Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2.31) Миогочлеи Яз(х) = хз — 1 в знамеиателе выделенной правильиой рациональной дроби можно представить как разность кубов: фх) = (х 1)(хз+х+ 1). Ои имеет простой действительный нуль х = 1 и пару комплексно сопряженных нулей Поэтому разложение правильной рациоиальиой дроби в (2.31) хе. иитегриронвние дробно-рааиоиедеи!нх Фуииаий простейшие, согласно (2.25)! примет вид 2х А Мх+У хз 1 х — 1 хз+х+1 П еле приведения правой части данного равенства к общему После знаменателю получим 2х = А(х~+ х+ 1) + (Мх+ Ж)(х — 1). Это равенство верно при любых значениях х. Полагая в нем х=1, находим 2=ЗА, т.е.
А=2/3. При х=О имеем О=А— Ф, откуда У = А = 2/3. Наконец, приравнивая козффициенты при хз, получаем О= А+М, или М=-А=-2/3. Итак, вместо (2.31) запишем х4+х 2 2 х — 1 хз — 1 3(х — 1) 3 хз+х+1 Таким образом, | х+х Г 21 дх 2/ х — 1 — ах=/ хах+- /— ах. х — 1 1 3 / х — 1 3/ хз+х+1 Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов 1 и 2. В знаменателе подынтегральноб функции в третьем интеграле выделим полныи ква драт: хз+х+1= (х+1/2)я+3/4 и обозначим х+1/2=1 (х = 8 — 1/2, <Ь = й). Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получаем с учетом табличных инте"ралов 2 и 13 | * — 1 ! ! — 3/2 ! !Ыф+3!4! *~+*+! ! 8+3!4 2! 0+3/4 3 й 1 ~ з 31 3 2 2$ = -!п~$ +-~ — —. — агсф — +С.
2 0+3/4 2 ~ 4~ 2 1/3 ~/3 | 76 г. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Возвращаясь к исходному переменному х, находим | х — 1 1 2х+ 1 Нх=-1п~х +х+1~ — 1/Загсгя — +С, хг+х+1 2 Гз или окончательно | х4+х 1 2 Г Нх 2 1' х — 1 0х= / х~1х+-~ — --~ Их= хз — 1,/ 3./ х — 1 3/ хг+х+1 хг 2 1 г 2 2х+1 2 3 3 — + -1п )х — Ц вЂ” -1п ~хг+ х+ 1~+ — агсгб +С. ~/3 Гз Пример 2.7. Функция Дх) = (х4+1)/(хг+х4 — хз — хг) является правильной рациональной дробью. Разложим ее знаменатель на множители: х + х — х — х = х (х + х — х — 1) = = х (х + 1)(х — 1) = х (х + 1) (х — 1), т.е. знаменатель имеет двукратные действительные нули х = О и х = — 1 и простой действительный нуль х = 1.
Следовательно, согласно (2.25), разложение функции Дх) на простейшие рациональные дроби имеет вид х4+1 А А1 В Вг 0 2+ + г+ +: хг+х4 хз хг хг г (х+1)2 Из этого равенства после приведения его правон части к общему знаменателю следует равенство многочленов 24+1= А(хЛ-1)г(х — 1)+А,х(х+1)г(х — 1)+ + Вхг(х — 1) + В1хг(х+ 1)(х — 1) + 0хг(х+ 1)2. (2.32) Последовательно полагал в (2.32) х = О, х = -1 и х = 1, получаем 1=-А, 2=-2В и 2=40, откуда А=-1, В=-1 ЗА.
Интеюрнноаание дробно-рационадъныг функинй 77 и р = 1/2. Продифференцировав (2.32) по х, выпишем справа ля шь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х = 0 = (2А(х+ 1)(х — 1) + А(х+ 1)2+ А1(х+ 1)2(х — 1)) ~ яри х 1 4х~1 = (2Вх(х — 1) + Вхз+ В1х2(х — 1)) ~ Отсюда соответственно имеем 0=-2А+А — А1 и -4 =4В+ +В-2В1, илн с учетом значений А = В = -1 получим А2 = 1 и В1 —— — 1/2. Таким образом, заданная функция принимает вид х4+ 1 1 1 1 1/2 1/2 гя+х4 — хз — х2 х2 х (х+1)2 х+1 х — 1 Кеодределенный интеграл от этой функции находим при помо- щи табличных интегралов 1 и 2: | х4+1 1 1 1 = -+1в1х1+ — — -1в 1х+ Ц+ хЬ + г4 гз х2 х+1 2 1 1 1 1 1х+1 + -1и ~1х — 11+ С= -+!и 1х1+ — — -1в1 — + С. 2 х х+1 2 1х — 1 Пример 2.0.
Функция Дг) =г4/(г4+5х2+4) является неправильной рациональной дробью. Выделив из нее многочлея я правильную рациональную дробь, запишем х4 5х2+4 — 1 х4+ 5х2+ 4 г4+ 5х2+ 4 "Ули многочлена в знаменателе являются корнями биквадратяогоуравнения [П) х4+5х2+4= 0. Обозначив х2 = н, получим "вадратное уравнение и~+ба+4 = О, имеющее простые корни ~1=-1 и из = -4. Следовательно, знаменатель можно предтавить в виде г +5г2+4= и~+5и+4= (и+1)(и+4) = (г +1)(х +4).
78 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Тогда для правильной рациональной дроби, согласно (2.25) имеем разложение 5х2+4 Ах+ В Мх+ Ф хл+ бхз+ 4 хз+ 1 хз+ 4 Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, приходим к равенству многочленов -5х — 4 = (Ах + В) (х~ + 4) + (Мх + Ф) (х + 1). Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучаем систему линейных алгебраических уравнений А +М = О, В +Ф=-5, 4А +М = О, 4В +Ф=-4. хо хе 1/3 16/3 =1 —— +х4+ 5хз+ хз+ 1 хз+4 Тогда с учетом табличного интеграла 13 получим | х4ах 1 8 х х4+ 5хз+ 4 3 = х+ — агс18х — — агс$8 — + С.
3 2 Пример 2.9. Найдем неопределенный интеграл от функции /(х) = (х~+ х)/(хв+ 1), представив его суммой интегралов Из первого и третьего уравнений находим А = М = О, а из второго и четвертого — В = 1/3 и Ф = -16/3. В итоге заданную функцию запишем в виде гА. Иетегрировавие дробно-рациовальных функций 79 е вый интеграл в правой части (2.33) подстановкой дим к табличному интегралу 13, а второй подстановкой едим к т г- 1 — к интегралу Ф | 4*') Г ~г / й ее+1 | ~э+1 — | ~1+црг 1+ц рззложим правильную рациональную дробь па простеишие: 1 А М1+У + г (1+ 1игг 1+ Ц 1+ 1 гг 1+ 1 Затем, приводя ра пр вую часть к общему знаменателю, получаем 1 = А(гг — 1+ ц + (М$+ ХЯ+ ц. Отсюда, полагал, что 1= -1, находим 1 — 3, = / . 1 = ЗА т.е.
А = 1/3. При 1=0 запишем 1=А+У, откуда У=2/3, аиз равенства нулю коэффициента при 1 следует, что М вЂ”вЂ” г М = -А = -1/3. Таким образом, | — — — й. (1+1ИР— 1+Ц 3/ 1+1 3,/ гг-1+1 Подынтегральная функция во втором иитеграле справа является простейшей рациональной дробью третьего типа (см. 2.2). Поэтому | Ф вЂ” 2 /' ($ — 1/2) — 3/2 ~1-1/2=г~ гг — $+1 „/ ($ — 1/2)г+3/4 ~Й=(Ь Й= ~В= 3 2 2з 1 21-1 — — — агсф — + С = -1п )гг-1+1~ — ~/Загс~ — + С. 80 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Следовательно, | — пг = (2+1)(22 — $+1) 3/ 2+1 3/ 22 — $+1 1 22 — 1 = -1 ~4+1~ — — !и(г~ — 2+1)+ — агс28 — +С = 1 (2+1)2 ] 22 6 ~И2-2+1~,/З,ГЗ = - 1и + — агсс8 — + С. Возвращаясь к аргументу х, вместо (2.33) в итоге получаем | х'+х 1, 1 2х'-1 1 (х'+ 1)' — г(х = — агс28хэ+ — агс28 — + — 1и + С.
