Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Чаше удается решить систему путем отыскания интегрируемых комбинаций. Интегрируемая каибинация — это или комбинация уравнений системы, содержащая только две переменные 219 Глава 5. Дифференцируемоппь решения по пгшаиепру Пример б. Найти решения системы ~Ь ~1у Их 1 х у аз+уз+я 1 ! (41) 1 Решение примера. Две первые дроби дают интегрируемую комбинацию г1х/х = ф/у. Отсюда у = с,х. Далее можно или исключить у из системы, подставив у = с х, или искать вторую интегрируеиую комбинацию, Первый путь дает <1х <Ь <Ь ь — — — =х(1+с,)+-.
а хз+,хз+л' Ых ' х Это уравнение — линейное относительно я. Решая его, получаем х = сзх + (1 + с',)хз. Это Равенство вместе с У = с,х дает решения системы, не лежащие в плоскости х = О. Если же х = О, то из равенства двух последних дробей в (41) имееи г — =у+-, л=г у+у (х=О). (42) 1у у' Если же искать вторую интегрируемую комбинацию. то удобно использовать известное свойство равных дробей: а, аз а„ а, + аз + ... + а„ а, если — = — = ... = — ", то о, о * Ь„ ' Ь, + оз + ...
+ й„ Ь, (величины а; и Ьг можно умножмть на одно и то же й;). 220 величины и представляющая собой дифференциальное уравнение, которое можно решить, или такая комбинация, обе части которой являются полными дифференциалами. Из каждой интегрируеиой комбинации получается первый интеграл ллнной системы. При исключении неизвестных из данной системы с помощью первых интегралов порядок производных не повышается. й уб.
Уравнения с чаапными производными первого порядка В данном примере можно написать, стараясь получить полный дифференцишь бх 2х Нх 2у Ну Нх Нх — 2х Нх — 2у бу х 2хт 2ут ' х+ хт+уз х — хз — уз Последняя дробь есть полный дифференциал. Она равна первой дроби Их/х. Это — интегрируемая комбинация. Из нее получаен еще один первый интеграл х — х~ -уз (43) Этот первый интеграл и ранее полученный у/х = с, независимы, так как в (43) входит х, а в ранее полученный — не входит. Формулы (43) и у/х = с, дают решение системы (41) при х „-а О. При х = 0 имеем еще решение (42). л ! Задачи дяя упрожненийг (12), $ 19, )В 114б-1160.
5 2б. Уравнения с частными производными первого порядка 1. Рассмотрим линейное однородное уравнение П дх дх а — +...+а — =О, !Д '' кд 1 ч (44) 221 Такие уравнения рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений потому, что их решение сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными более высокого порядка рассматриваются в отдельном курсе. Глава 5.
Дифференцируеиость решения по тграметру где л(х„... „х„) — искомая функция, а а„..., а„— известные функции от х,,...,х„. Считаем, что а; Е С (1 = 1,...,п), а, + ... + а„ зь О. Доказтпеяьство. Любой первый интеграл о системы (45) удовлетворяет уравнению (32), где теперь |, = аг (ь = 1,..., и). По условию де/М вз О, поэтому (32) совпадает с (44). Обратно, если функция я Е С удовлетворяет уравнению (44), то полная производная от я в силу системы (45) равна левой части (44), значит, равна нулю. Тогда функция я постоянна вдоль решений системы (45) и является ее первым интегралом. Дояазатеяьство. Функции е, постоянны вдоль траекторий системы (45), то есть вдоль решений системы (46). Поэтому е, — первые интегралы для (46).
Первые интегралы 222 $26. Уравнения с чаппными производными первого порядка удовлепюряют уравнению (32), то есть в нашем случае е — +... + е — = О. де, де, 'ди "' "Ве (47) ! в Первые интецзалы системы (46) независимы, если ранг матрицы А = (Ю,/дну); ь „, ~, равен и — 1, а для систез=з„...п мы (45) независимы, если ранг матрицы А, равен и — 1. Матрица А, получается добавлением к А столбца де,./де, (1 = 1,..., в- 1). Так как а, ,-Е О, то в силу (47) этот столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы А.
Поэтому ранги матриц А и А, совпадают (ранг матрицы— число линейно независимых столбцов), и из независимости е„..., е„для системы (45) следует нх независимость и для системы (чб). Доказипеяьопво. При любой Р Е С' функция (48) постоянна вдоль решения системы (45), поэтому является ее первым интегралом. По теореме 8 функция я — решение уравнения (44). Обратно, если функция я — решение уравнения (44) и а, (М) ~ О, то по теореме 8 она является первым интегралом 223 Глава 5.
