Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 6
Текст из файла (страница 6)
/ (Х2+ а2)п+1 (Х2+ а2)п Отсюда получим рекуррентное соотношение 1» 1 = — + (211 — 1)~'а, (1.27) + 2п 12 ~( .2+ 12)» покоторому последовательно, знал 11, можнонайти 12, затем по 12 найти 12 и т.д. вплотьдоискомогоинтеграла 1»+1. ф В некоторых случаях полезно сначала заменить г1еремеикое иигпегрировамия, а затем применить интегрирование по '1астям. учитывая (1.25), из (1.24) находим , аейпЬх — ЬсовЬх ,7о — — еевв1пЬхИх=еев +С.
(126) а2+Ь2 ь нкопрядклкнный интегрлл 44 Пример 1.16. Вычислим интеграл от функции сов~/х, сделав предварительно замену переменного: гг т1х = 28Й Ф = ~/х = 2 $сов1Й = =2 /Я(~ей) =2(йы й — 1 й ада) = = 2(Мп $ + сов1) + С = 2 (~/х в[п ~/х + сов ~/х) + С. Дополнение 1 1. Первообразнаи непрерывной функции Из определения 1.1 следует, что ттервообразнал Г(х) некоторой функции т(х) является функцией дифференцируемой, поскольку Р'(х) = /(х). Это означает, что для существования у функции ~(х) в промежутке Х первообразной необходимо прежде всего, чтобы в этом промежутке была определена сама функция Дх).
Попытаемся выяснить, каким еще требованиям должна удовлетворять в промежутке Х функция т(х) для того, чтобы она имела в этом промежутке первообразную. С зтой целью предварительно установим некоторые свойства площади тглоской утигуры, рассматривая ее как линетгно связное замкнутпое ограниченное многкестпво точек плоскости. Напомним, что замкнутое множество содержит все свои граничные точки, а ограниченное множество точек на плоскости можно охватить окружностью достаточно большого радиуса.
Геометрически такую фигуру можно представить как часть плоскости, ограниченную, например, замкнутттым конпгуром, причем точки контура также принадлежат этой фигуре (рис. 1.6). На плоскости введем прямоугольную систему координат Оху. Назовем двоичной сеткой ранга п Е И совокупность прямых, параллельных координатным осям Ох и Оу и имеющим соответственно уравнения у = й/2" и х = й/2", к Е Е д. ь ь первоояраэнаа ыепрерывиой функции Рис. 1.В 3ти прямые делят плоскость Оху на квадраты со стороной Ь„= 1/2" и площадью каждого квадрата й~~ = 1/4". Сумму площадей тех квадратов двоичной сетки ранга и, которые полностью покрывают рассматриваемую плоскую фигуру (см.
рис. 1.6), т.е. имеют общие с этой фигурой точки, обозначим Я„. Ясно, что при переходе к двоичной сетке ранга и+ 1 получим Я„) Я„».~. Действительно, каждый квадрат сетки ранга и содержит четыре квадрата сетки ранга в+1, каждый площадью Ь~+ — — 1/4"+~, и если сетка ранга в покрывает фигуру Ж„квадратами, то сетка ранга и+ 1 будет покрывать эту фигуру уже У„».~ квадратами, причем Ла+~ <4У„. Поэтому 8в+! — — Уа.~~Ь„»., ~ ~4Жвй„»., —— УаЬ„= Яв Т аким образом, последовательность (Я„) не возрастает, т.е. валяется монотонной, а кроме того, и ограниченной, посколь"у Я„ > 0 при любом в Е Х. Поэтому, согласно признаку "ейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности, существует конечный предел Я= 1ип Я„>0, в-~со вторый и называют площадью рассматриваемой плоской фи- гур 1.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 46 Площадь плоской фигуры имеет следующие свойства. 1'. Если фигура с площадью У составляет часть фигуры с площадью У', то У < ол. В самом деле, для сетки ранга и э'„' < 5„". Переходя в этом неравенстве к пределу при и ~ оо, получаем указанное свойство, которое называют моиотоииосиэью илощади. 2'. Площадь прямоугольника равна произведению длины его основания па высоту. Для доказательства этого свойства У Ь„ достаточно ограничиться случаем прямоугольника со сторонамв, па- Э С раллельными координатным осям.
В этом случае квадраты сетки ранга и, покрывающие прямоугольник АВСВ, сами составляют некоторый прямоугольник А'В'С'О' А и (рис. 1.7), в котором вдоль основа- А' пия А'В' уложено р квадратов, а О вдоль высоты В'С' — е квадра- тов. Значит, Рис. 1.7 8 = рдй„= рй„уй„= ~А'В') ° ~В'С'~, (1.28) где ~А'В') =рй„и )В'~с) =уй„. Ясно, чтопри и-+со получим ~А'В'~ -) ~АВ) и )В'С'~ -+ ~ВС~.
Поэтому прв переходе в (1.28) к пределу при и-+оо установим, что площадь прямоугольника АВСВ Я = )АВ) ° )ВС~. Если прямолинейный отрезок рассматривать как прямоугольник с основанием, равным длине отрезка, и равной нулю высотой, то придем к выводу, что его площадь всегда равна нулю. 3'. Если плоская фигура, имеющая площадь Я, разделена прямой Ь, параллельной оси Оу, на две части, имеющие соответственно площади У и У', то Я = У+ У'. Действительно, так как рассматряваемэл плоская фигура является замкнутым ограниченным множеством точек, то существует отрезок АВ прямой Ь, такой, что точка А лежит ниже 47 д.
