Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[1Ц,[11Ц 26. В чем различие между простым и кратным нулями многочлена? Какие комплексные числа называют сопряженными? Каким значениям дискрнминанта квадратного тр~~члена соответствуют действительные и комплексно сопряженные нули? [Ц ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ < и Ь вЂ” начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1 Ас В, В э А — множество А включено в множество В (В включает А) 1-1.2 А С В, В Э А — множество А включено в множество В или совпадает с ним 1-1.2 И вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 Х вЂ” множество целых чисел 1-1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1-1.3  — множество действительных чисел 1-1.3 [а, Ь] — отрезок с концами в точках а и 6 1-1.3 (а, 6) — интервал с концами в точках а и 6 1-1.3 (а, 6), (а, 6] — полуинтервалы с концами в точках а и 6 1-1.3 ~х~ — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3 +оо, -оо — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой 1-1.3 оо — объединение бесконечных точек +оо и -оо 1-1.3 (-оо, +оо), (-оо, а), (Ь, +со) — бесконечные интервалы 1-1.3 (-оо, а], (Ь, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1-1.3 Зх: ...

— существует такое х, что ... 1-1.5 — для любого х 1-1.5 у = у(х) — переменное у — функция переменного х 1-2.1 Да), Дх)~ — значение функции Дх) в точке а 1-2.1 11 д(х у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) ,'„1 х,у и у (ордината) 1-2.5 в у аь — сумма п слагаемых аь, ..., аь, ..., а„1-2.8 я=1 1 а — число й принимает последовательно все значения из множества И от 1 до и включительно 1-2.8 ь а — переменное х стремится к значению а 1-7.1 ппь Дх) — предел фуыкции Дх) в точке а (при х -+ а) 1-7.1 у(а+О), Да — О) — пределы функции у(х) в точке а справа (х -+ а + О) и слева (х -> а — О) 1-7.2 дх и ду= дух) — приращения аргумента х и функции у = = Дх) 1 8.1 у(х) д(х) — функции Дх) и д(х) являются эквивалентными при х-+а 1-10.2 ~'(а), ~'(х)~ — значение производной функции ~(х) в точке а П-1.3 .у'(х), у', Ыу/Ых, у' — производная функции у = Дх) П-1.3 ~Ь и Иу=ф(х) — дифференциалы аргумента * и фуыкции у=Дх) в точке х П-3.1 ~"(а) и ~"'(а) — значения производных второго и третьего порядков функции Дх) в точке а П-4.1 У )(а) — значение производной и-го порядка (и-й производной) функции ~(х) в точке а П-4.1 г (ь) — вектор-функцыя скалярного аргумента $ П-9.1 ь~ У Й вЂ” орты (единичные векторы) ортоиормироваыного базиса (г, у, й) П-В.1 Р и 'Р— полярные координаты (радиус и угол) точки на плоскости 1-4.3 ) У(х) ~1х — неопределенный интеграл от функции Дх) 1.2 ь О(х) "х — определенный ыитегрэл (Ньютона или Римана) от функции /(х) по отрезку [а,6] 5.1,8.2 12 Основные обозначения Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант проиэношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").

Буквы греческого алфавита Наряду с укаэанным произношением также говорят „лямбда", „мю" и „ню". 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. Вводные замечания Введение понятия производной позволяет проводить исследование свойств заданной функции и решать многие прикладные задачи. Напомним, что понятие производной у'(х) действительной функции Дх) одного действительного переменного х с геометрической точки зрения соответствует угловому коэффициенту касательной к графику этой функции. Если функция задает зависимость пройденного пути от времени, то производная этой функции является скоростью движения.

Но ясно, что имеет смысл и обратная задача — восстановление функции г'(х) по известной зависимости ее производной Р'(х) =/(х) от аргумента х. Решение задачи восстановления функции по ее производной имеет большое прикладное значение. Геометрически решение этой задачи означает построение графика функции г'(х), для которой функция Дх) задает изменение углового коэффициента касательной к графику у = г'(х) при изменении х. В механике поставленная задача возникает при нахождении пройденного пути л(1) по известной зависимости скорости е(1) движения от времени 1. Аналогична н задача нахождения скорости о(1) по заданному изменению ускорения а(~). Измерение расхода жидкости через трубопровод, подводящии ее к емкости, позволяет судить об изменении во времени количества жидкости в этой емкости.

