Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 7
Текст из файла (страница 7)
рис. 1.9), ограниченной сверху граф»- ком непрерывной на отрезке [а, 6] функции ~(а+0), х = а; и(х) = Дх), х Е (а, 6); У(6 — 0), х = Ь. (1.31) Таким образом, неотрицательная и непрерывная в конечном промежутке Х функция с конечными пределами соответственно справа и слева на концах этого промежутка всегда имеет первообразную в промежутке Х. Следствие 1.1. Любая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция Дх) имеет на этом отрезке первообразную. ~ Если Дх) > 0 Чх Е [а, Ь], то существование первообразной следует из теоремы 1.4.
В противном случае в силу ограниченности непрерывной на [а, 6] функции Дх) всегда можно подобрать постоянное число К>0, такое, чтобы Дх)+К) 0 Чх б [а, 6]. Геометрически это означает, что график функции Если функция у = Дх) неотрицательна и непрерывна в полуинтервале (а, 6] и имеет конечный предел 1пп Дх) = У(а+ 0) > О, (1.30) то аналогичным образом можно показать, что площадь Я(х) переменной криволинейной трапеции, ограниченнон сверху графиком непрерывной на отрезке [а, 6] функции У(а+ 0), х = а; У(*) * ( 6] будет первообразной функции Дх) в полуинтервале (а, 6], причем Воаросм» задачи у(х) достаточно сдвинуть вверх вдоль оси ординат, чтобы олучить криволиненную трапецию, образованную графиком ,еотрицательной функции Дх)+ К. Согласно теореме 1.4, функция Дх)+ К имеет на [а, о] первообразную, которую , бозначим Ф(х), т.е.
Ф'(х) =Дх)+К. Поскольку (Ф(х)-Кх)'=Ф'(х)-К= фх)+К)-К=Дх), функция Р(х) = Ф(х) — Кх будет первообрззной функции Дх) на отрезке [а, 6) 3' 3емечаине 1.7. Итак, достаточным условием существования у функции первообразной на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Функция, непрерывная в некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет первообразную на любом отрезке, включенном в этот промежуток.
Значит, такая функция имеет первообразную на всем рассматриваемом промежутке, что и было сформулировано в утверждении 1.1. Вопросы и задачи 1.1. Функция Дх) имеет первообразную на всей числовой прямой и является: а) периодической; б) знакопостоянной; в) четной; г) нечетной. Будет ли в этих случаях обладать свойствами периодичности, монотонности илн четности первообразная этой функции? 1.2. Имеет ли первообразную на всей числовой оси функция У(х) = еипх? 1.З. Найти первообразную, график которой проходит через точку (хо,.уо)> для следующих функций: а) 1/~/х+ е)п (1+ х), х ) О, хо = Уо = 1~ ) 2Й вЂ” 3/х~, х < О, хо=-1, уо=1; х Е 11> хо— - -2> уо = 4. ь неОпРеделенный интеГРАл 52 1.4.
Найти на всей числовой прямой неопределенный интеграл от функций: а) х~х~; б) (1+ х~ — (1 — х~; в) (2х — 3)~х — 2~; г) так(1, хз); ) 1 — х, ~х~<1; 11 — ~х~, ф>1; 1, хЕ(-оо, 0); 1+ х, х Е [О, 1]; 2х, хб (1, +со). 1.6. Используя подведение под знак дифференциала и подстановку, проинтегрировать функции: з а) Сйх; б) ссп4х; в) —; г) Фйзх; д) —; е) совх ' спх' впх' ж) —.; з) .; и) х~(2 5х; к) х ~/1+х~; л) — > 1 1 зз 2.
