Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 12
Текст из файла (страница 12)
О2 г. ИНтНП'ИРОНЛНИН РЛЦИОНЛЛЬНЫХДРОННИ Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе шести уравиеиий Е+Г =О, -А + Е+2Г+ С=О, -В + Е+ Е+ С=О, А -В -ЗР+2Е+2Р+20= О, 2А -2Р+ Е+ Е+2С=О,  — Р+ Е +С=1 хз хо с шестью неизвестными. Из первого уравнения имеем Е= = -Е. Тогда из третьего получим В = С, а четвертое и пятое уравневия примут вид А+С-30= О и А+С- Р= О, 2С вЂ” Е = О, 2С+ Е = 1, имеющей решение 0=1/4 и Е=1/2. Затем найдем А= — 1/4, В=1/4 и г =-1/2 и вместо (2.41) запишем | Их г (х+1)' (хг+1Р 4(х+1)(х'+1) Последний интеграл справа разложим па два и в первом из иих подведем 2х под знак дифференциала.
В итоге получим Их хг (х+1)г(хз+1)г 4(х+1)(хз+ Ц 1 2 +-1п~х+1~ — -1п~х +1~+-ассах+С. 2 4 4 откуда следует, что Р=О и А=-С. Теперь второе и шестое уравнения приводят к системе уравнений ах на Иитегрироиаиие раииоиааьиых функций, содержащих биномы 93 Дополнение 2.2. Интегрирование рациональных функций, содержащих биномы Рассмотрим некоторые случаи, когда подььнтегральная рациональная функция содержит бином (двучлен) вида а+Ьх (а, ЬЕхьь т Е ьь). 1. Если эта функция является многочленом относительно еременного х, то интеграл от такой функции по х будет Линейной комбинацией интегралов ) (а+Ьх )™йх (и Е ьч). Ка,кдый из таких интегралов может быть найден путем разложения (а+Ьх )" по формуле бинома Ньютона.
2. Если подынтеграяьнал функция имеет вид х~(а+ Ьхоь)", где й и п — натуральные числа, наряду с разложением бинома возможно интегрирование по частям с понижением степени, в которую возводится бином: и=(а+Ьх )", ььи=птЬх '(а+Ьх )" 1йх ао = х" ах, о = хе+'/(Й+ 1) — х~+ (а+ Ьх~)" 'ах.
(2.42) й+1 «+1~ хь частном случае к = т — 1 подведением под знак дифференциала множителя х ' найдем (а+ Ьхоь)о+ь — + С. (2.43) т(п+ 1) Ь осли показатель степени й можно представить в виде й = 1)т — 1 (1Е Х), то целесообразно сначала применить 94 г. интеГРиРОВАние РАциОнАльных дРОБей интегрирование по частям, обозначив и = х ь-пав+1.
Г х" (а ~- Ьх'") "4х = хь +1 х '(а )-Ьх'")" 11х = и=ха '"+', 11и = (/с — т+ 1)хь 11х 1(о=х 1(а» Ьх~)" 11х, о= (а+ Ьх ) "+' оз(п+ 1)ь — ) + а (2 44) Используя (2А4), после ! последовательных интегрирований по частям придем к интегралу ) х '(а+Ы")"+'11х, вычисляемому при помощи формулы вида (2.43). Пример 2.15. Проинтегрируем функцию хз(1+ хг)зз, Ясно, что в данном случае при и=33 применение формулы бинома Ньютона не рационально. Согласно (2.44), при х = 5, пг = 2 и 1 = 2, дважды интегрируя по частям, получаем х~(1+хг) 11х= — — ~ х (1+х ) ах= | ха(1+ хг)м 4 ~ з 68 68,/ хл(1~- хг)з4 хг(1~- хг)зь 68 17 70 17 70,/ | х(1+ хг)зм,)х +С. 4(1+ г)з4 хг(1+ г)зз (1+хг)зе 68 1190 42840 Отметим, что (2.42) остается в силе при хб Е~(-1) и 6 Е, а (2.44) — при х Е Е и и 6 Е ~ (-1).
