Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Постоянную С определим из условия г(-2) = = О, или !и 2+С = О. Отсюда, С=-!п2 и в итоге Рис. 1.3 ~х Р(х) =!п!х! — 1п2=!и~~-~1, х б (-оо,О). 12 ' Графики функции и найденной ее первообразной показаны на рис. 1.3. Пример 1.3. Функция 1(х) =2!х! определена и непрерывна на всей числовой прямой й.
Согласно утверждению 1.1, зта функция имеет на Ж первообразную Р(х), причем в силу (1.1) .Р(х) =21х). При х >0 (ха)'=2х =2ф, т.е. в полуинтервале (О,+оо) одна из первообразиых Р~(х) =ха и, согласно (1.4), неопределенный интеграл анри х<0 (х~)'=2х=-2)х), т.е. в интервале (-оо,О) одна из первообразных Гз(х) = -х~ и неопределенный интеграл 2!х! Их = -х + Са, х б (-оо, 0). Рассмотрим при некоторых постоянных С~ и Сз функцию .г'(х) = Р!(х)+Си х > О; Рз(х)+Са, х < О.
ЬЗ. Свойства неопределеппого пвтеграва 9та функция будет непрерывна в точке х = О, если (х'+ С4.=о = (-х'+И.=о Последнее равенство верно при С~ =Сз =С. В этом случае функцию г'(х) можно представить в виде г'(х) = х~ еипх+С. Так как эта функция дифференцируема при х Е Й и г" (х) = 2~х~, то она является одной из первообразных функции Дх) = 2~х~.
В итоге, учитывая тождество ~х~ = хяипх, получаем 2~х~<Ь = х~х) + С = Рмс. 1.4 = х яипх+ С, х е Е. Графики функции и ее первообразной при значении С = О даны на рис. 1.4. 1.3. Свойства неопределенного интеграла Пусть для функции Дх), определенной в некотором промежу'гке Х, в этом промежутке существуют аервообрагмая г (х) и меопределеммыб имяеграл (1.4). Нахождение неопределенного ~~теграла от заданной функции называют ее и«е«егрмрова«иелв. Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла. 1 ° Производная неопределенного интеграла равна модымтпегрольмой фу«киви, т.е. 20 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ или, что то же самое, дифференциал неопределенного иитегра ла равен подынтпегралъному выражению, т.е.
И ~(х) сЬ =,7" (х) Их. (1.6) Эти свойства непосредственно вытекают иэ определения 1.1 первообраэпой. 2'. Так как для функции Г(х) = Дх) одной иэ первообразиых является сама функция г (х), то в силу (1.1) Лу(х) их = Л Дх) Нх. (1.8) Действительно, если г'(х) является первообразиой функции Дх) в промежутке Х, то Лг'(х) в силу определения 1.1 будет в этом промежутке первообразиой функции Лу(х), поскольку (ЛР(х)) = ЛР~(х) = ЛДх) Ух б Х.
Поэтому неопределенный интеграл ( Л 7" (х) Ых является миожеством первообраэиых вида Лг (х) + С, а неопределенный интеграл Л 1 у (х) Ых — множеством первообраэных вида Л(г (х) + С|) По в силу произвольности постоянных С и С1 при условии Л~О всегда можно выполввть равенство С=ЛСм т.е. при фиксированном эиачеиии одиой иэ этих постоянных другую всегда можно выбрать так, чтобы укаэанное равенство Таким образом, интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями. Поэтому для проверки правильиости интегрирования достаточно продиффереицировать найденную первообразиую г(х) и убедиться, что ,Р(х) совпадает с подыитегральиой функцией Дх).
3'. Если Л вЂ” отличное от нуля действительное число (Лб И~(01), то д.3. Свойства ыеопредеееыыого ыытегпааа 21 „олнялось. Значит, множества Лг'(х)+С и Л(г'(х)+Сд) вып. сова нападают, что доказывает справедливость (1.8). чгаким образом, при интегрировании ненулевую постоянную кно выносить иэ под знака интеграла (или же вносить под тот знак). Замечание 1.1. Если в обеих частях равенства стоят определенные интегралы, то говорят, что оно верно „с очностью до аддитнвной постоянной".
1(1 4'. Интегрирование является линейной операцией, т.е. если функции ~д(х) и Ях) имеют в промежутке Х первообраэные яд(х) н рэ(х) соответственно, то в этом промежутке функция Лд/~(х)+Лэках), где Лд, Лд Е В, также имеет первообРаэнУю, пРичем пРи Лд~+ Л~з > 0 В самом деле, функция Г(х) = Лдгд(х) + ЛзРд(х) является одной из первообразных функции Лд/д(х)+ Лд 1д(х) в промежутке Х, так как, согласно определению 1.1 первообразной, Г'(х) = (Лдрд(х)+ЛзРэ(х)) = = Лдгед(х) + ЛгГ~(х) = Лд/д(х) + Лз~э(х) Чх б Х.
Ндядтому неопределенный интеграл в леной части (1.9) представляет собой множество первообразных вида Р'(х)+С = = ЛдРд(х) + ЛэРз(х) + С, а сумма неопределенных интегралов в правой части (1.9) в силу свойства 3' — множество перво~орвзных вида Лд(Рд(х)+Сд) +Ля(Рд(х)+Сз). Но благодаРЯ и о Роизвольности постоянных С, Сд, Сд всегда можно считать выпо полненным равенство С = ЛдСд + ЛзСз. Значит, эти мноназыв жества совпадают что доказывает рассматриваемое свойство 1 ! ываемое линебностиью неонределенново инпьевралв.
