Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Среди часто встречающихся в прикладных задачах рациональных функций, аргументами которых являются радикалы, следует выделить функции вида В х, — , ..., ' — , ..., ' — , (3.1) где пИ б И и к< Е Е (4 = 1, 1), а а, 6, с, е Е Й, д( / г~ь~ ) (3.2) в частности (3.3) В(х, ~/Р„(х)).
(3.4) Отметим, что подыитегральиую функцию В(х, ~/ах+6, ъ/Ь+е) В,(х) ~2 ~$ ~ где В,(х) — дробнораьиональнал функция аргумента х, и вообще функции вида 3.2. Интегрирование радикалов от дробив-линейной функции 101 за меной переменного ч/ах+6 = и можно свести к виду (3.2). Действительно, в зтом ~лу~ае из — Ь с сЬ х ее —, ~/сх+е ее -из — — + е ее Анз+ В, а а а ,де А = с/а, В = е — сЬ/а, и в итоге В(х, ~/ахи+6, ~/сх+е) = =я(, ~, ~/Аиг~-В) =я,(и, /А~г~ В1. а Здесь через В1 обозначена рациональная функция аргументов г в ~/АЗ+В. Для функций вида (3.1)-(3.3) известны достаточно общие приемы, позволяющие избавиться от радикалов, т.е.
преобра; зовать зти функции к рациональным функциям одного независимого переменного. 3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от дробно-линейной функции В (3.1) под знаками радикалов стоят целые степени дробнолннейной функции (ах+ 6)/(сх+ е), которая зависит от х лишь при условии Ь = ае — Ьс ~ О. Если обозначить г; = /с;/т; (г~ Е Я, е = 1, 1), то (3.1) можно записать в виде рациональной фУнкции от х и рациональных степеней дробно-линейной ФУнкции (ах+6)/(сх+е): Усть еп б г1 является общим знаменателем рациональных ~сел г; (а=1,1), т.е.
г;=р;/тп (р;бЕ). Используем замену веременного ах+6 сх+ е 102 3. интеГРиРОВАние иРРАциОнАльных ВыРАжений Тогда е~'" — Ь, ти1"' ~Ь /ах+ЬЪ"' х(Ф) = —, х'(1) = и ~ ~ =1 ' =В' а — с1 ' (а — сЕ"')з [ сх+е ) будут рациональными функциями переменного $ и в итоге где подынтегральнзл функция /е1 — Ь В (1) = В ~, Я, ..., 1г', ..., 1и ~а — сР" ~ Ф= ~/ „~ах+ Ь 1/ сх+е Ясно, что таким же путем можно найти интеграл вида В(х, (ах+Ь)", ..., (ах+ Ь)™', ..., (ах+Ь)"') Их, (3 7) которыйследует из (3.6) при с=О и е=1 (а~60), и интеграл В(х, х", ..., х"', ..., х") бх, (3.8) получаемый из (3.7) при а = 1 и Ь = О. Пример 3.1.
Найдем интеграл от функции 1/(~/х+ фхх), который соответствует виду (3.8), так как подынтегральнзл является рациональной функцией переменного 1. Таким обра- зом, интегрирование функции (3.5) можно свести к интегри- рованию рациональных дробей с последующим возвращением к исходному переменному путем обратной замены 3.2. Интегрирование рвянмаеем от древне линемн " функции " ой 1ОЗ ,ункци я является рациональной относительно переменных /х фх.
В данном случае г1 = 1/2 и гл = 1/3, т.е. для к обвык показателей степени общий знаменатель т = 6. в л 'огда сделав замену переменного х = 1 (Нх = 6$ й), придем 'огда, с интегралу | (' ~$ Р |'13д1 ,д- у.-=б,/р 13=6,~ ~+~~ вляющемуся интегралом от неправильной рациональной дроДобавлением и вычитанием единицы в числителе подынег эльной функции приведем дробь к сумме многочлена и равильной рациональной дроби, а затем проинтегрируем у- ' й =6 (л'-л+ )и~в 1+1 ,| С+1 г й /$3 $2 — 6/ — = 6~ — — — +1) — 6!п!1+ Ц+С.