В частном случае когдабином линейный (п1=1) и х б г1, х~(а+ Ьх)" йх = — „ / (Х вЂ” а) Х"НХ = | а (2.45) й1( а)1(а+ ох)и+и-ьь1 бь+1 ~~~~-~ 11(х — 1)1(х+ и — 1+ 1) ' '=о Л е, Интегрироаание рациональных функций, еодериаших бинома( 95 где Х =а+бх, причем слагаемое в сумме при 1 =6+п+1 (это сл гаемое присутствует при 1 < -и < 1+ 1) следует заменить на а выражение ( а ) Й + ~ + 1 (6+и+1)!( — и — 1)! 1п ~а+ Ьх~. 3.
Если и 6< 0, и и < О, то, обозначив х=-6 и и=-п, учетом (2.45) можно написать | Их х (а+6х)"(!х= / ,! х"(а+6х)" 1 / (Х/х 6) +е-з (!Х = а"+"-1,)! (Х/х)" (2.4б) -1 ~~-~ (н+ и — 2)! (-6)'(а/х+ 6) а +" ' '~е е1(и+и — ! — 2)!(ее-! — 1) юие причем слагаемое при ! = ее- 1 следует заменить под знаком суммы на ( «- -«))(-«)" ' (» — 1)! (и — 1)! '(х 4. Если подыптегральное выражение (а+ бх)" (р+ (!х)е(!х включает произведение двух линейных биномов, то заменой переменного х = (х — р)/9 зто выражение можно привести к уже рассмотренному виду хь(Ь+6х)"йх/д"+', где А=ад-6р.
Рассмотрим подынтегральную функцию х" /(а+6х )" ("ба«и б И) для некоторых значений еп. При )и= 2 нечетном 6 = 2!+ 1 (! б Е) нодынтаегральное выражение (!х/(а+ 6хз)" подстановкой хз = х (2х Нх = (!х) можно лни свести к выражению (1/2)х((!х/(а+6х)", содержащему линей- и мпбином.
В случае четного 6= 2! (! Е И) интегрированием 0 частям | ««~~ («+«~«) 2(» — 1)Ы»ь««)"-~ 2(» — 1)ь«(~»ь*«)"-~ 96 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ следует последовательиопонизить степень х под знаком инт~. грала до нуля и затем воспользоваться обобщением рекурревт. ного соотношения (1.27) Г ах х (а+6хз)" 2(и-1)а(а+Ьхз)" ~ и > 1. (2.47) 2(и — 1)а,/ (а+Ьхз)" 1 При интегрировании функции вида 1/(х" (а+ Ьхз)") (м, и б 1ч) проще всего использовать ее разложение на проспьеашие рацио. нальпые дроби (см.
2.3). В случае т = 3 можно пойти таким путем. Подынтегральное выражение преобразуем при и > 1 и Ь б Е к виду хмдх хь-змдх хй-зи+4 д(а/хз+Ь) (а+ Ьхз)" (а/хз+ Ь)" За (а/хз+ Ь)" ' Далее интегрированием по частям | х дх 1 л за+4 д(а/х + 6) (а+ Ьхз)" За / (а/хз+ 6)" й-зи+4 Ь вЂ” Зи+ 4 хь-з"+за За(и — 1)(а/хз+Ь)" 1 За(и — 1) (а/хз+Ь)" ' хй+1 х — Зи+4 | За(и — 1)(а+Ьхз)" 1 За(и — 1),/ (а+Ьхз)" ' последовательно попизим до единицы степень бинома в знаме. нателе подынтегральной функции, а затем также иитегрировзнием по частям по формулам | х~ах х" з а /' х" зах а+Ьхз (Ь вЂ” 2)Ь Ь,/ а+Ьхз' или | и* Ь 1 д* з х"(а+Ьхз) (м-1)ах -' а,/ х" з(а+Ьхз)' Вопросы и задаче яр идем к одному из следующих неопределенных интегралов: | Нх а (х+ а)г а 2х — о — = — 1и + — агсгб — + С; а+ Ьх' ба ~хг — ох+ ог~ еЯ о~/3 | хИх 1 (х+а)г 1 2х — о — = — — 1и + — агсг6 + С; а+ Ьхз 6а6 ф — ах+ аг( аЬ~(З а~/3 где а= фа/6.
