Главная » Просмотр файлов » Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999)

Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 14

Файл №1135787 Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. - Интегральное исчисление функций одного переменного) 14 страницаЗарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787) страница 142019-05-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

2). Дробиорациональную функцию В,(х) всегда можно разложить на многочлен Р„(х) = аох" +а1х" 1+...+а„1х+а„и оростеа~р цюаыни~ь6ц~ви фу й Я,(~)/~/й" +Ы+с представйма линейной комбинацией функций вида: Р„(х) (3.13) ,/ ~г~.Ь~~~' (3.14) ~*-~РчЫ +пас' их+ Ф (3.15) (~1+р*+д) 1/ х~+6*~~ Е „= х" Их иеХ. «7з+ьм ' (3.15), Здесь Ь, т Е Х и о, р, е ЕЕ, причем ря (4д, т.е.

нуля квадратного трехчлена хз+рх+у комплексно сопряженные. Перейдем к рассмотрению более простых по сравнению с применением подстановок Эйлера способов интегрирования функций (3.13)-(3.15). Сначала установим рекуррентное соотношение для нахождения интеграла ЗА. Другие ариемм интегрироеаима ря этого найдем производную ("' Ф й-' Я'+йй)- ( — ц~" а-2 2 2 +Ь 2 2(п — 1)х" 2(ах2+Ьх+с)+х" '(2ах+Ь) 2~/щ2 ~ Ы ~. г л 1 ха-1 = Ва + (п — 4Ь + ~/2Х2Ы+с ' ~' ~/ И2Б2с и-2 + (о — 1)с ~йз+ь*~ *"-'~/ы+ь~ = ю.~-( --')ы„,~( -ци„„ х -1 п-1/2 и-1 Е„= — ах2+Ьх+с- б Е„1 — с — Е„2. па оа па Отсюда прн в=1 1 Ь Е1 — — ах2+ Ьх+ с - — Ео. а 2а оспользуя зто выражение и полагвя в предпоследнем равенстве, что в=2, получаем (3.1Т) 2ах — ЗЬ ЗЬ2 — 4ас Е2 — 2 ах +Ьх+с+ 2 Ео.

4а2 8а2 ~(злее для а=3 найдем Е 8азх2 — 10аЬх + 15Ь вЂ” 16ас 36аЬс — 16Ьз ах +Ьх+с+ 4 з 24аз 48аз и после интегрирования левой и правой частей этого равенства заПИШеМ 112 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Поступая аналогичным образом, для произвольного п Е бь запишем ! =Р; »Ь*)ъl г+ь +»+г 1, где Рв ,(х) — многочлен степени и — 1, а Л„ Е И. Таким образом, интеграл 1ьь для произвольного п б Я можно выразить через интеграл ~о= ььх г »» г~ь + который, в свою очередь, после выделения под знаком радикала полного квадрата и линейной замены х+ 6/(2а) = 1 (см. 1.6) можно свести к одному иэ ьпабличььых интегра,лов 15 или 18, выражаемых через арксинус или логарифмическую функцию. В итоге получим, что интеграл от функции (3.13) будет линейной комбинацией интегралов 1ог 1~» 1эь ..., 1„» т.е.

Рь ью =ЬЬ -»Ь 'г»' *г+ь ь-»ь-ьг, гь.г»Ь | Г Ю* *ьь ь * ~ь,м' где Я„1(х) — многочлен степени не выше и — 1, а Л Е И, Покажем, что такое представление единственно. После дифференцирования (3.18) получим = д'„ гь*ьгг» *г + ь. ь.~ ь.ь»+ 2ах+6 Л +Я -ь(х) + г/Е~~ Ь*.ь» или 2Р„(х) =2Я'„1(х)(ах +бх+с)+Я„1(х)(2ах+6)+2Л, (3.19) т.е. в каждой части этого равенства стоят многочлены степени не выше а. Пусть коэффициенты оо, а1, ..., а„многочлеиа Р„(х) известны и Чьь-ь(х) =6ох" +61х" +...+6„-эх+6„1. ЗА.

Другие приемы иитегриреиаиии ,1огда вместо (3.19) запишем 2(а х +а1х 1+ ° ° ° +а -1х+а ) = =2((и-1)Ьох" г+(и-2)Ь1х" з+...+Ь„г)(ахг+Ьх+с)+ +(Ьох" 1+Ь1х" г+.. +Ь» гх+Ь» 1)(2ах+Ь)+2Л. Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях х, по, учаем систпему и+ 1 линейных алгебраических уравнений с а+1 неизвестными Ьо Ь1, °" Ь» 1 и Л: 2а„= 2сЬ„г + ЬЬ„1 + 2Л, 2а„1 —— ЗЬЬ» г+4сЬ„э+2аЬ„1, 2а» ь =2йаЬ» л+(2Й+1)ЬЬ»-ь-1+2(Ь+1)сЬ» л г, 2а1 — — 2(и — 1) аЬ1 + (2и — 1) ЬЬо, 2ао = 2иаЬо.