бобдцая это свойство, можно заключить, что неопределенный ин и"тегрзл от нетривиальнои лнненной комбинации функции Ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ б ации неопределенных интегратакой желинейнои ком ина равен ф нкции. спольз ф ".
И ользование этого своиства лов от каждон из этик у при интегрировании иногда называют мепзо ом раз мчм. ю х =2 х — хз является ли нейной комбинациен непрер о ых становлены в Д ) = Зхз первообразные которых установле примере 1.1 и соответственно равны С(х) = ~/х и сил свойства у 4' ф нкция ш(х) имеет первообразную при п е еленного интеграла, полух > О. Используя линейность неопред чаем | 1 ~(~)И*=|(2у~~) — -Д~))Ы*= з =2 у(х)Ых — -~ Дх)Нх=2 1 з 3 =2 ° 2~х — -хз+С= 4~/х — — +С. Непосредственной проверкои убеждаемся, что (. -т )- .
хз ~~ 2 4~Г- — +С) = — — х = ш(х). от ф нкции Л(х) = б. аидем н Н " неопределенный интеграл от фу вой п ямой 1ь и поэтому = е (~~, непрерывной на всей числовой прямои и в силу утверждения 1.1 имеющей р р й пе вообразную на В. Если ( ) — *= ~*~ =,1 (х). Поэтому, согласно 1.1 х>О,то(-е ) =е =е и (1.4), Л(х)~Ь= е КЬ=-е *+С1, х>0. (е~) = ех = е ~~( = ~1 (х), поэтому Еслиже х<0, то 23 1.3. Свойства неопределенного ннтеграл а лнм постоянные С1 и Сз так, чтобы выполнялось ранство (-е +С1)~ о -— (е +Сз)~„е, или -1+С1 =1+Сз. (~„юда С1 =2+Сз =2+С, н так как левосторонняя пронзюдфункции се+С в точке х=О совпадаетсправосторонней произв онзводной функции -е +2+С в этой же точке, то составнвя функция ее+С, х< 0; -е в+2+С, х) 0 называется первообразной функции ~1(х) при х Е В, т.е.
Пусть в промежутке Х определена сложная функция ~(и(х)), а функция $ = и(х) дифференцнруема в этом промежутке. Если функция 1(1) имеет в промежутке Т Э п(Х) переообраэиую Р($), то в силу определения 1.1 первообразной ~~(1) = ~(1) а (1.10) и справедливо свойство имвариамтпмоспьи иеоиределеииого вмшеграло в виде | /(и(х)) Ии(х) = Г(и(х))+С. (1.11) ~ Так как функция Р(1) определена в промежутке Т Э и(Х), то в промежутке Х определена сложная функция г.(и(х)). И~пользуя свойство инвариантностн дифференциала первого порядка 1Щ и учитывая (1.10), имеем пР(и) = ~(и) Йи, или еР(и(х)) = ~(и(х)) и'(х) Нх, т*е, согласно определению 1.1,,Р(и(х)) является одной из бразных функции ~(и(х)) и'(х).
Поэтому в силу (1.4) | У) ) ))а ) )- /у) )*)) ')*)н=т),),))+с, что О Означает справедливость (1.11). 1ь ь НЕОНРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Доказанное свойство позволяет свести вычысление неопределенного интеграла от функции у(х) к следующей процедуре: выделыть в ней в качестве сомножителен производную и'(х) некоторого промежуточного аргумента и и функцию ~(и) этого аргумента, т.е. представить у(х) в виде !'(и(х))и'(х), а затем найти первообразную Г(и) функции у(и): = /П~)*))2~)*)=Р)~) ))+С.
)122) П роцедура нахождения неопределенного интеграла при помощи (1.12) носит название инкзеарироеонил подведением код знак дид2д2еренциааа (проызводную и'(х) „подводят" под знак дифференциала: и'(х) дх = Йи(х)). Пример 1.5. В примере 1.1 устаяовлено, что совх)!х =в!их+С. (1.13) Использовав инвариантность неопределенного интеграла, вычыслым интегралы от функций Зхзсов(хз+1) ы (1/х)сов1пф. В первом случае подведем множитель Зхз = (ха+1)' под знак дифференциала и с учетом (1.12) и (1.13) получим Зх~с (х +1)<Ь= сов(х~+1)2!(х~+1)=в)п(х +1)+С.
Во втором случае множитель 1/х является проызводнои функции 1п ~х~. Поэтому, учитывал (1.12) и (1.13), находим | 2!х= сов1пф)!(!пав) =в!в!пф+С. х Прыменив правыло дифференцирования сложнои функции ,'1 1„ убедимся, что 1 сов!п1х~ (в!п 1п 1х! + С) = сов!п 1х~ ° — = 25 ГА. Основные неопределенные ннтеграеы 1.4.
Основные неопределенные интегралы К основным относят неопределенные интегралы от некоторых элементарных функций. Поскольку в силу свойства 2' и. 1.3) операции интегрирования и дифференцирования взамно обратные, зти интегралы можно найти при щ имно о рат и ы производных элементарных функций ! ].
й ГП]. В связи с этим такие неопределенные интегралы обычно называю т гггаблиннььми ингпегралалзи. Мы ограничимся шестнадцатью табличными интегралами, приведенными ниже. Каждая из формул содержит произвольную постоянную С и справедлива в каждом интервале из области непрерывности соответствующей подынтегральной функции. 13. / — = -агсг8-+С= --агссг8-+Сг, от.О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
