Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2 2а а Здесь использованы табличные интегралы 2 и 13. Возвращаясь к исходному переменному х, в итоге для дроби третьего типа получаем Г дх = — 1п ((х — р|2)г+ ~ ргЯ+ хг+ рх+ у 2 2Ф вЂ” Мр х+р/2 + агсгб +С= 2ррр-рр/4 446-р~/4 М г = — 16(444.Р Рр(Р ~46 Р . (. ( 2К™р 2*Рр С. 26 2 4/46-рр 4/44 — рр Аналогичным образом преобразуем неон ределенныи интеграл от дроби четвертого типа: | ( г+ + )ь * | (рг+аг)ь 4- (К вЂ” — ) | . (2.2( Для вычисления первого из неопределенных интегралов справа используем интпегрироеание подведением под знак двфференци- 2.2. Интетраам от простейших рационолыюмх дробей 59 ада и табличный интеграл 1: | / ~С(С +о ) 1 ((Сг+ 2)-» ~(С2+ 2) (С2+ог)» 2 / (Сг+о2)» 2 / +с 1 2(-1+1) 2(Й-1)(С2+аг)» с 3озврап1аясь к переменному х, получаем | — „, + С.
(2.8) (Сг+ аг)» 2(х — 1)(хг+ рх+9)»-1 й 1 С" агй 1 ~ (Сг+аг) -Сг ,/ (Сг+аг)» аг,/ (Сг+аг)» аг,/ (Сг+аг)» — / . (2.9) (Сг+ ог)»-1 ог с (Сг+ ог)» Первыи интеграл в правой части (2.9) представляет собой 7» 1, а второй интеграл вычислим интегрированием оо частям: к=С, Ни =й Сй -1 (Во+ ог)х ' 2(» 1)(С2+аг)»-1 Сг,РС (С2+ о2)» г+аг "-' 2 и — 1 ./ Сг+а + 2(» 1)(С ) ( ) ( г)»-1 1 + «(Сг+ ог)»-1 2(ь 1) Подставляя это выражение в (2.9), получаем 1 1 аг 2аг(Й вЂ” 1)(С2+ аг)» 1 2ог(й — 1) Обозначим через 7» второй интеграл в правой части (2.7). г Умножим и разделим его подынтегральную функцию на а, затем добавим и вычтем в числителе С и, наконец, разложим 2 полученный интеграл на два: 60 з.интигрировлниирлционлльныхдровей 2 -3 1 (2.10) 2ег(й 1)(Р4.ез)»-~ 2дг(й 1)»-' при помощи которого последовательно, используя табличный интеграл 13 Г й 1 Ф 1~ — — / — = -агс18-+С, / ч.
можно найти 1з, затем по 1з найти Ез и т.д. вплоть до искомого интеграла 1». Переходя в (2.10) к переменному х и исходным параметрам, запишем 2(2х — 3) 1 2х+ р (4д — рз)(й — 1)(хз+рх+0)» ~ (4д — рз)(й — 1) Подставляя в (2.7) последнее соотношение и (2.8), для интегра- ла от дроби четвертого типа получаем | Мх+ У М (хз+рх+д)» 2(й — 1)(хз+рх+у)»» (" ) рМ~ 2х+ р 2 / (4е — рз) (й — 1) (хз ~- рх ~- д)»-~ +(М- — 1 1 * .
(2.11) рМ~ 2(2Й вЂ” 3) | <Ь 2 ~ (4е — рз) (й — 1),/ (хз + рх + е)»-~ ' Итак, неопределенный интеграл от простейшей дроби четвертого типа можно выразить через злементарные функции, а именно через правильные рациональные дроби н арктангенс (при условии Ф-рМ/2~0). Пример 2.2. Найдем неопределенный интеграл от функции у(х) = (хг 4 2х 4-3)з' В итоге для вычисления неопределенного интеграла 1» прихо- дим к рекуррентному соотношению г.г. Ивтеграеы от вроетейшвх рецвовахъвых дробей 61 3на менатель этой функции имеет комплексно сопряженные г ну ли, поскольку в данном случае р = 2, е = 3 и р — 4д = - -В ( О, причем кратность нулей Й = 3.