$+1 3 2 Ьзвращаясь к исходному переменному х, получаем | = 2/х — Зф~х+б~вх ив 6!п(фхх+1) +С. ф ~~х+ фх Иногда к интегралам вида (3.6)-(3.8) удается прийти после редварительных тождественных преобразований. мр~» р зо. е ~~~~гнлы1 фу~каи~ 1~мйй7~-з7 етрудно преобразовать к функции 1 3 2 — х (2-х)372+ ' ВН~*~~л~ н ~~~~~~~~р ~ ~~~* * ф~г — ~Д~2 ~ ) ' данном случае т = 3 и можно использовать замену 3 2+х 104 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Отсюда гз 121г,Р1 1 1+ ез х=2 —, дх=— 1+гз« вЂ” (1+гз)г 2 х —,Из .
з ' Выполняя указанную замену переменного, получаем | ах /з2 — х дх )/)««. )«) ~ 7«+~)2 — )' (1+гз)г 121гаг 3 (д1 4$з)г (1+гз)г 4 / 1з | 3.3. Подстановки Эйлера Неопределенный ин)пеграл ))(~,«/*««.ь*«. )ь, «,ь, «««, ф«, ь«««4~«)3.9) можно свести к интегралу от рациональной функиии переменного $ при помощи одной из следующих замен переменного, называемых подсгпакоеками Эйлера. Первая подстановка Эйлера. Если в (3.9) а ) О, те полагают «« *).«ь* « =~.,(а~«. (3.10) Выберем для определенности перед,„Га знак плюс и после возведения обеих частей (3.10) в квадрат получим ах + Ьх + с = ах + 2хг~Га+ 1~, откуда х($) и х'($) будут рациональными функциями 1: Ф~ — с -гг /а+Ьг — с (а х(1) = и х'($) = 2 2~лГа (Ь вЂ” 2~„Я * 105 3.3.
Подстаыовсе Эйлерв 1~ рме того, гг-с ,/ т+ь+ -„„+~=,г+~. ь — 2г~/а 2 кнм образом, подынпгегралькал фуккцил в (3.9) после замены. (3 19) станет новой рациональной функцией В1($) переменноГо 1' ~~( / г~~ ~ )~ гг с гг с ~ гг~/а+Ьг с~/а В1($) й. Вторая подстановка Эйлера. Если в (3.9) с) О, то полагают /~~+Ь~~=*1~,/~. (3.11) Выберем для определенности перед ~(с знак плюс.
Тогда после возведения обеих частей (3.11) в квадрат будем иметь ахг ~-Ьх ~-с= хггг+ 2хг~/с+ с, 2йь~с-Ь, гг~(с-Ьг+а~с «® г х® 2 ( г)г и кроме того, 21~/с- Ь ,ЙР+ь~ =*~~-,~ = ~+,/.. а — гг одставляя эти выражения в (3.9), получаем | ~(х с/а ~+ь+ ) ю*= -2 1 121/с-Ь 2г,/с-Ь ~ г~,~Я-Ь$+аъ~Й Г 1~~, г .
г ) (. ггг /~''~~ 106 3. интеГРиРОВАние НРРАЦНОИАльных ВыРАжений т.е. подынтегральнзл функция будет некоторой рациоиальной функцией Вз(Ф) переменного 1. Замечание 3.1. Рассмотренный случай с > 0 всегда можно привести к случаю а > 0 (и иаоборот) заменой в (3.9) х иа 1/л, т.е. можно применять только первую (или только вторую) подстановку Эйлера,.
'Х1летьи нодстановка Эйлера. Если квадраивыб трех член ахз+Ьх+с имеет девстеительные нули а, ~8 б В, то можно положить »' »»+Ь«»=(» — «ф. (3.12) Возводя обе части (3.12) в квадрат и учитывая разложение ахз+Ьх+с= а(х — о)(х —,8), получаем а(х — а) (х — ф) = (х — а) 1~ и далее а,8 — абаз,,8 — а ,8-о х(1) =, х'(1) =2а1 и ахз+Ьх+с=а — Ф. а — лз (а-1з) з а-$2 Подстановка этих выражеиий в (3.9) приводит к тому, что подыитегральная функция становится рациональной функцией Вз($) переменного 1: | И(*, ~/й+Ьг г) Ю = Т /д8 ~л1з 8 о»» 8 щ =2а/ Я~, а — 1~ $й= К~ЯЙ.
