Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2). Дробиорациональную функцию В,(х) всегда можно разложить на многочлен Р„(х) = аох" +а1х" 1+...+а„1х+а„и оростеа~р цюаыни~ь6ц~ви фу й Я,(~)/~/й" +Ы+с представйма линейной комбинацией функций вида: Р„(х) (3.13) ,/ ~г~.Ь~~~' (3.14) ~*-~РчЫ +пас' их+ Ф (3.15) (~1+р*+д) 1/ х~+6*~~ Е „= х" Их иеХ. «7з+ьм ' (3.15), Здесь Ь, т Е Х и о, р, е ЕЕ, причем ря (4д, т.е.
нуля квадратного трехчлена хз+рх+у комплексно сопряженные. Перейдем к рассмотрению более простых по сравнению с применением подстановок Эйлера способов интегрирования функций (3.13)-(3.15). Сначала установим рекуррентное соотношение для нахождения интеграла ЗА. Другие ариемм интегрироеаима ря этого найдем производную ("' Ф й-' Я'+йй)- ( — ц~" а-2 2 2 +Ь 2 2(п — 1)х" 2(ах2+Ьх+с)+х" '(2ах+Ь) 2~/щ2 ~ Ы ~. г л 1 ха-1 = Ва + (п — 4Ь + ~/2Х2Ы+с ' ~' ~/ И2Б2с и-2 + (о — 1)с ~йз+ь*~ *"-'~/ы+ь~ = ю.~-( --')ы„,~( -ци„„ х -1 п-1/2 и-1 Е„= — ах2+Ьх+с- б Е„1 — с — Е„2. па оа па Отсюда прн в=1 1 Ь Е1 — — ах2+ Ьх+ с - — Ео. а 2а оспользуя зто выражение и полагвя в предпоследнем равенстве, что в=2, получаем (3.1Т) 2ах — ЗЬ ЗЬ2 — 4ас Е2 — 2 ах +Ьх+с+ 2 Ео.
4а2 8а2 ~(злее для а=3 найдем Е 8азх2 — 10аЬх + 15Ь вЂ” 16ас 36аЬс — 16Ьз ах +Ьх+с+ 4 з 24аз 48аз и после интегрирования левой и правой частей этого равенства заПИШеМ 112 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Поступая аналогичным образом, для произвольного п Е бь запишем ! =Р; »Ь*)ъl г+ь +»+г 1, где Рв ,(х) — многочлен степени и — 1, а Л„ Е И. Таким образом, интеграл 1ьь для произвольного п б Я можно выразить через интеграл ~о= ььх г »» г~ь + который, в свою очередь, после выделения под знаком радикала полного квадрата и линейной замены х+ 6/(2а) = 1 (см. 1.6) можно свести к одному иэ ьпабличььых интегра,лов 15 или 18, выражаемых через арксинус или логарифмическую функцию. В итоге получим, что интеграл от функции (3.13) будет линейной комбинацией интегралов 1ог 1~» 1эь ..., 1„» т.е.
Рь ью =ЬЬ -»Ь 'г»' *г+ь ь-»ь-ьг, гь.г»Ь | Г Ю* *ьь ь * ~ь,м' где Я„1(х) — многочлен степени не выше и — 1, а Л Е И, Покажем, что такое представление единственно. После дифференцирования (3.18) получим = д'„ гь*ьгг» *г + ь. ь.~ ь.ь»+ 2ах+6 Л +Я -ь(х) + г/Е~~ Ь*.ь» или 2Р„(х) =2Я'„1(х)(ах +бх+с)+Я„1(х)(2ах+6)+2Л, (3.19) т.е. в каждой части этого равенства стоят многочлены степени не выше а. Пусть коэффициенты оо, а1, ..., а„многочлеиа Р„(х) известны и Чьь-ь(х) =6ох" +61х" +...+6„-эх+6„1. ЗА.
Другие приемы иитегриреиаиии ,1огда вместо (3.19) запишем 2(а х +а1х 1+ ° ° ° +а -1х+а ) = =2((и-1)Ьох" г+(и-2)Ь1х" з+...+Ь„г)(ахг+Ьх+с)+ +(Ьох" 1+Ь1х" г+.. +Ь» гх+Ь» 1)(2ах+Ь)+2Л. Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях х, по, учаем систпему и+ 1 линейных алгебраических уравнений с а+1 неизвестными Ьо Ь1, °" Ь» 1 и Л: 2а„= 2сЬ„г + ЬЬ„1 + 2Л, 2а„1 —— ЗЬЬ» г+4сЬ„э+2аЬ„1, 2а» ь =2йаЬ» л+(2Й+1)ЬЬ»-ь-1+2(Ь+1)сЬ» л г, 2а1 — — 2(и — 1) аЬ1 + (2и — 1) ЬЬо, 2ао = 2иаЬо.