хе+1 3 2~/3 ЧЗ х -х Замечание 2.5. При интегрировании дробно-рациональной функции этап ее разложения па простейшие рациональные дроби ие всегда является обязательиым. В некоторых случаях удается найти интеграл более простым путем. Пример 2.10. Ясно, что разложение правильной рациональной дроби у(х) = хз/(х — 1)'вв на простейшие будет весьма громоздким.
В данном случае проще обозначить х — 1=2 (х= =г+1, г1х =Й) и вычислить хэ (х 1'(2+1)эй | Гз+ 322+ 32+1 вт + 3 вв +3 вв + вв +С. 1 3 3 1 962ве 972вт 982вв 992вв Возвратившись к переменному х, получим хэ 1, 3 (х — 1) 2 во 96(х — 1)ве 97(х — 1)вт 3 +С. 98(х — 1)вв 99(х — 1)вв 81 Д.ЗЛ. Метод Острагрвдсясв о Дополнение 2.1. Метод Остроградского Итак, неопределенный интпеграл от любой дробнорацио~ьмой функции можно выразить в конечном виде прн помощи Функций трех типов: дробно-рациональной, логарифмической и кшамгенса (см. 2.4), т.е. он является линейной комбинацией лггбраической и юпрамсцгмдгмтной функций. В ряде прикладМх задач важно уметь выделить эти функции или же найти условия, при которых неопределенный интеграл содержит либо ,олько алгебраическую часть, либо только трансцендентную.
Интегрирование простейших рациональных дробей (см. 2.2) приводит к выводу, что неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции будет содержать только трансцендентные функции (логарифмическую и арктангенс), если ее знаменатель имеет лишь простые нули (действительные и комплексно сопряженные). Присутствие в таком интеграле алгебраической части в виде рациональной дроби ва~можно лишь при наличии кратных нулей у знаменателя подымтггральмой фумкции. Пример 2.11. Выясним, при каком условии неопределенный интеграл от правильной рациональной дроби ах~ + Ьх+ с з( цг явяяетсярациональной функцией. Знаменатель этой рациональной дроби имеет трехкратный действительный нуль х = 0 и двукратный действительный нуль х = 1.
Согласно (2.25), ее Разложение принимает вид ахз+ ух+ с А А1 Аз В В1 хз(х — 1)з хз хз х (х — 1)з х — 1 + + + + питеграл будет рациональной функцией, если в этом разложении Равны нулю коэффициенты Аз и В1. При таком условии 82 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ после приведения правой части последнего равенства к общему знаменателю получим ах +Ьх+с= А(х — 1) +А1х(х — 1)э+Вх = (А1+ В)хз+ (А — 2А1)х + (А1 — 2А)х+ А. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, запв шем систему иэ четырех ликейкмх алгебраических ураекекий А1+В=О, А — 2А1 — — а, А1 — 2А=Ь и А=с, содержащую трн неизвестных коэффициента А, А1 и В.
Исключив из этой системы неизвестные коэффициенты, найдем требуемое условие в виде а+ 2Ь+ Зс= О. Общий метод выделения рациональной части при интегрировании правильных рациональных дробей был предложен в 1844 г. русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862). Существенная особенность меюиода Оскяроградского состоит в том, что он позволяет без нахождения нулей знаменателя правильной рациональной дроби выделить рациональную часть неопределенного интеграла от такой дроби. Теорема 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