Дифференцируаиость решения по периметру систем (45) и (46). Тогда по теореме 6, примененной к системе (46), найдется такая функция Р б С', по в окрестности точки М имеем равенство (48), где и,,..., и„, — независимые первые интегралы системы (46) или (45), зто все равно по лемме 3. Если же а,(М) = О, а (М) ьь О, то изменим нумайацию так, чтобы а,(М) ~ О. 2.
авазияинейньгм называется уравнение П д» д» а,— +...+а„— =Ь, (49) 'дх, "дх„ где а,,...,а„, Ь вЂ” функции класса С' от переменных х„..., х„, » в области Р; считаем, что аг+... +а~ гь О в Р. Уравнение (49) связано с автономной системой уравнений г х, = а<(х„..., и„, ») (ь = 1,..., и), »' = Ь(х,,..., х„, »), (50) Здесь х', = ах,/гй и т.п. Траектории системы (50) в пространстве х„..., х„, » — это линии, называемые характеристиками уравнения (49), а решение уравнения (49) изображается п-мерной поверхностью» =,Г'(х,,..., х„). Считаем, что у 6 С' в области Рь С Ж", а точки (х,,..., х„, ») С Р С К"+'.
Доказательство. Если линия — характеристика, лежащая на поверхности, то в каждой точке линии вектор (/",,,...,~,',-1) нормали к поверхности ортогонален касательному к этой Я 26. Уравнения с чоапными производными первово порядки линии вектору (а„...,а„,Ь). Их скалярное произведение равно нулю: а, 1",, +... + а„~", — Ь. 1 = О. (51) Если через каждую точку поверхности проходит такая линия, то это равенство выполнено на всей поверхности, то есть поверхносп я = У(х,,..., х„) удовлетворяет уравнению (49). Обратно, если поверхность Р(в = у(х,, ..., х„)) удовлепюряет уравнению (49), то в каждой точке поверхности выполнено (51), то есть вектор (а,..., а„, Ь) ортогонален нормали к поверхности, значит, касается поверхности. Таким образом, на поверхности Р определено поле касательных векторов.
Покажем, что через произвольную точку М(х,,..., х„, яв) Е Р проходит лежащая на Р траектория этого векторного поля. В области С вЂ” проекции поверхности Р на плоскость х,,..., х„— рассмотрим систему х', = а,(хн..., х„, ~(хр..., х„)), в = 1,..., и. (52) Через точку (х1е,..., хнв) Е С проходит решение х, = х,(Ф), ..., х„= х„($) этой системы. Линия Ъ х, =х,($),...,х„=х„(8), «=у(х,($),...,х„($)) лежит на поверхности Р(я =,г(х„...,х„)) и проходит через точку М, Покажем, что б — характеристика. Первым и уравнениям системы (50) она удовлетворяет в силу (52) и равенства я = У(х„..., х„) на Р.
Далее, в ($) = ~1, — х; = ~~1, а~(х„..., х„, у(х,,..., х„)) —. Поверхность я = у(х,,...,х„) удовлетворяет уравнению (49), поэтому последняя сумма равна Ь(х,,..., х„, в). Итак, 22$ Глава Я. Дифференцируемоавь решения ло яаранетру линия Ь удовлетворяет и последнему уравнению системы (50), то есп является характеристикой. ди! Доназшнаяьаяво.
По свойству первого интеграла — ~ = О, И ~(50 то есть ди ди ди а1 — +... + о„— + Ь вЂ” = О. 1дз1 '" Вдх„д» (53) Для неявной функции я(х„..., х„) в окрестности точки Ы дя ди /ди дх, дх;/ дх Поэтому, деля равенство (53) на -ди/дя, получаем, по эта неявная функция удовлетворяет уравнению (49). ° 226 Я Яб. Уравнения с чаапныни произеодныни первого порядка (56) обозначим хг = р,.(а,; с,..., с„,) (1 = 2,..., и), (57) л = р„,(я„см..., с„,).
При я, = явн с, = ии (1 = 2,...,и), с „= О в (57) получаем точку М. В этой точке якобиан аег(д1р./дс ). = 1 в силу (56). В некоторой окрестности точки М систему (57) по теореме о неявных функциях можно разрешить относительно с,..., с„,: сг = мг(в,,..., х„, х), 1 = 2,..., и+ 1. (58) Как в доказательстве теоремы 4 показывается, что функции и, — первые 'интегралы системы (55). Поверхность и„+,(х,,..., х,, «) = О совпадает с данной поверхностью х = у(и„..., х ), так как они обе состоят из характеристик — решений системы (55) с начальными условиями (56), где с, = О. По теореме 6 найдется такая функция я' Е С', что ге„+, = Р(е„..., е„). Здесь е,,..., ив 227 ° ааааааааа~ Дсяазовельстео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