Иэ последнего уравнения этой системы следует Ьо = ао/(иа). Если и = 1, то Ь„ 1 = Ьо, Ь„ г — — Ь1 — — 0 и из первого уравнения системы находим Л = а1 — Ьао/(2а). Если же и ) 1, то, подставляя выражение для Ьо в предпоследнее уравнение системы, находим коэффициент 2иаа1 — (2и — 1) Ьао Ь,= цаг Затем, подставляя выражения для Ьо и Ь1 в предшествующее уравнение, найдем Ьг и т.д.
вплоть до коэффициента Ь„1, который получим иэ второго уравнения системы, а затем из первого уравнения этой системы вычислим Ь л= „— ь — -ь »- 2 »- ° Итак, полученная система линейных алгебраических уравМе пении имеет решение при любых значениях ао, а1, ..., а„1, а„, 114 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ т.е. о22редели2пель этой системы отличен от нуля, а ее рещ ние единственно.
Таким образом, (3.18) позволяет выделит вр ~ у О !»у Х+~<- в~~юрьг фув». ции вида (3.13), не прибегая к интегрированию, а лишь реща„ систему линейных алгебраических уравнений. На практик коэффициенты многочлена Я„ 2(х) и Л в (3.18) находят,це. 2))одом неопределенных хоэффициенгпое. | хздх = [А» Р В*2 В)~/ »»-*фу+!| Р*фь Числа А, В, 1А и Л найдем методом неопределенных коэф. фициентов. Продифференцируем последнее равенство: 3 = ) 2А * ф В) ь)*» + * ~. 1+ * +*+! + (Ах + Вх+ А.у) 2х+ 1 + Л 2»'*»А.а »1»/г+г+1 Приведем это выражение к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей: 2хз = 2(2Ах + В) (ха + х + 1) + (Ахэ+ Вх + Р) (2х + 1) + 2Л.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэф- фициентов: 6А — 2! 5А+4В = О, 4А+ЗВ+2АА = О, 2В+ В+2Л=О. о Пример 3.4. а. Вычислим неопределенный интеграл от фув вю *г)в»+ А!. В~ы~ьг в»!ш~ь)2.12),~ы~~ 3.4. другме приемы интегрирование рещаи эту систему, находим А = 1/3, В = -5/12, Р = 1/24, Л = 7/16. Таким образом, 11оскольну то в итоге имеем 7 ~ 1 1~*~ ~ 2~ +1~~.С 16 2 б. Подынтегральную функцию в интеграле ) хз~/х2+ Их умножим и разделим на ~/хй+1: Теперь применим (3.18): | х~+ х~ — ~1х — (Ахз ~. Вхг ~- Рх + Е) ~/х2 .~ 1 -~- Л / ~/0+1 ~ ~/хам+1 Продифференцнруем это равенство: хе~.
г — — — = (ЗАх +2Вх+Р)~/х~+1+ + (Ах + Вх + Рх+ Е) + ~/Р+ 1 ~/х'+ 1 "ри едем последнее выражение к об цему знаменателю и приравнлем числители полученных дробей: е +хз-(3Ахз.~-2Вх-(-Р)(хз ~-1)-»- 4хл ~ Вхз-~-Рхз-~-Ех.<-Л. 117 ЗА. другыеприемыиитегрирпееиие Пример 3.5. Для вычисления неопределенного ннтегра. ! етв~!!ии [(* — !(!ма' — 2* — !( ' и у !! !! ла о , еременного х — 1 = 1/~. Тогда (Ь = -й/1 ! х — 2х — 1 = 2 2 (х — 1)2 — 2 = 1ф — 2 = (1 — 222)(Р и Их 1 22й 1 22й (~ - !(з!!*:г!* ! ! !',/(! ! !~((! ! !/! - !!!' нятеграл справа, согласно (3.18), представим в виде дифференцируя это равенство, получаем 22 -22 Л = А~/1 — 222+ (А1+ В) + ~/1 -28 Л 21 2~(1 — 22 После приведения к общему знаменателю придем к равенству 1~ = А(1 — 22~) — 2$(А2+ В) + Л, яз которого следует система уравнений 12 — 4А =1, -2В =О, 2о А +Л= О.
Отсюда А=-1/4, В=О, Л=1/4 н тогда Ф2а 1 1Х й =,/Г 222 Г ~/1-2Р 4 43 Д 212 1 1 = - Д вЂ” 222 — — агсе1п (~Г21) + С. 4 4(/2 езвращаясь к исходному переменному х, находим | Ю* ~2 — ! ! . ч'2 — агсап — + С. ( -цз/т!!,-! 4( — ц 4!! 118 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ Замечание 3.4. Использованная в примере 3.5 замена пере. менного типична для подынтегральной функции, знаменатель которой содержит натуральную степень Бинома и квадратный трехчлен под радикалом.