Таким образом, дан иная функция является простейшей рациональнои дробью четвертого типа. Сначала выделим в знаменателе функции Дх) полный квадрат: х — 2 (х) г (х +2х+3) ((хг»-2х»-1) — 1»-3) ((х»-1)г»-2) Обозначив х+1= 1 (х =1 — 1, Их = Й) и использовав линей- ность неопределенного интеграла, запишем | х — 2 1' 1 — 3 П*)"* (хг».2х» 3)з * / (гг» 2)з (гг+2)3 / (гг+2)3' Первый неопределенный интеграл справа вычислим подведени- ем под знак дифференциала: Г гй 1 / д(гх+2) ) (9+2)з 2 / (Зг+2)з 4(гг+2)г+ Подынтегральную функцию во втором слагаемом правой части (2 12) умножим и разделим на 2, в числителе добавим и вычтем гг и получившийся неопределеннын интеграл разложим на два: 1 1" Рг~(1 2 / (юг+2)г 2 / (гг+2)з' 62 з. интеГРиРОВАние РАЦКОнАльных ДРОБей Последний интеграл вычислим интегрированием по частям: | (Гз+2)з -,| '(Гз+2)з -,/ ~ 4(Гз+2)з)— 1 |' 4(0+2)з 4/ (~2~2)2' Подставив это выражение в (2.14), получим Г й 1Г й г (гз+2)з 2./ (гз+2)з 8(гз+2)з (2 15) 8,| (гз+2)з 8(гз+2)з 8У (Р+2)' Повторив описанные преобразования, поиизим еще на единицу степень квадратного двучлеиа в последнем интеграле: | й 1 /' (2 + гз) — гз 1 / й (Гз+2)з 2,/ (1з+2)з 2,| 1з+2 1~ $й 1 г 1| 1й 2,/ (1з+ 2)з 2~/2 ~/2 2,/ (Гз+ 2)з 2ц/2 ~/2 2 1, 2(1з+ 2) 2,| зГзз+ 2/ 1 1 Г 1 = — агсз8 — + 2~/2 ~/2 4(гз+ 2) 41/2 ~/2 — = агсз8 — + Сз = 4~/2 ~/2 4ф+ 2) Подставив это соотношение в (2.15), запишем | й г з| е + + агсз8 — + Сз1 (гз+2)з 8(гз+2)г 8 ~4(~э+2) 4~/2 Я г,з.
Раалааеиие правильной рациональной дроби иа проетейтие 63 учетом (2.12) и (2.13) после возвращения к переменному х опчательно получим — 2 ~ 1а ~ 1.~р ~.ез * ~ ~е~цз й 1 ЗЕ / (Ег+2)з 4(Е2+2)2 8(Е2+2)2 9/ Е 1 Е + — агсЕ8 — + Сг) = 8 4(Е2+ 2) 4~/2 /2 2+ЗЕ 9Е 9 8(Ег+ 2)г 32(Е2+ 2) 32 /2 /2 Зх+5 9(х+1) 9 х+1 8(х2+ 2х+ 3) г 32(х2+ 2х+ 3) 32Я ~/2 где С = Сг — 9С2/8. 2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие Пусть Ра(х)/Я„(х) — правильная рациональная дробь, т.е.
Р„(х) и Щх) — многочлены с действительными кмффициеитамисоответственностепени пг и п, причем гп<п. Будем считать, что зти многочлены ~е имеют общих нулей (иначе говоря, рассматриваемая правильнал рациональнал дробь несократима), Теорема 2.1. Если число а б И является действительным нГ«аеае нратпносгпи хб(ч" (1<й<п) многочлена ц„(х), т,е. Ча(х) =(х-а) Ч„-«(х), Я„-«(а)фб, Равильную несократимую рациональную дробь Р,„(х) Д„(х) ( ~(а) й 0) можно представить в виде Р„,(х) А Щ(х) (2 16) щх) (х-а)" (х-а)" гф, «(х) 64 э. интеГРиРОВАние РАциОнАльных дРОБей где А ч«О и Р~(х) — многочлеп степени ! < а — 1, т.е.
рациональная дробь Р~(х) (х — а)» 'Я„«(х) является правильной. ~ По условию теоремы справедливо равенство Р (х) Р (х) Я„(х) (х — а)«Я„«(х) Добавим в правую часть этого равенства слагаемые АДх — а)« (А б Й) с резвыми эиаками и преобразуем его: Р (х) Р (х) А А Я„(х) (х — а)«Ц„ «(х) (х — е)« (х — а)« А Р (х) — АЯ„ «(х) (х — а)" (х — а)«Я„«(х) В знаменателе второго слагаемого в правой части (2.17) стоит многочлен степепи и, а степень миогочлеиа в числителе этого слагаемого меньше и, поскольку и т < п, и и — и < и.