в[п4х' в1пхсовзх' 1+ел ' 1 хз — 1 х х м); н); о); п) х1пзх х4+ 1' ф1 — 3х ее р) /~~в 1Я. Проинтегрировать заменой переменного функции: а) х(5х — 1)~~; б); в); г) хс/1 — хз х~/4 — хз (3 - х)7 еле езе 1 д) —; е) —,; ж); з); и) *+ча' 1+»*' ~л:Р' ч~~~*',лг~~ ч' к) 1 х+2 1 1 ,Л вЂ” ад$ — «) 1+#+в ~д+~~' ~(й+Кк л) м) ; н) в1пз х хз ~) Дг- Ц~ — *); н) узла~~; р) —,; ) сове х ~/х1 — 2 т) —; у) х —; ф) 1.Т. Найти первообразную Г(х) при х >О функции У(х), если у'(хз) = 1/х и график этой первообразной проходит через начало координат. 53 Всеросы и задаче 1.8.
Интегрированием по частям найти неопределенные интегралы от функций: )и ~~ы; 6) (~ив*); » ъ~ г — Р; ~)! (*+~/4+ ~); д) х агой х; е) х(агсгбх); ж) х~/1хз агсв1п х; з) агс18~/х; х — в1пх хе 'ве и) хз~/х~+а; к) в1пхсйх; л); м) 1 — созх (1+ хз)з х1п(х+ ~(Г+ хз) хагссовх 1и * о) н) Д+ 'з ' (1 х~ ' хз~Г'х 1.9. Интегрированием по частям (см. примеры 1.14 и 1.16) найти неопределенные интегралы 1.10. Построить рекуррентные формулы для неопределенных интегралов 1» (и б И, п ) 2): 1 ех х" г1х а) 1» = соз"хдх; б) 7» = / —.„~ в) 1» = / ,/ в!и" х ,/ Чх~+а Их г) 1„=~ —. / .и" ' 1.11.
Доказать, что | е'* в Р~ 1(х) Р„(х)е' г1х = — ,'1 1(-1) + С, а С в=о где Р„(х) — многочлен степени п и а ~ О. 1 12. Проинтегрировать функции: а) е 'агсзйе', б) совз1пх; в) х'е '; г)!п(~(Г-х+Д+х); агсз1пх 1пз1пх х1п(х+ ~/Г+ хз) д) хв1п ~Гх; е); ж) —.; з) 1 х' ' в1пзх ' (1- х')' 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Известно, что производная элементарной функции тоже является элементарной функцией, и дифференцирование выполняют по достаточно простым общим правилам. Но неопределенный иктпеграл даже от сравнительно простой элементарной функции может не принадлежать к классу элементарных функций (например, интегралы от функций е, в!их/х, согх/х, г)пх~, совх~, 1/!пх). 0 таких неопределенных интегралах говорят, что они не берутся в конечном виде (не выражаются через элементарные функции) и кратко их обычно называют неберуиаилеисл интиегралами.
В отличие от дифференцирования общие правила июнегрировакил существуют лишь для некоторых видов элементарных функций. Наиболее важными иэ них являются дробно-рациональные функции (или рациональные дроби). К интегрированию рациональных дробей приводят многие рассматриваемые далее варианты замены переменного. Поэтому очень важно уметь интегрировать дробно-рациональные функции. 2.1.
Дробно-рациональные иодынтегральные функции Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида /!х) =— Р (х) Я»(х) ' (2.1) в общем случае являющиеся отношением двух многочленов т Р (х) =Ьох +Ь|х~ '+...+Ь 1х+Ь =~) Ььх™, Ь фО, ь=о З.ь дровец-раццоцальыне цодыцтегральцие функции 55 Я„(х)=аох" +пах" '+...+а„-~х+а„= > аьх", аот.О, ь=о степени гп и п соответственно. Будем считать, что много- члены Р (х) и Я„(х) с действительными коэффициентами не имеют общих нулей, т.е.
дробь в (2.1) несократима. В частном случае при в=О, когда Я„=ее~О, (2.1) является просто многочленом степени ти. Если а > т > О, то рациональную дробь называют врави вной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов 111], неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена Р„, „степени ш-а и некоторой правильной дроби, т.е. (2.2) где многочлен Р~(х) имеет степень ! ( в. Ясно, что если в левой части (2.2) числитель и знаменатель не имеют общих нулей, т.е.
