Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ди 1 и 1 и ,/ из+аз а а а а ,/ из — аз 2а !и+а! 15. / =агсз!и — +С=-агссоз — +С1, аф Г Ни . и и О. ~(ау- из а 16. / — !п~и+ ~ГГи~+А~+С. Г ~/Р~А и'+г 1. и*аи = — + С, в ~ -1. в+1 2. — = !и !и!+С. и ан 3. а"Ыи= — +С, а)О, а~1. !па 4. е"г!и = е" + С. 5. з!пиИи = — сози+С. 6. совиНи=з!пи+С.
7. / — = сби+С. Г И~~ / совзи 8. / —. = -сгби+С. Г Ии з!пзи 9. зйиг!и =сйи+С. 10. сйиди=зйи+С. 11. / — = й и + С. Г ди ,/ сйзи 12. / — = — сспи+С. Г Ни /.ь.— 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Замечание 1.2. Формулы 13-16 непосредственно не след ют из таблицы производных, представленной в [1Ц, но сира; дуют ведливость этих формул нетрудно проверить дифференцированием, используя свойство 1' (см. 1.3).
Формула 16 в случае А=О верналишь при условии и>О. Табличные интегралы 14 и 16 иногда называют „высоким" и „длинным" логарифмами соответственно. Пример 1.6. а. Найдем неопределенный интеграл от функции У(х) = 2ф! — Зг~. В силу линейности неопределенного интеграла получаем | (г,й — зе) г. = 1|,'ла — в |~*а* = = — х'~'-3г +С=-х,/х-3г +С, х>О. 3/2 3 Здесь использованы табличные 'интегралы 1 и 4. б. Для вычисления неопределенного интеграла от подынз тегральной функции /(х) = (~/х — 2фх) /х, х > О, сначала возведем выражение в круглых скобках в квадрат и разделим почленно на знаменатель х: (ч'х — 2~/х) х — 4х + 4х 4 1/в 4 ~/з х х Представив теперь искомый неопределенный интеграл в виде линейной комбинации трех табличных интегралов вида 1, наидем | И=|И -4|* ~~~И~+4|~ ~~~И х 5/6 2/3 5 в.
При нахождении неопределенного интеграла от функции 1/совэ(х — 5) используем тот факт, что добавление к переменному х постоянного числа 5 не изменяет дифференциал ох, 27 1.4. Основные иеоаредмеииые иитеграаы т.е. Н(х+ 6) = Нх. Учитывая свойство 5' инеариантности неопределенного интеграла (см. 1.3) и используя табличный интеграл 7, получаем | дх ( д(х — 5) сове(х — 5),/ соез(х — 5) =18(х — 5)+С.
г. Чтобы неопределенный интеграл от функции в67х свести к табличному вида 9, следует под знаком дифференциала получить выражение 7х, которое является аргументом гиперболического синуса. Используя возможность вносить под знак интеграла в дифференциала постоянный ненулевой сомножитель, находим | 1 Г 1 вп(7х) ох = — / вп(7х) Ы(7х) = -сй(7х) + С. 7,/ 7 д. При вычислении неопределенного интеграла от функции Дах+ 6) также могут быть полезны свойства дифференциала, использованные в двух предшествующих случаях: Яах+ 6) Нх = — / Дах+ 6) Ы(ох+ 6) = -Г(ох+ Ь) + С, | 1 Г 1 где К(и) — некоторая первообрезнзя функции Г(н). В част- ности, для функции Дох+ 6) = (ах+ 6)т получим (ах+6) Ых= — ~ (ох+6) Н(ох+6) = +С. | 1 Г 7 (ах+6)в а,/ 8а Ъесь снова использованы инвариантность неопределенного интеграла и табличный интеграл 1.
Заыечаиие 1.3. Целью первых четырех глав этой книги я является освоение техники интегрирования, т.е. освоение приемо Н риемов и навыков построения „цепочки" преобразовании, свощ~х вычисление исходного неопределенного интеграла к та- 28 к неОпРеделенный интеГРАл бличным интегралам. Поэтому впредь не будем обсуждат области существования подынтегральной функции и ее перво. образной, кроме, разумеется, тех задач, где это требуется по условию.
Замечание 1.4. В результате различных преобразовании подынтегральной функции можно прийти к разным выраже ниям для первообразной. Надо помнить при этом, что в силу теоремы 1.1 эти выражения могут различаться только на константу. Покажем это на простейшем примере вычисления двумя способами неопределенного интеграла от функцни (2х — 1)г.
В первом способе представим дифференциал Их в виде Их = (1/2)Н(2х — 1) и в силу инвариантности неопределенного интеграла получим | 1 г г (2х — 1) (2х — 1)г~1х = — / (2х — 1)гп(2х — 1) = +С~. 2,/ Во втором способе выполним возведение в квадрат и разложим исходный неопределенный интеграл натри табличных интеграла 1: (2х — 1) Ых = (4х — 4х+ 1) Ых = 4 з г / 3 =4 х~Ых — 4 хИх+ ~Нх=-х — 2х +х+Сг. Выясним различие в полученных двух выражениях перво- образной, для чего преобразуем первое выражение: (2х — 1) 8х — 12х +бх — 1 4 з г 1 Из сравнения полученных результатов видно, что оба выр а вы ажеи п внять ния для неопределенных интегралов совпадают, если при Сг = С~ — 1/6.
~ и Ивтегрврованне подстановкой в заменой переменного 29 1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного П и иктегрироеании подведением под знак дифференциадользуют инвариакткость неопределенного иктеграла и да испо преЛа „полагают, что в (1.12) первообразнэл Г($) функции Д1) из вест тна. Однако часто подведение под знак дифференциала явл ляется лишь первым, подготовительным этапом перехода от ис исходной подыктегральной функции д(х) к более простой додынтегральной функции /(Ф), первообреэную которой еще предстоит найти. В этом случае (1.12) применяют в виде Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в левой части (1.14), представляют д(х) в виде произведения /(и(х))и'(х), подводят и'(х) под знак дифференциала, обозначают и(х) через $ и, подставляя в подынтеградьког еырахсекие 1 вместо и(х), находят неопределенный интеграл от более простой функции Д1).
Затем, полагал 1= и(х), возвращаются к первоначальному аргументу х. Такую процедуру называют икепегрировакием подспьаноекоб. Пример 1.7. а. Подынтггральное выражение в неопреде- ленном интеграле | ее ах езе+2ее — 3 пРеобразуем к виду Ы(е +1) Ы(г') еэ +2гв 3 (ге)з+2г — 3 (е +1) — 4 выделив д ив в знаменателе полный квадрат и венство е ах,1( ) а( + Ц. ОбозначаЯ е +1 чеРез ь неОпРеделенный интеГРАл ег ал 14 относительно перемен приходим к табличному интегр у ного 1: еременному х, окончательно запи Возвращаясь к исходному пере ,/ ез'+2е — 3 4 1~+3! з б. В интеграле х в1п х х з ' ах~ох подведя сомножитель х под знак дифференциала и обозначив р ха че ез $, запишем | 3 ° 3 41 1 2( 4) Ц 4) 1Й 4,/ Чтобы свести полученныи неопределенн " р ый интег ал к линенпонизим степень трнгонометрнной комбинации табличных, пони ческой функции, перейдя к двонному у у, гл т.е. используем равенство в1п 1= ( — сов з — (1 — 21)/2.
Принимая во внимание табличный интеграл 6, получаем | в1 Н =- (1 — сов21)Й=-/ Й вЂ” -~ сов2$Й= 1 2 $ 1 в1п 2$ 2 4 сов21И(21) = — — — +С. Возвращаясь к исходному переменному х, находим 1|1 в1п21 ~ х в1п(2х ) х~дх = -|- — — +С! 4~2 4 В предыдущ их примерах при нахождении неопределенного интеграла мы использовали подстановку вида и,х = . трим теперь нювеерироеонне зале залвеноб «ереме«ного, т.е.
метод, основанный на замене вида х = у(1). ьб егрирование подстановкой и заменой переменного 31 а 1.2. Пустьфункция х=у(1) непрерывно диффегеорема а в промежутке Т, а функция у=/(х) непрерывна ренцируема „ке Л Э 1о(Т). ПУсть, кРоме того, длЯ фУнкции <Р(1) в промежут олнены условия." 1) производная г'($) отлична от нуля ~Й с Т; ) - н диня р(1) имеет обратную функцию Ф= <р '(х). 2 фУн Тогда справедливо Равенство /и )и =/Др(й))у(В)а! . ~1.15) В силу условий теоремы подынтегральные функции в левой правой частях (1.15) непрерывны.
Следовательно, согласно утверждению 1.1, оба интеграла в (1.15) существуют. Для доке зательства теоремы покажем, что производные по переменному х обеих частей (1.15) равны между собой. В соответствии со свойством 1' неопределенного интеграла (см. 1.3) производная левой части (1.15) (1.16) По условию теоремы ф(1) ~0 Ф Е Т. Поэтому в силу теоремы 2.3 [П] о дифференцировании обратной функции существует производная 1' и 1' =1/у'(1). Праваячасть(1.15) является сложной функцией с промежуточным аргументом Ф.
Согласно правилу дифференцирования сложной функции [П], (//(~И))ю'о)а) = (/ пд(е)~фа) ~.'= = (У( р(1)) р'(1)) —, = У(1а(1)) = У(х). (1.17) Ф(1) Из (1.16, ( ' 6) и (1 17) следует справедливость (1.15). ~в ПРиме функции 1 з Р мер 1.8. Вычислим неопределенный интеграл от 1/(х~Й~ - 1), используя замену переменного * = 1/1. 32 ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ При этом х=-( / ) Н = -(1/гз) й и 1= 1/х что позволяет исходнын 1 неопределенный интеграл привести к табличному вида 15: | „/з=-,=-|,а,л7~Г=-,~,=„.=-|,/-,=-~! ц.= 1 = агссоя$~, + С = агссоя-+ С. Замечание 1.5. В записи выкладок при интегрировании заменой переменного снмво л ! обычно опускают, а необходимую информацию о замене помещают в разрыве ра венств перед началом преобразовании.
Пример 1.9. а. Неопределенный интеграл от функции 1/(е*+ 1) можно вычислить, выполнив замену переменного х= -!и1: *= -)и! Нх = -й/8 1=с ~ й |'й 1(1/1+ 1) | 1+! е*+ 1 = — !и!1+1!+С= — 1~!е +Ц+С. 1+1 Ясно, что здесь использован табличнын интеграл 2. б. Для вычисления неопределенного интеграла от функции х/~х+ 1 удобно сделать замену 1= ~/х+ 1: 1 = ~/х+1 х=г — 1 з Их = 21й (~ -1)2 й =2 ($г 1)й Ф /х+1 з 2 3 =2 1~й — 2 И=2( — — !)+с=-Ла+ц1 — 2чт+т+с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