Иэ последнего уравнения этой системы следует Ьо = ао/(иа). Если и = 1, то Ь„ 1 = Ьо, Ь„ г — — Ь1 — — 0 и из первого уравнения системы находим Л = а1 — Ьао/(2а). Если же и ) 1, то, подставляя выражение для Ьо в предпоследнее уравнение системы, находим коэффициент 2иаа1 — (2и — 1) Ьао Ь,= цаг Затем, подставляя выражения для Ьо и Ь1 в предшествующее уравнение, найдем Ьг и т.д.

вплоть до коэффициента Ь„1, который получим иэ второго уравнения системы, а затем из первого уравнения этой системы вычислим Ь л= „— ь — -ь »- 2 »- ° Итак, полученная система линейных алгебраических уравМе пении имеет решение при любых значениях ао, а1, ..., а„1, а„, 114 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ т.е. о22редели2пель этой системы отличен от нуля, а ее рещ ние единственно.

Таким образом, (3.18) позволяет выделит вр ~ у О !»у Х+~<- в~~юрьг фув». ции вида (3.13), не прибегая к интегрированию, а лишь реща„ систему линейных алгебраических уравнений. На практик коэффициенты многочлена Я„ 2(х) и Л в (3.18) находят,це. 2))одом неопределенных хоэффициенгпое. | хздх = [А» Р В*2 В)~/ »»-*фу+!| Р*фь Числа А, В, 1А и Л найдем методом неопределенных коэф. фициентов. Продифференцируем последнее равенство: 3 = ) 2А * ф В) ь)*» + * ~. 1+ * +*+! + (Ах + Вх+ А.у) 2х+ 1 + Л 2»'*»А.а »1»/г+г+1 Приведем это выражение к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей: 2хз = 2(2Ах + В) (ха + х + 1) + (Ахэ+ Вх + Р) (2х + 1) + 2Л.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэф- фициентов: 6А — 2! 5А+4В = О, 4А+ЗВ+2АА = О, 2В+ В+2Л=О. о Пример 3.4. а. Вычислим неопределенный интеграл от фув вю *г)в»+ А!. В~ы~ьг в»!ш~ь)2.12),~ы~~ 3.4. другме приемы интегрирование рещаи эту систему, находим А = 1/3, В = -5/12, Р = 1/24, Л = 7/16. Таким образом, 11оскольну то в итоге имеем 7 ~ 1 1~*~ ~ 2~ +1~~.С 16 2 б. Подынтегральную функцию в интеграле ) хз~/х2+ Их умножим и разделим на ~/хй+1: Теперь применим (3.18): | х~+ х~ — ~1х — (Ахз ~. Вхг ~- Рх + Е) ~/х2 .~ 1 -~- Л / ~/0+1 ~ ~/хам+1 Продифференцнруем это равенство: хе~.

г — — — = (ЗАх +2Вх+Р)~/х~+1+ + (Ах + Вх + Рх+ Е) + ~/Р+ 1 ~/х'+ 1 "ри едем последнее выражение к об цему знаменателю и приравнлем числители полученных дробей: е +хз-(3Ахз.~-2Вх-(-Р)(хз ~-1)-»- 4хл ~ Вхз-~-Рхз-~-Ех.<-Л. 117 ЗА. другыеприемыиитегрирпееиие  Пример 3.5. Для вычисления неопределенного ннтегра. ! етв~!!ии [(* — !(!ма' — 2* — !( ' и у !! !! ла о , еременного х — 1 = 1/~. Тогда (Ь = -й/1 ! х — 2х — 1 = 2 2 (х — 1)2 — 2 = 1ф — 2 = (1 — 222)(Р и Их 1 22й 1 22й (~ - !(з!!*:г!* ! ! !',/(! ! !~((! ! !/! - !!!' нятеграл справа, согласно (3.18), представим в виде дифференцируя это равенство, получаем 22 -22 Л = А~/1 — 222+ (А1+ В) + ~/1 -28 Л 21 2~(1 — 22 После приведения к общему знаменателю придем к равенству 1~ = А(1 — 22~) — 2$(А2+ В) + Л, яз которого следует система уравнений 12 — 4А =1, -2В =О, 2о А +Л= О.

Отсюда А=-1/4, В=О, Л=1/4 н тогда Ф2а 1 1Х й =,/Г 222 Г ~/1-2Р 4 43 Д 212 1 1 = - Д вЂ” 222 — — агсе1п (~Г21) + С. 4 4(/2 езвращаясь к исходному переменному х, находим | Ю* ~2 — ! ! . ч'2 — агсап — + С. ( -цз/т!!,-! 4( — ц 4!! 118 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ Замечание 3.4. Использованная в примере 3.5 замена пере. менного типична для подынтегральной функции, знаменатель которой содержит натуральную степень Бинома и квадратный трехчлен под радикалом.