Аналогичный прием можно использовать и в случае других значений пг Е И. Вопросы и задачи 2.1. Доказать, что если в (2.1) числитель и знаменатель не имеют общих нулей, т.е. рациональная дробь несократима, то и яравильнал рациональная дробь, выделенная из (2.1), согласно (2.2), также несократима. 2.2. Найти интегралы от функций: г 5 хг хв- хг — 1 а); б) хв бхг+6 (хг+бх+6)г' хв+ х4+ хз+хг+ х+1 в) хг 1 1 1 г); д) и тЕИ; е) а+Ьх4' х(а+Ьх~) хг~+1' ' а+Ьх4' х 1 а) —; з) а+Ьх4' хы+2хв+х 2.3. Найти рациональную часть интегралов от правильных рациональных дробей: ~ Зхв+4хз+х 2 бхв 1 64хт 7хв (хз+х+1)г ~ (хе+1)г~ (1+хе)г г) 2 Зх+ хг (х+ 1)г(хг+ х+ 1)г ОЗ г.
интегриронлнии рлционлльных дроний 2.4. Применяя метод Остроградского, найти интегралы о, рациональных функций: 2 — Зх+ хг 4хз — 1 х~з 1 (х+1)г(хг+х+1)г' (хз+х+1)г' (х4 — 1)з' ) (хз+1)г (хз+ 1) (х 1)г,е+ 1 д) (хз+ х+ цз' х4+2хз+Зхг+2х+ 1' (хг+ х+ 1)г.
2.6. Найти условие, при котором интеграл от заданвов функции является функцией рациональной: ахг+ бх+с а1хг+ 61х+ с~ а) б) Ь вЂ” 4ас -,Е О и а ф О хз 2ха+хз' ' (ахг+Ьх» с)г Р„(х) в), где Р„(х) — многочлен степени а. (х — а)»+1 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Под ирраииокальнььм понимают выражение, в котором евависимое переменное х или многочлен Р„(х) некоторой тепени к б И входит под знак радикала (от латинского гала — корень), т.е. возводится в дробную степень. Таким образом, в отличие от рационального выра»гения В(х), в котором при вычислении его значения над х проводят только арифметические действия (сложение, вычитание, умножение в деление) и возведение в целую степень, в иррациональном выражении выполняют еще и извлечение корня.
В предыдущей глз,ве изложены правила интегрирования рациональных функций. Некоторые классы иррациональных относительно х подынпьегральных выра»гений заменой переменного удается свести к рациональным выражениям относительно нового переменного и применить уже известные правила интегрирования. Ниже рассмотрены характерные случаи, в котоРых возможно такое преобразование. 3.1.
Рациональные функции от радикалов Понятие рациональной фуккиии одного переменного можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым из аргументов и, и,..., в при,вычислении значения функции Редусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргуцен тов, которую обычно обозначают В(и, и,..., ю). Аргументакой функции могут быть сами функциями независимого иерем енного х, в том числе радикалами вида 'фх (пз Е И) «Ж~», где Р„(х) — многочлен степени кбХ. Например, 100 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ рациоиальиал функция и+ о2 В(и, о, ти) = о = ф'х и ш = ~/х~+ 1 является рационально» при и =х, функцией от х и радикалов фх и ~Й~+1, тогда как функция Дх) будет иррациональной (алгебраической) функцией одиого независимого переменного х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