Е К Первообреэнве непрермвной функанн сей фигуры, а точка  — выше этой фигуры (рис. 1.8). Сумму пло,падей квадратов двончной сетки энга и, покрывающих всю фигуру, обозначим Я„, а покрывающих составные части фигуры, — соответственно Я„' и Я„". Кроме того, сумму площадей тех квадратов этой сетки, которые имеют общие точки с обеими частями фигуры, обозначим Я„"'. Тогда можно записать Рис. 1.9 При п ~ оо будем иметь Я„-т Я, Я„' -т Я' и Ян -т Я».
Квадраты сетки с суммой площадей Я„"' входят в число тех квадратов, которые покрывают отрезок АВ. Но площадь этогоотрезка всилусвойства 2' равнанулю. Поэтому Я„"'-+О при и -+ оо. Тогда при переходе в обеих частях последнего равенства к пределу при и -т оо получим указанное свойство Я= Я'+ Я", называемое аддитпиеностпью площади. Теперь применим установленные свойства площади плоской фигуры к криволииейиоб тпрапет)ии, под которой понимают часть плоскости Оху, У ограниченную снизу отрез- х) ком [а, 6] оси абсцисс Ох, сверху графиком непрерыв- я) ----- — --.-.- ной функции у = Дх), при- нв) чем Дх) >О Ухб[а,6], а А,,ф, с боков прямыми х =а н * = 6 (рис. 1.9).
Отрезок [а 6] называют осноеаниеет ириеолинебиоб тира х ах ах пейии а6ВА. В случае не- Рнс. 1.9 4В ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ прерывной на [а, Ь] функции у(х) криволинейная трапеция является ограниченным замкнутым множеством точек плоскости, что позволяет применить к такой трапеции понятие площади плоской фигуры и использовать свойства этой площади. Обозначим через Я(х) (х Е [а,Ь]) площадь криволинейной трапеции ахМА с переменным основанием [а, х] (эта площадь заштрихована на рис. 1.9). Таким образом, каждому значению х е [а, 6] отвечает единственное значение Я(х), равное площади криволинейной трапеции ахМА, т.е. 8(х) — функция, определенная на отрезке [а,Ь], причем Я(а) = О и Я(6) = Я, где Я— площадь всей криволинейной трапеции аЬВА.
Теорема 1.4. Если функция у = 1(х) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, 6], то функция Я(х), равная площади криволинейной трапеции ахМА (см. рис. 1.9), такова, что У(х)=Дх) Чхб[а, 6], т.е. 5(х) является первообразиой функции Дх) на отрезке [а, Ь]. < Дадим произвольному значению х б [а, Ь) такое приращение Ьх>0, чтобы х+Ьхб[а, 6], иобоэначим через ЬЯ площадь криволинейной трапеции, основанием которой служит отрезок [х, х+ Ьх] (см. рис. 1.9). По свойству 3' аддитивности площади имеем Я(х) + ЬЯ = Я(х+ Ьх). Отсюда приращение функции Я(х) будет ЛЯ=Я(х+Ьх) — Я(х). Согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4], непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих наибольшего я наименьшего значений. Пусть Д~) и ~(ц) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции Дх) на отрезке [х, х+ Ьх] (см. рис.
1.9). На этом отрезке как на основании построим два прямоугольника с высотами Щ) и Дц). Первый из них включает криволинейную трапецию, площадь которой обозначена через э Я, а второй включен в эту криволинейную трапецию. Поэтому в силу свойств 1' и 2' площади плоской фигуры Дц)Ьх< ЬЯ<,Я)Ьх, или Д. 1Л. Первообрвенан непрерывном фувкннн 49 5'(х) = !!ш — =Дх), ЬЯ а -+о Ьх что и доказывает утверждение теоремы. ° Замечание 1.8. Если функция у= Дх) неотрицательна и непрерывна в полуинтервале [о, 6) и имеет конечный предел !пп Дх)=ДЬ вЂ” 0)>0, в-+Ь-о (1.29) то функция /(х), х б [а, 6); 9(х) = ~(6 — 0), х=Ь будет непрерывна на отрезке [а, 6] и в силу теоремы 1.2 для площади о'(х) переменной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у(х), справедливо равенство Н'(х) =у(х) Чх б [о, Ь], т.е.
Я(х) является первообразной функции у(х) на отрезке [а,Ь]. Но при х б [а,Ь) у(х) = /(х), и поэтому Я(х) является первообразной функции /(х) при *б [а, 6). Отметим также, что в силу непрерывности перво- образной !пп Я(х) = 5(6) = Я, е-+Ь-о ~Де 5 — площадь всей криволинейной трапеции аЬВА, имею- ц1ей основанием отрезок [а, 6] (см. рис. 1.9). Ясно, что полученное соотношение верно и при Ьх < О, так как в этом случае и приращение функции ЬЯ < О. Поскольку (-~х и и-+х при Ох-)0, всилунепрерывкости функции Дх) имеем У(()-+Дх) и 1(О)-+~(х). Поэтому, согласно утверждению о пределе „промежуточной" функции [1-7.1], предел отношения ОЯ~Ох при Ьх -+0 существует и равен Дх).
Но по определению производной функции [П] этот предел равен У(х). Таким образом, 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ 50 1пп Я(х) = О. ю-~а+О Ясно, что неотрицательная и непрерывная в интервале (а, 6) функция /(х) с конечными пределами (1.29) и (1.30) имеет в этом интервале первообразную, равную площади Я(х) криволинейной трапеции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