С ее помощью удается избавиться от бинома в знаменателе, а под радикалом будет многочлен не вьй ше второй степени относительно нового переменного, что по. зволяет применить уже известные приемы интегрирования. Перейдем теперь к интегрированию функции вида (3.15). Если коэффициенты квадратных трехчленов хз+ рх+ д н ахэ+Йх+с пропорциональны, т.е. р=5/а и д=с/а, то инте. грал от функции (3.15) можно привести к сумме интегралов: Мх+У М /' (2х+р)йЬ дйх =— + г,гв +дг"гг„гвй + йгг д Первый иэ них после замены и = хз+рх+д сводится и табличному интегралу 1, а для нахождения второго удобно испольэовать кодс~ивковку 4беля (Н. Абель (1802-1829)— норвежский математик) (гг*г+р*рд) = р =г.

12.21) 2 *гд-р гд После возведения средней и правой частей этого равенства я квадрат получим 4хэ+4рх+рз = 4йэ(хз+рх+д)г или 4д-р~ = =4(1 — 1э)(х~+рх+д), откуда следует Ьгпр,+д~" =( д Р) ' . 12.22) 4 ) (1 йэ)мд ' у в 122ц, м ггг~г+р Вд=*рр12 пы мчисления дифференциалов левой и правой частей этого равенн йн м угйд+р*д-дйгрггй*=2, и пун~ й1х „г' г». д. 1 — Ф' (3.23) 119 ЗА. Другие приемы интегрироевиие 1огда с использованием (3.22) и (3.23) получим 2рр ~ (Ф+ ") + '~о Условие выполняетсл, если, например> р= -и = 1. В этом случае 1 — 1 2Й 41+ 2 х = —, >1х = —, х+3 = —, 1+1! ($+1)2! $+1 ! х — х+1= , хз+х+1= т. ° е, интеграл от многочлена степени 2(т — 1). В частном ~учае при т = 1 можно написать Нх 4 ДР~ >*>.Я! 4> Р>> 4$ 2(2х+ р) 4» '>4>->>»>*>~ю+с В случае, если в (3.15) р~ й/а, применяют такую замену переменного интегрирования х, чтобы в обоих трехчленах исчезли слагаемые с первой степенью заменяющего переменного.

Последовательность вычислений рассмотрим на несложном примере. Пример 3.6. В подынтегральной функции ~(х)— ~> >.ц '>!. проведем замену переменного х = (ф+ р)/($+ 1), подобрав значения р и и так, чтобы в выражении хз~х+1— (рз ~ р + 1)1з + (2рр ~ (р+ р) + 2) 1+ рз ~ р + 1 (Ф+ 1)з обратился в нуль коэффициент при заменяющем переменном $! а именно 120 л. интеГРиРОВАние иРРАциОИАльных ВыРАжений и для рассматриваемой подынтегральной функции | 4 Г (гг+3)~/312+1 l (гг+З)~/3юг+1 | гй 1 1/3 Згй ~Г Иа (гг+3) ЯГ~1,/ гг+3,/Зги+1,7 вг+8 1 и 1 Згг+1 = — агсг8 — + С1 — — — агсг8 — + С1.

~/8 ~/8 ~/8 8 Для вычисления второго интеграла используем подстановку Абеля в виде т.е. ег г 27 8ег 2и (Ь 3(3 — ог)' З(З вЂ” ег)' (3 — иг)г' и получаем, принимая во внимание табличныи интеграл 14, | й 1 1 3 ° — Фй= (гг+3)~/Згг+1,| гг+3 ~/313+1 Згг 3 — иг 3 — иг о~Ь /' сЬ 27 8ог" ег (3 ог)г / 27 8ег ~/912+ 3+ 2~/21 З~/3+ 2~/2е 3~/3 — 2~Г2е 1 +Сг = — 1и 4~/6 1 = — 1п 4сГ6 с/9гг + 3 — 2~/2Ф К первому интегралу в правой части этого равенства приме. ним подстановку и = ~/Згй+ 1, Нв = (3$/ЯР+1) й, $г + 3 = = (вг+8)/3 и найдем, учитывая табличный интеграл 13, 3.5.

2)уыгоыоыетреческые ы гыпербаяыеескые подсяеыоякы 121 уьединяя результаты и заменяя 1 на х, находим (нг- ф1)г/*3».~вг хз+х+1 1 = ~Г8 агсф 2 2,/б + — 1в ,/,— г», в 1 ф * г/3/3 г/*2 в*в1 — *1/2/3 З.б. 'Х1зигонометрические и гиперболические подстановки Рассмотренные в З.З и 3.4 способы инупеерироеания фунивнв нв Я(*,А~фу*в ) Я,(*)/~/ Увг в г~ * свшаны с достаточно сложными выкладками.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее