Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 5
Текст из файла (страница 5)
в. Неопределенный интеграл от функции х(2х+5)го можно свести к линейной комбинации табличных при помощи замены кя. Иытегрвроваыые подстановкой ы заменой переыеыыого 33 2х+5 =1: 2х+5=1 х=(~ — 5)/2 =/ — $ Г! — 5 1ой <!х = й/2 ,/ 2 2 1 Г [Р— ьР)а= — Ра-ф'а) = 1т Г 4,/ 4,/ 1 Ф1з 51ы 1 (2х+5)~з 5 =-( — — — )+С=-( 4 12 11 4 12 11 — — (2х + 5) ") + С = (2х+5)'1Г2х+5 5 ! (2х+5)" 22х — 5 4 ~ 12 11/ 4 132 (22х — 5) + С. 528 г. Найдем первообразную г'(х) функции ~(х), для которой ~ 1, 1Е(0,1]; $ Е (1, +оо).
При этом график искомой первообразной должен проходить через точку ((п2; 0). Положим х =!в1. Тогда ] 1, х Е (-оо,О]; ( е', х Е (О, +со). Используя табличные интегралы 1 и 4, получаем х+ См х б (-оо, 0]; ( св+Сз, хб (О,+со) Ясно, что г'(х) дифференцнруема во всех точках числовой оси, включая х=О, и при этом Р'(х) =Г(х) Ухбй. Из условия непрерывности первообразной прн х =0 имеем С1 -— 1+ Сз, а из ь неОпРИДеленный интеГРАл условия г(!п2) =0 прохождения ее графика через точку (1и 2; 0) — Сз = -2 и С1 = -1. В итоге искомая первообразнал з — 1, зб( — оо, 0]; ( е' — 2, зб(0, +оо).
Графики Дх) и г'(з) приведены на рис. 1.5. При решении прикладных задач ча сто возникает необходимость вычислять неопределенные интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Простейшими из ннх являются неопределенные интегралы вида Рме. 1Л Пример 1.10. а. Вычислим неопределенный интеграл от функции 1/(2гз — 4з+7), представив ее знаменатель в виде 2хз — 4з+ 7 = 2(хз — 2х+ 1) +5= 2(х — 1)я+ 5. Используя подстановку х — 1= $, приходим к табличному интегралу 13: | Г ~( — 1) 2хз-4х+7,/ 2(х-1)я+5,/ 2(з-1)я+5 1 Г й 1 Г2 Г2 = — ~( — агс15 ~/ -1+ С = 2,/ 1з+5/2 2 г' 5 г' 5 = — агс15 ц| -(х — 1)) + С. ДО Й5 Общий прием нахождения таких неопределенных интегралов состоит в выделении из трехчлена полного квадрата с после- дующей заменой переменного.
д.о, Интегрирование подстановкой и заменен перемени еиного 35 Г х — 3 Г' х — 3 хд — х+ 2,/ (х — 1/2)з+ 7/4 х - 1/2 = Ф х =1+1/2 Ь=й й=~ г11. 1+1/2 — 3 Г $ — 5/2 Р + 7/4,/ Р + 7/4 Разложим последний неопределенный интеграл на два и первыи из них найдем, подведя 1 под знак дифференциала и использовав табличный интеграл 2, а для вычисления второго используем табличный интеграл 13: | -5(2 ~ ~ 51 а 0+7/4 Г 1г+7/4 2Г юг+7(4 1 /и'(Р+7/4) 5 )Г Й 2„/ 9+7(4 2,/ 0+7/4 1 ~г 7~ 5 2 21 2 ! 4~ 2 ~/7 Ч7 = -1п ~1~+ -~ — — — агс1и — + С, Возвращаясь к исходному переменному х, в итоге получаем |л-' =-' ~(.-')' -'~- 5 2(х — 1/2) — — агс15 + С = Л Л 1 з 5 2х — 1 ~/7 Ч7 = -!п ~х~ — х+2~ — — агс15 — +С.
в* Для вычисления неопределенного интеграла от функции »)/»/Г-:д д» д»» Р д~„~ » д б. Поступая аналогично, найдем неопределенный интеграл от функции (х — 3)/(хз — х+ 2). Выделяем полный квадрат в знаменателе: х~ — х + 2 = (хд — х + 1/4) + 7/4 = (х — 1/2) д + 7/4. Используя подстановку х — 1/2= 1, находим Зб 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ квадрат: 1 — х — х2=1 — (х2+х+1/4)+1/4=5/4 — (х+1/2)2. Тогда иайдем х + 1/2 = Ф х = à — 1/2 гх=й 21-1+5 Г 2И1 | а ~474~11 ~7674~$ 1 ~7674-Ф а(5/4 — 12) |' й /5 7174- а 1,7174-г~ 7 4 2$ 2х+ 1 + 7агсв1п — + С = -2 1 — х — х2+ Тагсл1п — + С.