рациональная дробь несократима, то и правильнал рациональнал дробь Щх)Я„(х) в правой части (2.2) также несократима. Деление многочленов можно провести „уголком" 1И] или же преобразованием числителя неправильной рациональной дроби, добавляя к нему пары слагаемых, равные по абсолютной величине, но разные по знаку. Пример 2.1. Числитель неправильной рациональной дроби 2хз+ Зхз — Ьх+ 8 хз+ Зх+ 7 преобразуем так, чтобы в нем выделить слагаемое, кратное бб г. интегриронлник рлционлльных дроннй знаменателю и включающее старшую степень аргумента х: 2хз+ Зхг — бх+ 8 хг+ Зх+ 7 2х(хг+ Зх+ 7 — Зх — 7) + Зхг — Зх+ 8 хг+Зх+ 7 2х(хг+ Зх+ 7) - бхг — 14х+ Зхг- бх+ 8 хг+ Зх+ 7 — Зхг-19х+8 -3(хг+Зх+7 — Зх — 7) — 19х+8 =2х+ =2х+ хг+Зх+7 хг+Зх+7 -З(хг + Зх + 7) + 9х + 21 — 19х + 8 = 2х+ хг+ Зх+ 7 -10х+ 29 10х — 29 = 2х — 3+ =2х — 3— хг+ Зх+ 7 хг+ Зх+ 7 В данном случае преобразование числителя неправильной ра- циональной дроби пришлось провести дважды.
Таким образом, неопредгленныб интеграл от рациональной дроби, согласно его свойству линейности, в общем случае можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Поэтому далее рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей. 2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей Среди правильных раинональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к лрос~пебшнм рациональнььн ороблм: А ) В ) Мх+Ж 4) Мх+Ж х — а' (х — а)" ' хг+ рх+ е' (хг+рх+ 9)"' 2.2. Иытегриы от вростейшех рацконвльных дробей 57 — = А!п~х — а~+С, | АНх х — а (2.3) = В / (х - а) а(х - а) = ВИх (х — а)~,/ -и+1 (х-1)(х-а)"-' Здесь использованы щабяичкые интегралы 2 и 1 соответственно.
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе (см. 1.5 и пример 1.10.а): Мх+ Ф Мх+ Ф х2+рх+у (х+р/2)2+у — р2/4 (2.5) Так как нули знаменателя комплексно сопряженные, то ив — р2/4 > О, и поэтому можно обозначить и — р /4= а . Обо- 2 2 эначив также х+р/2=2 (х =2 — р/2, Их = й), преобразуем знаменатель в (2.5) к виду х2+ рх+ д = Р+ аэ и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме | Мх+ У ~г Мх+ Ж ах= их= хэ+ рх+ д,/ (х+ р/2)2+ у — р2/4 М(2-р/2)+М„, ~М1+И-рМ/2„, 12+ а2 / 12+ а2 где е й > 1 — целое и р2 — 4в(О, т.е. нули квадратного трех- член, на стоящего в знаменателе дробей третьего и четвертого типо пов комплексно сопряженные (соответственно простые и кра тные с кратностью куля Й) и поэтому трехчлен не обра ! Ш ается в нуль ни при каком значении х Е И.
Вычисление неопределенных иктеграяов от простейших ра пио опальных дробей двух первых типов не вызывает затруднений: бб г. интягрировлник рлционлльных дровий Последний интеграл, используя линебносп2ь неопределенного инп2егра(2а, представим в виде суммы двух и в первом из них подведем $ под знак дифференциала: | М ГН(гг+аг) 2И вЂ” рМ /' ~1С 2,/ 2г+аг 2 ./ В~+а~ г г 2Р~-РМ = — 1в ~г + а ~ + агсгб -+ С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