Следовательно, зто слагаемое является правильной рациональной дробью. Поскольку по условию теоремы Р,„(а);6 О и Ч„«(а) ф О, то действительное число А ф О можно выбрать так, чтобы миогочлеп Р (х) — АЯ„«(х) делился ва х — а, т.е. иэ условия Рт(е) АЯа «(а) = О. Отсюда А = Ртп(е)(Чи «(и) Ф О Пр~ таком выборе числа А второе слагаемое в правой части (2.17) можно сократить на х — а, записав его ввиде Р,„(х) — Ач„«(х) Р~(х) (х — а)«Я„«(х) (х — а)«1Я„«(х) ' где РДх) = (Р,„(х) — АЯ„«(х))/(х — а).
Рациональная дроб« в правой части (2.18) получена сокращением правильной рапи овальной дроби с действительиыми ка~ффициеитами иа мне' житель х — а, где а — действительиое число, и поэтому З.З. Разлоиеиие иравильиий раииоиалыюй дроби ив просттйшие 65 является правильной рациональной дробью с действительными «озффициентами. Подставляя (2.18) в (2.17), получаем (2.16). 1и Замечание 2.1. К правильной рациональной дроби в правой части (2.18) прн и > 1 можно вновь применить теорему 2.1 я вместо (2.16) в итоге записать Р (х) А А1 А» 1 Р,(х) »+ +...+ — + . (2.19) Ч„(х) (х-а)» (х-а)» ' х-а Я„»(х) Здесь Р,(х)Я„»(х) — несократимая правильная рациональная дробь, так как в ином случае правая часть в (2.19) после ее приведения к общему знаменателю является сократимой дробью, а зто противоречит условию теоремы.
Если многочлен Я„»(х) имеет другие действительные нули, то к последней дроби в правой части (2.19) также применима теорема 2.1. Замечание 2.2. Если нуль а многочлена Я„(х) в (2.16) является комплексным числом, то (2.16) по-прежнему остается в силе, но число А и козффициенты многочленов й(х) и ц„»(х) в таком случае, вообще говоря, будут комплекснымн. Пусть многочлен Я„(х) степени п с действительными козффициентами имеет комплексный нуль х = о+ Д (а, Д 6 В, Фч» О, 1 — миимал единица, 1з = -1) кратности й 6 (ч. Но тогда сопряженное с зтим нулем комплексное число У= а — 111 является для данного многочлена нулем той же кратности 11-44], т.е.
многочлен Я„(х) делится на многочлен ((х — х) (х — х)) = (х + рх+ б), где р = -2а и 9 = аз + рз — действительные числа. Теорема 2.2. Если комплексное число х= о+1Й ф~»0) является нулем кратности и Е Х (2 ( 2к ( и) многочлена чи(х) с действительными козффицнентами, т.е. чи(х) = (х~+ рх+ 9)~Я„з»(х), х~+ рх+ и= (х — х)(х — х), бб г. интнп'иронлнин рлционлльных дроннй причем Я„-г»(х) фО и Я„г»(У) фО, тонесократимую прави- льную рациональную дробь Рд (х) Я~~ (х) (Р~ (3) ф Оэ Р (3) ф. ф 0) можно представить в виде Р (х) Мх+Ф Р~(х) щю) (хг+ рх+ у)» (хг+ рх+ д)» 'Ч„г»(х) ' Р)(х) (хг+рх+ д)» 1я„г»(х) является правильной. ~ По условию теоремы справедливо равенство Р (х) Р„,(х) ц„(х) (хг+ рх+ ущ„г»(х) Добавим в его правую часть слагаемые (Мх+ Х) ((хг+ рх+ д)» (М, У Е Ж) с резвыми знаками и преобразуем: Р,„(х) Мх+ У Р„,(х) — (Мх+ У)Я„-г»(х) я„(х) (хг+рх+е)» (хг+ рх+ у)»я„г»(х) В знаменателе второго слагаемого в правой части (2.21) стоит многочлен степени и, а степень многочлена в числителе этого слагаемого меньше а, поскольку и т < а, и и — 21+1 < и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