/5 Л Для нахождения неопределенных интегралов вида (1.18) можво использовать и другой способ. В первом из этих интегралов преобразуем числитель, выделив производную знаменателя: 2ах+ Ь ий тх+п=т +и — —, 2а 2а' и разложим исходный интеграл на два: | пгх+п гп | 2ах+Ь 7 гпЬ~ /' йх <1х =— 11х+ (и — — 1 ахз+Ьх+с 2а 1 ах2+Ьх+с ~ 2а /,7 ах2+Ьх+с Первый интеграл в правой части этого равенства сведем к табличному вида 2, подведя 2ах+ Ь под знак дифференциала, а второй — к одному из табличных интегралов 13 или 14, выделив в знаменателе его подыитегральной функции полный квадрат: | гпх+и т /'а(ах2+Ьх+с) 2 + ах2+ 6х+ с 2а,/ ах2+ Ьх+ с ах +.— — ~~ 2 2а' 7 а(х+Ь/(2а)) +с-62/(4а) Ьл. 1»!нтегрнроаанне подстановкой н заменой переменного 37 Аналогично можно привести к двум табличным интегралам и второй неопределенный интеграл в (1.18).
Пример 1.11. а. Найдем описанным способом неопределенный интеграл от функции (Зх — 7)/'(хз+4х+ 1): Зх — 7 ГЗ(2х+4)/2-6-7 3 /(2х+4)Их ВЬ=- хз+4х+1,/ хз+4х+1 2| хз+4х+1 ВЬ 3 / ~цхг+4х+1) /' с1(х+2) хз+4х+1 2,/ хз+4х+1,/ (х+2)з-4+1 3 з 13 ~ *+ 2 — ~Г31 = -!п ~х~+4х+ 1~ — — 1и ~ ~~+с. 2 2~/3 х+ 2+ ~ГЗ 3десь исходный неопределенный интеграл преобразованиями приведен к табличным интегралам 2 и 14.
б. Аналогично вычислим неопределенный интеграл х+ 3 /' (4х+ 8)|4 — 2+ 3 4/З »48*411 / »2*248*411 1 ( (4х+8)~х |' Их 4/ »'2».»В»4.11 1 / 0(2хе+ 8х+ 11) 1 / 41(х+ 2) 4/ »2 »+8»+11»Г2/ Д 42)г+3/2' Используя табличные интегралы 1 и 16, в итоге получаем 4* = — Ъ/2*! + 8» 4- 1 1+ | х+3 1 2* .! 8 .! 11 2 + — '!.)»424д*+яр~.з/2(4с= ~Г2 1 1 =-!/2*»+8»4.11+ — ! ~*+24,/Р+4».»11/2~+с. 2 ~(2 38 Ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ 1.6.
Интегрирование но частям Теорема 1.3. Если функции и(х) и «(х) непрерывно дифференцируемы в некотором промежутке Х, то справедлива формула ~ По условию теоремы подыктвсгральные функции в (1.19) непрерывны. Поэтому в силу утверждения 1.1 они имеют первообразные и существуют входящие в (1.19) неопределенные интегралы. Опуская обозначение аргумеята х, по правилу вычисления дифференциала от произведения дифференцируемых функций [П] запишем с1(««) = «Ы«+ зим, или ийя = И(а«) — «юК«. Отсюда, используя линейностпь неопределенного иктпеерала, получаем В соответствии со свойством 2' (см.
1.3) имеем (1.21) Относя произвольную постоянную С к неопределенному инте- гралу ] «Ин, из (1,20) и (1.21) получаем (1.19). > Использование формулы (1.19) целесообразно в том случае, когда представление подынтегрального выражения в виде и(х) Й~(х), приводящее к задаче определения функции «(х) и интеграла 1 «(х) нн(х), упрощает вычисление исходного интеграла.
Уместно дать некоторые рекомендации по процедуре применения (1.19), называемой интегрированием по чо- ЗО 1.б. Интегрирование ао частян 1. Если подывтегральвая функция является произведевием мвогочлева,„(х) ст Р ( ) епеви т > 0 и одной из фувкций вшггх, совах, е, то в (1.19) следует выбрать и(х) = Р,„(х). 2. Если под звак исходвого интеграла входит обрагпнал тригонометрическая функция (агсешх, агссовх, агсФбх, мвогочлев Р (х) (т > 0), то в качестве ао(х) следует выбрать Р (х) йх. Пример 1.12. Используя формулу (1.19) ивтегрировавия по частям, вычислим а) агсип х ~Ь; б) х агсГбх Их; в) (х~+Бх — 3)1пхсЬ; г) хе~ах. а.
Следуя высказанным рекомендациям, в первом веопределеивом ивтеграле обозначим и(х) = агсеш х и запишем | и=агсв1пх, аи=~Ь/ч1 — х ~ ч -хз~ агсапх~Ь = „ 1 = хагся1пг+ ~/1 — хз+С. Здесь использован табличный интеграл 1. б* Во втором неопределенном интеграле подведем сомвожитель х под звак дифференциала: г хагсгвхЙх = агсгдхг11 — ~ = агсгцх ° —— ,г хз 1 Г хз — Н(агах) = — агс$бх — — | — Нх.
