестности особой точки (О, 0) можно привести к линейной системе с помощью дифференпируемого преобразования кооунннвт (см., в частности, [2], гл. б, б 8). Изучались нормальные формы, к которым можно привести систему в тех случаях, когда онв не приводится к линейной схстеме ([19), гл.5; [2), гл.8).
Для особых точек систем х' = Ах+ р(х), х Е К", п > 2, р(х) = О(]х]з) (х - 0) изучались множества решений, стремящихся к особой точке при 1 - со нлн при Ф -+ -со. Имеются методы, позволяющие получить приближенные представления таких решений [25). ° а ~ Ф 5 22. Предельные циклы ~Я Замкнутые траектории автономных систем на плоскости чаще всего бывают двух типов. А. Имеется бесконечное множество замкнутых траекторий, вложенных друг в друга и заполняющих некоторую обласп. Пример: траекгории вблизи особой точки типа центр. Б.
Отдельные замкнутые траектории, к которым все близкие траектории неограниченно приближаются (необязательно монотонно) при 1 - +оо или прн $ — -оо. 1акие замкнутые траектории называются лреймьхыми циклами. Предельные циклы бывают усаюйчиеые — к которым все близкие траектории приближаются при $ -+ +со (рис.25), леустойчивые — к которым траектории приближаются при Ф -+ -оо 190 Я 22. Предельные ииклы Рис.
25 Рис. 26 Рис. 27 (рис. 26), и лолуусл!ойчивые — когда с одной стороны от цикла тра- ектории приближаются при $ - +оо, а с другой — при 2 -+ -оо (рис. 27). Таким образом, здесь устойчивость понимается в ином смысле, чем в 218. 191 ! Пример 12. Система (в полярных координатах) ! !' =сг(1-г ), !р =1 (тября) ! имеет заикнутую траекторию г = 1. В случае с четного тп > 1 в области О < г < 1 имеем г' ! возрастает, а в области ! > 1, напротив, г / ! ! ! ! ! ! > О и не> О, г($) < О, г(2) ! Глава 4. Автономные пнтемы и усгпойчивосгпь Г убывает.
При 2 -+ +оо траектории с обеих сторон при- 1 ближаются к окружности т = 1. Она является устойчивым 1 предельнын циклон. Аналогично показывается, что в случае ! с (О и нечетною и! > 1 цикл т = 1 неустойчивый. В случае 1 с та О и четного !и > 2 цикл полуустойчивый. 1 Д2. Предельные циклы были обнаружены Пуанкаре при исследовании некоторых дифференциальных уравнений. Позднее физики обнаружили физические системы, в которых устойчивые периодические движения воз- В никают без воздействия М Ь периодической внешней силы.
Эти движения называются авнюнолебанилми. А.А. Андронов показал, что такие системы Рис. 28 описываются дифференциальными уравнениями, имеющими устойчивые предельные циклы. 'Примеры таких систем: часы, генераторы электрических колебаний высокой частоты, имеющиеся в радиопередатчиках. П1и1стейшнй ламповый генератор (рис. 28) состоит из радиолампы с нитью накала, анодом и сеткой, колебательного контура ЬСзс, связанного индуктивностью лв с сепсой, анодной батареи и батареи накала. Сила тока Г, проходящего через сопротивление Л и катушку самоиндукции Ь, удовлетворяет уравнению я М.
Предельные цинлы где 1(э) — характеристика лампы (рис. 29), выражающая зависимость силы анодного тока 1, от напряжения э на сетке. Функция 1(э) Е С', возрастает при э1 < э < эз У(э) О (э < э1) Х(э) =Х, =сопзе (э > эз). Замена $~IХС = т, 1($)— У(0) = х(т) привалит уравнение (33) к виду 0 Рис.
29 хн + Р(х') + х = 0 х' = — ~, де~ ' Р(у) =ад-у-У ~ — у~+У(О). — ~ь ~,/сь, (34) Здесь Р(0) = О. От уравнения (34) переходим к системе х' = у, у = -х — Р(у). (35) Положение равновесия только одно: х = у = О, то есть 1(е) ьч 1(0) я соим. С помощью теоремы 7 получаем, по в случае Р'(О) > 0 оно асимптотическн устойчиво, а в случае Р'(0) < 0 неустойчиво. И 1эЗ )лава 4. Автономные системы и устойчивость йй а» Даяазамелытео. На плоскости х, у построим замкнутую кольцевую область К без особых точек, из которой не выходят решения системы (35). Внутренняя граница кольца К вЂ” окружность из+ уз = гз» где г такое, что ух(у) < О при О < !у! < г.
Так как при ~у! < г в силу системы (35) ~,(хз + уз) = -2уу'(у) > О, то решения системы (35) не могут выходить из К внутрь круга хз + у' < гз. Наружная граница кольца состоит из нескольких частей. В полуплоскости у > Ь граница — дуга окружности (а+гл)з+ уз = Ф„ Л выберем позже. Тогда в силу (35) — [(х + гл) + уз1 = 2у(гл — е (у)) < О„ йт так как Г(у) > ш при у > Ь. Аналогично, при у < -Ь берем дугу (з + Ь)з + уз = Кз» рис. 30. На вертикальных отрезках АК и С23 имеем соответственно х' = у > О и х' = у < О, поэтому через них траектории входят в К. Угловые коэффициенты отрезков ВС и ЕК равны -(- ь), а на траекториях, пересекающих эти отрезки, ф = -Й+— „(у). у Здесь 1у! < Ь, У'(у) ограничено.
Вмбирая К достаточно большим, мы увеличива- А ем ~х~ и делаем Я < -~„ц. Тогда траектории через эти отрезки будут входить В К. Таким образом, из замкнутой кольцевой области К без особых точек не вы- Я -Ь П ходит ни олма траектория системы (35). Из теоремы Бендиксона (б 17, п, 2, 5') слелует, что в Х имеется заРис. ЗО мкнутая траектория сисге- 194 й 22. Предельные циклы мы. Так как доказательство теоремы Бендиксона не приводилось, дадим для данного случая короткое доказательство. Рассматривая знак х' при у < 0 и р ) 0 и знак р' на полуосях оси Ох, видим, что траектория из любой точки (х, 0) отрезка МС при возрастании 1 делает оборот вокруг точки (О, 0) и возвращается на МС в точку (р(х), 0).
Так как 2' Е С', то различные траектории не имеют обцщх точек, поэтому функция Р(х) возрастающая, и в каждую точку отрезка [р(хм), р(х .)) (хн — абсцисса точки М и т. п.) приходит одна траектория из какой-то точки отрезка МС. Значит, функция р(х) возрастает и не имеет скачков, поэтому непрерывна. Так как р(х)-х > 0 при х =х и Р(х)-х< 0 при х = х „то найдется такая'точка х, 6 [х, хс), что р(х,) = х,. Траектория, выходящая из точки (х„О), — замкнутая линия. Решение системы (35) с начальнмми условиями х(0) = х„р(0) = 0— периодическое. [4Д Более подробно о предельных циклах см. [7) „б 28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
