Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (2007) (1135789), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Асимлтотические методы решения е, = -Т. ПоДставлЯл это в (17), нахоДим о = тй + ч1. Итак, ! р $з 2/1 х(Ф) = 1 — 3з — + 3и ~ — + — ) + о(3з~). (18) 2 ~,121 24) Так как условия теоремы 2 выполнены для любого из ) )2, то следующий член разложения имеет вид 3з~о (Ф) и, не находя е, в (18) вместо о(3з~) можно нависать 0(3з~). ! Задачи для улражненид: (12], 8 18, 38 1074-1078. [ 3.) Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2 и теорема 3 дают условия сущеспювания периодических решений соответственно для линейной системы с периодической правой частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и указывают методы отыскания таких решений. Доказательство.
Так как х,'„(р) = 3'(р,х(р)) = У(О,х(0)) = х'„ (О), то продолженная с периодом р функция х($) б С . Она всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого Й Е Е имеем х'(1 + 3ср) = х'(Ф) = 3(Ф, х(1)) = У (Ф + йр, х(1 + 3ср)) . ° 205 Глава 5. Диффврвнцирувмость решения по параметру Условие (19) называется условием отсутствия резонанса. Доназхпвяьство. Пусть «(1)' — частное решение данной системы с «(0) = О. В силу теоремы 5 $9 н следствия 1 $15 общее решение имеет вид х = е'"Ь+ «($), где Ь вЂ” произвольный вектор из Ж". Чтобы это решение имело период р, по лемме 1 надо, чтобы х(р) = х(0). То есть евЯЬ+ «(р) ж Ь+ «(0), (евл — 8)Ь = -«(р). Это — линейная алгебраическая система относительно неизвестных координат вектора Ь.
Для сущеспювания единственного решения достаточно, чтобы бег (е'"~ — 1 ° Л) ~ О, то есть чтобы матрица ев" не имела собственных значений, равных 1. Если Л„..., ˄— собственные значения матрицы А, то согласно замечанию в 9 15 ев' имеет собственные значения е"'Ь, з = 1,...,п. Для А = а+,Я имеем ев" = ев (соарб+Ьв1прб). Это число равно 1 только в случае а = О, рф = 2яй, Ь = О, Ы, х2,.... Поэтому при условии (19) имеем его ~ 1. Теорема 3. Пусть функции у(1), у($, х, р) непрерывны при х Е й", ($,х) Е Р, 1ф ( р,, имеют период р по $1 р Е С~ по 206 в 24.
Асимлтот«ческие методы решения Доказательство. Пусть х(1; Ь, р) — решение системы (20) с начальным условием х(0; р) = Ь. По лемме 1 оно будет иметь период р, если х(р; Ь, р) — Ь = О. (21) Докажем, что при малых и существует Ь Е Ж", удовлетворяющее уравнению (21). Функция х(р; Ь, р) Е С~ по Ь, р в силу теоремы 2. При р = 0 уравнение (20) линейное, как в лемме 2, уравнение (21) принимает вид (ег" — Е)Ь= -и(р), бес(ее — Е) уЕО (22) и имеет единственное решение Ь.
Далее, яксбиан левой части равенства (21) по координатам Ь„..., Ь„вектора Ь при р = 0 совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю. Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при достаточно мааых р имеет решение Ь = Ь(р), стремящееся к Ье при р- О, такое решение единственно и Ь(р) Е С .
Тогда решение х(с; Ь(и), р) Е С"' по ~и, и в силу (21) и леммы 1 имеет период р. 207 Глава д. Дофференцируеносшь решения ло ларанелгру Доназалгельство. Решение х(1, Ь(1и), и) Е С по и, поэтому имеет разложение вида (12). Следовательно, х(Ф+р,Ь(р),р,) -х(й,Ь(р),р) = =а,+агр+...+11 и™+ (и"), (23) где а1 = «,(й+р)-«1(й), 1 = 0,1,..., гн. В силу периодичности решения левая часть в (23) равна нулю, поэтому все 11, = О, то есть «;(1+р) вэ «,.(1). Замечание. Пусть дано уравнение урф + а у1" О +... + а у = ~(Ф) + рд(й, у, р) (24) с постоянными коэффициентами а; и непрерывными функциями у, д периода р по Ю и д Е С'" по у, и, а корни Л характеристического уравнения удовлетворяют условию (19).
Тогда для отыскания решения периода р не нужно переходить от уравненмя (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12), где теперь «1(й) — скалярные функции с периодом р. Пример 3. Найти сточностью о(р2) периодическое решение 1 1 уравнения и 2 ! х" + Зх = 2 вй21+,их . (25) 1 Решение примера. Здесь р = 21г, Л2 + 3 = О, Л = Ы«'3 ~ 2нйт/р = Ы (й Е Е), условие (19) выполнено.
Ищем периодическое решение в виде х = «в+ р«1+ р «2+.... Подставляя 2 в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему уравнений и н 2 и «е + 3«в — — 2Я1пс, «, + 3«1 — — «е, «2 + 3«2 — — 2«е«„.... 208 в 24. Асимплюглические мешоды решения Надо найти решения е, е,, е с периодом 21г. Для каждого из этих уравнений надо найти лишь частное решение (методом неопределенных коэффициентов), так как по теорене 3 при выполнении условия (19) решение с периодом р единственно.
Последовательно находим е = япФ; е",+ Зе, = яп~1 = 1/2 — 1/2соа28, е, = 1/6+ 1/2сов2$. Подставлял ее и е, в уравнение для еш имеем /1 1 т 1. 1 ез + Зе = 2 яп1 ~- + — соа 24/ = -- яп $ + — яп 3$. 1,б 2 / б Отсюда находим 1 . 1 е =- — вше — — яа3$. 12 12 Следовательно, 2 1 ° 1 ° 2 х = вп11+р~-+- сов21~+р ~- — яп1- — вш ЗФ(+о(р ). ~б 2 / 1, 12 12 Как в прииере 2, вместо о(р~) можно написать 0(р~). ° ~4Д К системе вида (20) сводится задача о вынужденных колебаниях автономной системы вблизи положения равновесия, вызываемых периодическим малым внешним воздействием. Рассмотрим систему х' = Р(х) + и/($), У($+ р) ш У(Ф), х = (хн..., х„)~. (2б) Пусть х — положение равновесия при ~ы = О, то есть Р(х ) = О; ~и — малое число, функция /(1) непрерывна, Р(х) Е С~+' (пг ) 1) в окрестности точки хе.
Замена х = хе + рр дает рр' = Р(хе+ рр) + ~и/(1). Так как Р(хе) = О, то по формуле Тейлора о / ру (хе) ~1 Р(х + рр) = рАр + т(/х, р), А = ~ — ' ° „у к...м Глава 5. Дифференцируемослгь решения по ларамеглру Остаточный член г Е С +! (ибо другие члены в равенстве принадлежат С~+'), г = р~у(р, р).
Получаем систему вида (20) р'=Ар+з($)+ру(р,р), уЕС . (27) Пример 4. Рассмотрим уравнение г 1 х" +2х'+х -1 = ргвшс (х Е И ). (28) г Решение примера. При П = 0 положения равновесия х, = 1 и х = -1. Найдем периодическое решение, близкое к х = 1. Замена х = 1 + Пу дает р" + 29'+ 29 = вш1 — рр .
(29) Здесь р = 2я, Л = -1 х з ~ 2аИ/р (и Е Е), условие (19) выполнено. Позтому при малых р уравнение (29) имеет решение периода 2« и вида у = «е(Ф) + ~и«,(Ф) +..., где все «з(Ф) имеют период 21г. Подставляя зто в (29), полу~аем, как в примере 3, л у и г з «о+2«о+2«е = вше «г +2«г+2«г = "о Отсюда находим «е = асоа$+ Ьвш$, е = -2/5; Ь = 1/5; «з = 1/10+3/50ссм2$-2/25ип2$, «, =Д+ссоа21+Изш2$, Ь = -1/20, с = -1/100, И = -1/50 и т.
д, Следовательно, / 2 '1 * ш 1+ рр = 1+ и ! - - Сов $ + — вшз + 5 5 гг з +П ~- — — — соа2$ — — вш21~+О(рг ). (30) 20 100 50 210 Если собственные значения матрицы А удовлепюряют усло- вию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при достаточно малых !и! имеет решение с периодом р. Я 24. Асимпгпогпичесние методы решения Уравнение (28) при малых р имеет и другое решение с периодои 2я. Оно близко к неустойчивому положению равновесия хт — — -1 и отыскивается аналогичным способом.
Иожно доказать, что оно неустойчиво. ! Задачи для упражнений: [12), ф 18, гй 1079-1083. [] Б. Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по степеням параметра р, полученные в следствиях теорем 2 и 3, можно продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящегося к искомому решению при малых р. Этот вопрос решается с помощью теоремы Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13], гл. 1, $6, теорема 1.3 и [2), гл.б, 6 2, теорема 6.2. 1' и $3, п.!. 0 методах исследования устойчивости периодических решений, получаемых методом малого параметра, см.
[2), гл. 7, 83 и [33), гл. 3, $10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устойчивкть периодического решения при достаточно малых [р] обеспечена, если для матрицы А все собственные значения Л, имеют Ке Л, < О, а неустойчивость — если есть хотя бы одно Ке Л, > О. Поэтому в примере 4 при малых р решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое решение, близкое к х = -1 (лля него Л = -1 ж за), — неустойчиво. Метод отыскания периодических решений при резонансе,'то есть когда условие (19) не выполнено, изложен в [13], гл.
2, $8, пункты 2 и 3; примеры там же; в [2], гл. 5, 5 3, п. 2 и в [33), гл. 2, 96, 7. Об отыскании периодических решений автономной системы х' = Ах + ру(а, р) в случае, когда при р = 0 периодическое решение известно, см. [13], гл.2, 68, пункт 4; [2], гл.5, 93, п.3 и [33], гл.2, $11-13. Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач, в частности, в [33), главы 4-8.
Методы последовательных приближений дхя уравнений с малым параметром разработаны в [24]. 211 Глава э. Дпффвренцируеноппь решения ло ларанелтру Существенно отличным от предыдущих является случай, когда малый параметр является множителем при производной, например, рх =у(п,у), у =у(в,у). Здесь нет непрерывной зависимости от р прп р — О, и решения имеют другие свойства, см., например, [13], гл.4, 06 и [15], гл. 10, $3,4. Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи. ~е 46 5 25.
Первые интегралы Первые интегралы применяются при исследовании и решении систем дифференциальных уравнений. Знание одного первого интеграла позволяет уменьшить число неизвестных функций в данной системе, Знание п независимых первых интегралов системы эт = Л(г,эы ° ",Фв), $= 1," °,Ф Я,*„.... и„) б Ре. ~„..., ~„б С') (31) позволяет получить решение этой системы без интегрирования. В прикладных задачах первые интегралы часто имеют физический смысл: закон сохранения энергии, закон сохранения количества движения — это первые интегралы уравнений движения механической системы. ~11.] ттервым интегралом системы (31) в области Р С Р называется функция «(1, х„..., хв) Е С, сохраняющая постоянное значение вдоль каждой проходящей в Р интегральной кривой системы.
(Иногда первым интегралом называют не функцию «(1, х„..., х„), а соотношение «($, х„..., х„) = с, где с — произвольная постоянная.) 212 Я 25. Первые инвегралы Геометрический смысл первого интеграла. Пусть де/юг ~ О для некоторого,1 и с — любое из значений, принимаемых функцией е в области 23.
Тогда равенство е($, а„...,а„) = с определяет в пространстве $, х„..., х„п-мерную поверхность, целиком состоящую из интегральных кривых системы (31). То есп через каждую точку поверхности проходит интегральная кривая, лежащая на поверхности. Докажем это. Пусть точка р лежит на поверхности е = с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