/ 1 д 1з д 1з,~ (а 1з)г Замечание 3.2. В последнем случае при условии х ф о можно записать х-ф » в7+Ы+е=(*-«) х — о З.Э. Полстаыовке Эйаера ~ подынтегральную функцию в 3.9 считать рациональнои уикцией аргументов х и а х — Д)/ х — о). Этот случай расы ~р н 3.2, врач м и д ~/ ц~ а-7)l~~~-~)= 1 тождественна третьей подстановке Эйлера (3.12). 3амечание 3.3. Покажем, что первой и третьей подста ,овок Эйлера достаточно, чтобы во всех возможных случа ~к Р рациональной подынтегральной функции аргументов х и лр р~~ юл~в в п дмв рм в в „ нкции одного переменного Ф. В самом деле, если дискри- 2 ~ннант квадратного трехчлепа е — 4ас > О, то нули этого ~рекчлена действительные и простые (различные) и тогда применима третья подстановка Эйлера. Если же ез — 4ас(0, то ли трехчлена комплексные сопряженные и подынтегральная рункция в (3.9) имеет смысл при условии а > О, а тогда применима первая подстановка Эйлера.
Наконец, при Ьз — 4ас = О ~ули трехчлена действительные кратные (а = ф) и подын~егральная функция в (3.9) является рациональной функцией цного переменного х. Пример 3.3. а. Найдем интеграл от иррациональной фригии 1/Кх~+А. Так как коэффициент при хз положителен а= 1), то можно использовать первую подстановку Эилера, буричем в данном случае целесообразно выбрать в (3.10) перед Га= 1 знак минус, т.е. принять с/ау+А = -х+1.
При этом Р— А ~~+А ~~+А — Нх = — й, ~Гх~+ А = —, 1= х+ ч х + А. 21 ' 2Р ' 2$ 1одставив эти соотношения в подынтегральное выражение, ~впишем | ох /'28(1 +А)й 1«~ =!в(Ф(+С. озврап1аясь к исходному переменному х, получаем табличный "вмерал 16 — „длинный логарифм": | =!и ~х+ ~/х~+ А~+ С. ~х~ -~- А 3.4.
Другие аряемм интегрирования 109 гу умента $. Однако нужно иметь в виду, что, вообще говоря, яед едстановки Эйлера ведут к громоздким выкладкам, и поэтому я яим следует прибегать лишь тогда, когда не видно других яу утей к вычислению данного интеграла. Для вычисления «и иогих часто встречающихся интегралов от функций вида (3.2) уществуют более простые приемы.
Например, в 1.5 рассмотрены приемы нахождения инте»»ю фут» ~ ( ~ » )»»»»».»»., рый~н»~ »»- «полного квадрата под радикалом с последующей заменой я~-$/(2а) на $ можно преобразовать к двум интегралам: » ( х+ )~* Г 1~~+11~ «Б~~ь,~, 1,и+к 1»»»»+к 1,~й»+к' где М, 1Ч и К вЂ” новые коэффициенты, получающиеся после замены переменного. Первый иэ интегралов справа можно привести к интегралу от степенной функции, а второй — к логарифмической функции (при а > О) или к арксинусу (при я(0, К > О).
Ниже рассмотрнм и другие приемы вычисления неопределенных интегралов от функции вида (3.2), отличные от подстановок Эйлера. Функцию (3.2) тождественными преобразованиями можно пРивести к сумме дробно-рациональной функции и функции лида (3.3). Действительно, представим (3.2) дробью ( Р»~»».»»~)~/ »~6~». В х, ах~+эх+с)— ~(*) + е. (*)»ЙР +Й». "де Р'(х), Р,(х) и Ч'(х), Ч,(х) — многочлены.
Умножая числитель и знаменатель этой дроби на выражение Р,»»»-'»»,»»)~/ х~~.В~~~ опускал обозначение аргумента х у многочленов, получаем Р'Р. — ц'е.(»' >ы».~)». я'Р. — Р'ц.)»»*»й +а РЯ вЂ” Чэ(ахз+ Ьх+ с) 110 з. ИитВГРИРОВЛНИВ ИРРЛЦИОНЛЛЬНЫХ ВЫРЛжиинй или в итоге /~(*, ~/ы'+~~.с) =~(*)+ В,(х) ах +Ьх+с где В(х)— Р'(х) Р,(х) — Я'(х)ч,(х) (ахз+ Ьх+ с) Р~(х) — Щ(х)(ахз+ Ьх+ с) В,(х)— (Р, (х)Я'(х) — Р'(х)Я,(х) ) (ахз + Ьх + с) Р~(х) — Я(х)(ахз+ Ьх+ с) Интеграл от дробно-рациональной функции В(х) нетруд но найти способами, рассмотренными ранее (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
