Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Следовательно, зто слагаемое является правильной рациональной дробью. Выберем действительные числа М и Ф так, чтобы многочлеи Р„,(х) — (Мх+Ф)Я„г»(х) делился на хг+рх+д. Для этого достаточно, чтобы комплексное число х = а+ ~% (~3 ф 0) было корнем уравнения Р (х) — (Мх+У)Я„г»(х) =О, где М, Ф Е В и одновременно не обращаются в нуль, а Р~(х)— многочлен степени ! < и — 1, т.е. рациональная дробь г.э. Разложение арааааьыой рационвлыиой дроби ие простейиие 67 т,е.
Руп(х) — (М(о+ф$)+Ф)Ял-гь(х) =О. (222) гогда и сопряженное х комплексное число У= а — юг также будет корнем этого уравнения. Поэтому многочлен Р (х)— (Мх+Ф)Я„-гь(х) делится на хг+рх+д= (х — х)(х-х). Из (2.22) следует, что М(а+ Я+ Ф = = К+ И, Ртл (х) Ч -гь(х) где К и Ь вЂ” некоторые действительные числа. Приравнивая и этом равенстве действительные и мнимые части, получаем Да+У=К и М5= Ь.
Отсюда М= Ц9 и У= К вЂ” ай(~3 причем М и Ж одновременно не обращаются в нуль, так как в противном случае Р (х) = О, что противоречит условию теоремы. При таком выборе М и У второе слагаемое в правой части (2.21) можно сократить на хг+ рх+ е, записав его в виде Р (х) — (Мх+Х)Я„гь(~) Р1(х) (хг+ рх+ у)" я„гь(х) (хг+рх+ у)ь-1ц„гь(х) ' "де Й(х) = (Р,(х) — (Мх+ Ф)Я„гь(х))/(хг+ рх+ д).
Раци- ональная дробь в правой части (2.23) получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффици- ентами на множитель х +рх+е, где р и е — действительные числа, и поэтому является правильной рациональной дробью с действительными к<юффициентами. Подставляя (2.23) в (2.21), получаем требуемое (2.20). ~ Замечание 2.3. К правильной рациональной дроби в пре вой части (2.23) при и > 1 можно вновь применить теорему 2.2 и вместо (2.20) в итоге записать Р„(х) Мх+ У Мгх+ У1 9~(х) (хг+рх+у)" (хг+рх+у)» 1 + + ° "+ Мь 1х+Уь 1 Р,(х) хг+ рх+ е я„гь(х) ' 68 2.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ где Р,(х)Щ„зь(х) — несократимая правильная рациональная дробь (см. замечание 2.1). Если многочлен Я„зь(х) имеет другие комплексные нули, то к этой дроби также применима теорема 2.2. ))1 Любой многочлен Я„(х) степени и с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения сомножителей вида (х-п,)ь" (г=1,1) и (хз+р х+уу)!! (!=1,,7). Эдесь а, — действительный нуль этого многочлена кратности й„а хз+р;х+д =(х — х)(х — у), где х и у — его комплексно сопряженные нули кратности ( .
При этом общее число нулей с учетом их кратности должно быть равно а, т.е. 1 л ~ й,+2~(,= . гю! у=! Тогда, объединяя утверждения теорем 2.1 и 2.2, с учетом замечаний 2.1 и 2.3 можно заключить, что несократимую правильную рациональную дробь можно разложить на простейшие рациональные дроби следующим образом: Р и А(!) А( ) А ив (*) + ' +".+ — ! — +" + Я„(х) (х — а!)~! (х — а!)"! ! х — а! А(") А(') А~'~ ! А(~) + (х — а,)"' (х — а,)ь ! х — а„(х — а1)ь! А( ) А), ! М(!)х+Ж(!) М( )х+Ф( ) (х-а!)ь! ! х-а! (х~+р!х+д!))! (хз+р!х+д!))1-! *'-~в*+в '" (~'м*~е)" (*'~в*>е)" ' М! !х+Ф! ! М(!)х+))((!) ()) (1) хз+р х+!й (хз+р!хая~~ М, *~-Ж, ( 1*+ (4 (4 м"~, м"~ (*'Чз <-иУ' ' "' *'+и <-и ' л.з. Рлзлолтонне нраннльной раннональной дроби на нростейшне 69 1Зсе и козффициеытов в (2.25) являются действительныны ы числами.
Для их нахождения можно использовать мекьод „определенных коэффициентпое, состоящий в следующем: авую часть (2.25) приводят к общему зыамеыателю и затем иравыивают коэффициенты при одыыаковых степенях аргувыта х у мыогочлеыов в числителях обеих частей получив„,егося равенства. При этом в числителе правой части этого р авеыства мыогочлеы будет иметь степень и — 1 что позволит 1 оставить систаему из п линейных алгебраических уравнений с и неизвестными коэффициеытами.
Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что зта система имеет решеыие при различных наборах козффыциеытов ь огочлеыа Р (х) в (2.25), т.е. пры различыых правых частях системы. Поэтому определитель матприцы ~ЯАУ будет отличен от нуля (1Ч). Отсюда следует ые только существование, ыо и единственность решения этой системы уравнений, т.е. единственность разложения (2.25) правильыой рациональной дроби ыа простейшие. Замечание 2.4. Полезно отметить, что каждому действительному нулю а, (с=1,1) кратности к, мыогочлеыа Я„(х) в разложении (2.25) соответствует серия из ровно й„простейших дробей первого и второго типов. При этом степень двучлеиа х — а, в зыамевателях слагаемых серии уменьшается от !с, до 1.
Паре комплексно сопряженных нулей кратности ! много- члена Я„(х) соответствует серия из 1 дробей третьего и четвертого типов также с уменьшающимся ва единицу (ыачииая с !1) показателем степени трехчлеыа х~+рх+ а в знаменателях ДРобей. Пример 2.3. а. Разложим ыа простейшие правильыую рацыоыальыую дробь (Зх~+ 4)/(х(х — 1) (х+ 2)), знаменатель кот~рой имеет три простых корня а1=0, аз =1 и аз=-2.
Ее разложеыие иа простейшие дробы, согласно (2.25), имеет вид Зхз+4 А В С + + . (2.26) х(х — 1)(х+ 2) х х — 1 х+ 2 70 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ После приведения правой части (2.26) к общему знаменателю получим Зх +4=А(х — 1)(х+2)+Вх(х+2)+Сх(х — 1). (2.27) Раскрывая скобки в правой части (2.27), запишем Зх~+4 = (А+ В+С)х + (А+2 — С)х — 2А.
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе трех уравнений А+ В +С = 3, А+2 — С = О, -2А =4 с тремя неизвестными. Из третьего уравнения находвм А= = -2. Складывая все три уравнения, получаем ЗВ = 7, откуда В = 7/3. Подставляя иайдеипые значения А и В в первое уравнение, вычисляем С=3 — А-В =8/3. В итоге, согласно (2.26), раэложепие исходной дроби иа простейшие принимает вид Зхэ+4 2 7 8 х(х — 1)(х+2) х 3(х — 1) З(х+2)* В дивном случае пеизвестиые коэффициенты в (2.26) можно найти более простым путем. Последовательно приравияем в (2.27) х значениям действительных нулей знамевателя задаыиой рациональной дроби. При х = 0 сразу получим -2А = 4, т.е.
А=-2. Затем положим в (2.27) х=1 и получим ЗВ=7, откуда В = 7/3. Наконец, подставим в (2.27) х = -2 и вз равенства 6С=16 найдем С=8/3. Последний способ нахождения коэффициентов особенно эффективен, когда знаменатель рациональной дроби имеет простые действительвые нули. В общем случае полезно сочетат~ оба рассмотренных способа, 2.3. Раэлодсеиие праиидаиой рапиаиаааиой дроби иа простейшие 71 б. Разложение дроби (2х2+ 1)/[(х — 1)2(х2+ 1)] на простейшие, согласно (2.25), имеет вид 2хг+1 А В Мх+ Ф (х — 1)2(х2 + 1) х — 1 (х — 1)2 х2 + 1 + + . (2.28) После приведения правой части к общему знаменателю получим 2хз+1 = А(х — 1) (х2+ 1)+ В(х2+1)+ (Мх+ Ф) (х — 1)2. (2.29) Подставив в (2.29) х = 1, найдем В = 3/2.
Далее, приравнивая в (2.29) козффицивнты при одинаковых степенях х, получаем систему четырех уравнений .з А +М =О, -А+ — 2М+ Фш2, х А + М вЂ” 2Ф=О, хо -А+В + Фш1 с тремя неизвестными (поскольку козффнциеят В уже найден). Из первого и третьего уравнений видно, что У=О. Из последнего уравнения находим А = В+ Ф вЂ” 1 = 1/2, а затем из первого уравнения определяем М=-А=-1/2. В итоге, согласно (2.28), имеем 1 3 х (х — 1)2(х2+ 1) 2(х — 1) 2(х — 1)2 2(х2+ 1) Если знаменатель рациональной дроби имеет кратные нули, то для нахождения козффициентов разложения целесообразно использовать сочетание описанных способов с дифференцированием равенства числителей после приведения слагаемык раздо женил к общему знаменателю. 72 г.
ИНтНП*ИРовлНИН рлцноилльНЫХ дРОННИ Пример 2.4. Найдем коэффициенты в разложении правильной рациональной дроби 1 А В (х+ 1)(х+ 2)г(х+ 3)з х+ 1 (х+ 2)г + + + С х+ 2 (х+ З)з (х+ 3)г х+ 3 После приведения правой части этого равенства к общему знаменателю получим 1 А(х+2)г(х+3)э+В(х+1)(х+3) + + В1 (х+ 1)(х+ 2) (х+ 3)з+ С(х+ 1) (х+ 2)г+ + С1 (х + 1) (х+ 2) г(х + 3) + Сг(х+ 1) (х+ 2) г(х+ 3) г. (2.30) О = (В(х+ З)'+ В(х+ цз(х+ з)'+ В, (х+ ц(х+ 3)'Я. при х=-3 0= (С(х+2) +С(х+1)2(х+2)+Сг(х+1)(х+2) )~ Отсюда, учитывая, что В=-1 и С=-1/2, соответственно получим и О = -1/2 — 2 — 2С1 0=-1+З-В или В1 —— 2 и С1 — — -5/4.
Для нахождения коэффициента Сг следует дважды продифференцировать (2.30) по х, приняв затем х=-3: 0 = (2С(х + 2) + 2С(х + 2) + 2С(х + 1) + 2С1 (х + 2) + + 2С1(х+ 1)2(х+ 2) + 2Сг(х+ 1)(х+ 2) ) ~ Последовательно полагая, что х = -1, х = -2 и х = -3, находим А = 1/8, В = -1 и С = -1/2. Дифференцируя (2.30) по х, выпишем справа лишь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х=-2 2.4. Интегрирование дробно-рационааьных функций 73 Отсюда с учетом значений С = -1/2 и С1 — — -5/4 найдем 1 + 1 + 2 — 5/2 — 10 — 4Сг, т.е.
Сг = -17/8. Кадо сказать, что каждое последующее дифференцироваие равенств вида (2.30) приводит к довольно громоздким выажениям. В данном случае Сг проще найти, приравняв в (2.30) коэффициенты при старшей (пятой) степени аргумента х: О= А+ В1+Сг. Отсюда Сг = -А — В1 —— -1/8 — 2= -17/8 Ц некоторых случаях разложение правильной рациональной дроби на простейшие удается получить, не используя (2.25) и не прибегая к методу неопределенных коэффициентов.
Пример 2.5. Для разложения рациональной дроби 1 У(х) = .2(,г+1)2 на сумму простейших дробей проще всего провести тождественные преобразования в числителе добавлением и вычитанием хг: 1 (х2+ 1) — хг 1 1 хг(хг+1)г хг(хг+1)2 хг(хг+ ц (хг+1)2 (х2+1) — х2 1 1 1 1 хг(хг+ 1) (хг+ 1)г хг хг+ 1 (хг+ 1)2 в итоге исходная рациональная дробь представлена алгебраи- ческой суммой простейших рациональных дробей.
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций Согласно (2.2), любую дробно-роционадьную функцию /(х) = Ро(х)/Я„(х), где Р,„(х) н Я„(х) — миогочлены с действитель ельными коэффициентами степени т) 0 н и) 0 соответтвенио, в общем случае можно представить суммой некоторого 74 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ многочлеиа Р (х) (если ж > и) и правильной рациональ. ной дроби. В свою очередь, в силу (2.25) эту дробь можно разложить яа простпейшие.
Многочлен Р „(х) определен яа всей числовой прямой Й и его интегрирование яе представляет трудностей. Неопределенные «м~пегралы от простейших рациональных дробей, рассмотренные в 2.2, могут быть выра жены через дробно-рациональные функции, логарифмическую и обрао1ную пьригонометприческую, а именно через арнтпангенс, т.е. неопределенный интеграл от любой рациональной дроби представим элементарными функциями. Итак, интегрирование любой дробно-рациовальиой функции состоит из следующих этапов: 1) выделеиве из иее целой рациональной функции — мяогочлеиа (ои может быть нулевым) и правильной рациональной дроби; 2) разложеиие правильной рациональной дроби яа простейшие; 3) вахождеиие иеопределенвых интегралов от миогочлеиа я полученных простейших дробей.
Рассмотрим эти этапы подробнее яа нескольких характериых примерах. Пример 2.Е. Найдем интеграл от неправильной рациональной дроби (хв+х)/(хз — 1). Преобразуем ее числитель так, чтобы в ием можно было выделить слагаемое, кратное зиамеиателю и включающее старшую степень аргумента х: 4+х х(хз 1+1)+х х(хз 1)+2х 2 ,з 1 ,з 1 з 1 з — х+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