2 40 ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Для вычисления полученного интеграла в числителе его подын- тегрального выражения добавим и вычтем единицу: ( з+1) — 1 Г На Их — / — = х — агсг5х+ С. —./ ./ 1+хз- В итоге получим | хз х агсг5хгЬ = — агсг,5х — -(х — агсг5х+ С) = 2 2 хз+1 х 2 агс13х — — + Сг. в .
Третий неопределенный интеграл вычислим, подведя под знак дифференциала многочлен: гхз 5хз (*' ~5*-з)й~~л = /1.* ~~ —.~ — -з*) = г хз 5хг 3 2 =(-х — "- =(3 хз 5хз ~ хз 5 — + — — Зх~!и х — — — -х + Зх+ С. 3 2 9 4 г. В четвертом неопределенном интеграле примем и = х: хе~Нх= хИ(е~) =хе — с*Их=(х-1)с +С. Нетрудно проверить, что выбор сочетания и— =с~ и Ио=хИх или и=хсх и г1о=г(х после применения (1.19) приведет лишь к усложнению подынтегрального выражения. По аналогии с последним примером при интегрировании по частям функции Г(х) = х"е* (а Е М) произойдет понижение степени х под знаком интеграла, если в качестве н 41 1.6.
Ивтегрироввние ао чвхтвм выбрать хи: и х11 и 11(ех) и х ехихи-111х хиех и хи-1ех11х 1и хх хие — и(хи е — (и — 1)1и 2) = =хиех — ихи 'ее+и(и — 1)(х" 'е' — (и — 2)1и з) =..., х с~ах = и1ех~ х +С. (1.22) | (-1)' (и — х)! Ьие В некоторых случаях интегрированием по частям (иногда — повторным) можно получить в правой части цепочки равенств выражение, содержащее нсходныи неопределенныи интеграл 1, т.е.
прийти к уравнению с неопределенным интегралом 1 в качестве неизвестного. Пример 1.13. Интегрированием по частям вычисляем х~Ь ам=в апач:х' о=х и = 1/аз — хз> Й~ = 11Х, 1= аз — хздх = 2 2 Г хгх 2 2 /,д — =* ~а — х х'а Ясли и раз последовательно провести интегрирование по част ! ям то можно найти искомый неопределенный интеграл 1и.
Цо можно поступить проще. Представив последнее выражение в виде рекуррентного соотношения 1и хх хие — и1и 1, получим 42 ь неОЛРеДеленный интеГРАл Используя табличный интеграл 15, приходим к равенству 1= х а2 — х2+а агсв1п — — 1. х а 1 = а2 — х2 Ых = — а2 — х2+ — агсз)п — + С. (1.23) х а2 2 2 Пример 1.14. Найдем неопределенные интегралы и,10 — — е'~ в)п Ьх ах. 1о = е' созЬх~Ь В данном случае в качестве и можно выбрать как показатель- ную, так и тригонометрическую функции.
Используя первыи вариант и интегрируя по частям ~з1п Ьх~ юп Ьх ьчп Ьх 1 = е'е И~ — ~ = е'е — — ~ — Н(е'е) = о=у 1, . а = -е'*в)п Ьх — —,1о приходим к интегралу,1о, который тоже возьмем по частям: созЬх~ совЬх 1совЬх 1о= е'"а — — ) =-е'* — +/ — Н(е") = 1, а Ь = --е'есовЬх+-10. (1.24) Подставляя это выражение в предыдущее, получаем 1о = -е'~ в1п Ьх — + — е™сов Ьх + -10) = Ь|Ь Ь Ьв1п Ьх+ асозЬх а =е Ь2 Ь2 — — 10, Отсюда учитывая, что равенство, в обенх частях которого сто- 1 ят интегралы, верно с точностью до произвольной постояннои, получаем 43 1.6.
Ивтегрировеиие по частим , ткуда, согласно замечанию 1.1, следует , асов Ьх+ Ьв1п Ьх 1о — — еевсовЬх йх = еев + С. а2+ Ь2 (1.25) Пример 1.15. Неопределенный интеграл 1»= 2, пай, афО, Их (х2+ а2)" при о=1 переходит в табличный интеграл 13 Р 11х 1 х = - агс$3-+ С, а ф О. 1-/ х2+а - а а Д ля произвольного и Е М 1( 2 + 2)п 1Н 2П 1 ((Х2 + 2)п+1 г =11х, и=х -2пхдх х (Х2+ а2)п / (Х2+ а2)п+1 (Х2+ а )п Г (х2+ а2) — а2 х 2 +2п/ ' Ых= +2п1„— 2па 1„+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