С ее помощью удается избавиться от бинома в знаменателе, а под радикалом будет многочлен не вьй ше второй степени относительно нового переменного, что по. зволяет применить уже известные приемы интегрирования. Перейдем теперь к интегрированию функции вида (3.15). Если коэффициенты квадратных трехчленов хз+ рх+ д н ахэ+Йх+с пропорциональны, т.е. р=5/а и д=с/а, то инте. грал от функции (3.15) можно привести к сумме интегралов: Мх+У М /' (2х+р)йЬ дйх =— + г,гв +дг"гг„гвй + йгг д Первый иэ них после замены и = хз+рх+д сводится и табличному интегралу 1, а для нахождения второго удобно испольэовать кодс~ивковку 4беля (Н. Абель (1802-1829)— норвежский математик) (гг*г+р*рд) = р =г.
12.21) 2 *гд-р гд После возведения средней и правой частей этого равенства я квадрат получим 4хэ+4рх+рз = 4йэ(хз+рх+д)г или 4д-р~ = =4(1 — 1э)(х~+рх+д), откуда следует Ьгпр,+д~" =( д Р) ' . 12.22) 4 ) (1 йэ)мд ' у в 122ц, м ггг~г+р Вд=*рр12 пы мчисления дифференциалов левой и правой частей этого равенн йн м угйд+р*д-дйгрггй*=2, и пун~ й1х „г' г». д. 1 — Ф' (3.23) 119 ЗА. Другие приемы интегрироевиие 1огда с использованием (3.22) и (3.23) получим 2рр ~ (Ф+ ") + '~о Условие выполняетсл, если, например> р= -и = 1. В этом случае 1 — 1 2Й 41+ 2 х = —, >1х = —, х+3 = —, 1+1! ($+1)2! $+1 ! х — х+1= , хз+х+1= т. ° е, интеграл от многочлена степени 2(т — 1). В частном ~учае при т = 1 можно написать Нх 4 ДР~ >*>.Я! 4> Р>> 4$ 2(2х+ р) 4» '>4>->>»>*>~ю+с В случае, если в (3.15) р~ й/а, применяют такую замену переменного интегрирования х, чтобы в обоих трехчленах исчезли слагаемые с первой степенью заменяющего переменного.
Последовательность вычислений рассмотрим на несложном примере. Пример 3.6. В подынтегральной функции ~(х)— ~> >.ц '>!. проведем замену переменного х = (ф+ р)/($+ 1), подобрав значения р и и так, чтобы в выражении хз~х+1— (рз ~ р + 1)1з + (2рр ~ (р+ р) + 2) 1+ рз ~ р + 1 (Ф+ 1)з обратился в нуль коэффициент при заменяющем переменном $! а именно 120 л. интеГРиРОВАние иРРАциОИАльных ВыРАжений и для рассматриваемой подынтегральной функции | 4 Г (гг+3)~/312+1 l (гг+З)~/3юг+1 | гй 1 1/3 Згй ~Г Иа (гг+3) ЯГ~1,/ гг+3,/Зги+1,7 вг+8 1 и 1 Згг+1 = — агсг8 — + С1 — — — агсг8 — + С1.
~/8 ~/8 ~/8 8 Для вычисления второго интеграла используем подстановку Абеля в виде т.е. ег г 27 8ег 2и (Ь 3(3 — ог)' З(З вЂ” ег)' (3 — иг)г' и получаем, принимая во внимание табличныи интеграл 14, | й 1 1 3 ° — Фй= (гг+3)~/Згг+1,| гг+3 ~/313+1 Згг 3 — иг 3 — иг о~Ь /' сЬ 27 8ог" ег (3 ог)г / 27 8ег ~/912+ 3+ 2~/21 З~/3+ 2~/2е 3~/3 — 2~Г2е 1 +Сг = — 1и 4~/6 1 = — 1п 4сГ6 с/9гг + 3 — 2~/2Ф К первому интегралу в правой части этого равенства приме. ним подстановку и = ~/Згй+ 1, Нв = (3$/ЯР+1) й, $г + 3 = = (вг+8)/3 и найдем, учитывая табличный интеграл 13, 3.5.
2)уыгоыоыетреческые ы гыпербаяыеескые подсяеыоякы 121 уьединяя результаты и заменяя 1 на х, находим (нг- ф1)г/*3».~вг хз+х+1 1 = ~Г8 агсф 2 2,/б + — 1в ,/,— г», в 1 ф * г/3/3 г/*2 в*в1 — *1/2/3 З.б. 'Х1зигонометрические и гиперболические подстановки Рассмотренные в З.З и 3.4 способы инупеерироеания фунивнв нв Я(*,А~фу*в ) Я,(*)/~/ Увг в г~ * свшаны с достаточно сложными выкладками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