По зависимости от ~ремени силы электрического тока, проходящего через конДенсатор с известной емкостью, можно найти зависимость от вр~мени заряда конденсатора. Измерение теплового потока,, подводимого к телу с известной полной теплоемкостью, дает 14 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ возможность установить закон изменения во времени температуры этого тела. Общие методы решения рассматриваемой задачи, составляющие содержание интегрального исчисления функций одного переменного, опираются на основополагающие понятия перео- образной и неопределенного интеграла. 1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла Пусть функция /(х) определена в некотором промежутке Х (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или полуинтервале).

Оиределеиие 1.1. Функцию г" (х) называют первообразнобфункции /(х) в промежутке Х,если г(х) дифференцируема в этом промежутке и для любого х б Х значение производной г" (х) совпадает со значением функции /(х), т.е. Р'(х) = /(х) Чх б Х (или аг (х) = /(х)дх Ух б Х). (1.1) Если Х = [а, 6), то под дифференцируемостью функции в граничных точках х = а, х = а отрезка понимают существование конечных правосторонней и левосторонней производных соответственно. Пример 1.1.

Функция г (х) = хэ является первообрззной функции /(х) = г'(х) =Зхэ на всей числовой прямой В. для функции д(х) =1/~/х, определенной при х > О, первообразной будет функция 0(х) = 2~/х (действительно, 0'(х) = 1/ /х = =д(х)). Несмотря на то что функция С(х) определена при х > О, первообраэной функции д(х) она является лишь в интервале (О,+со). Функция Н(х) =1/х является первообразной функции Ь(х) = Н'(х) =-1/хз в промежутках (-оо, О) и (О,+со).

Первообразной функции о(х) =соях при х б В будет функция Цх) =я1пх так как к"(х) =(я1пх)'=совх=о(х) Чх б Е. Ья. Понвтнв первообравной и неопределенного ннтеграва 15 Нетрудно заметить, что если функция Дх) имеет пербразную, то эта первообразная не единственна. Так, для функции ~(х) = Зх помимо Р'(х) = х первообразными будут „функции х +1, хз — 2 н вообще хэ+С, где С вЂ” произвольное постоянное число, поскольку (хэ+ С)' = Зхэ = Дх). 'уеоремв 1.1. Дифференцируемые в промежутке Х функ ии 7(х) и Ф(х) будут в этом промежутке первообраэными одной и той же функции у(х) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого х б Х постоянна, т.е. Ух Е Х г (х) — Ф(х) = С = сопя«.

(1.2) у'(х) = (Г(х) — Ф(х)) = г"(х) — Ф'(х) = у(х) — у(х) = О Чх е Х. Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего иэ теоремы Лагранжа (П), равенство ф(х) = О Ух б Х означает, что «р(х) =Г(х) — Ф(х) =С=сопя«Ух б Х. Итак, доказана эквивалентность (1.2) тому, что функции Г(х) и Ф(х) могут быть первообразными лишь одной и той же функции. ~ Из теоремы 1.1 следует, что для заданной функции у(х) достаточно найти в рассматриваемом промежутке какую-либо одну первообразную Г(х), чтобы знать все первообразные функции ~(х) в этом промежутке, поскольку они отличаются от г(х) лишь постоянными слагаемыми. Геометрически это ~иачает, что если построен график первообразной у = г'(х) функции /(х) в промежутке Х, то графики всех остальных первообразнык можно получить параллельным сдвигом этого в Если г(х) — некоторая первообразнал функции Дх) в промежутке Х, то, согласно определению 1.1, Р" (х) = у(х) Чхб Х.

Но тогда и функция Ф(х) =Е(х) — С (Сне сопя«) также является первообразной функции у(х) в этом промежутке, поскольку Ф'(х) = (г(х) — С) = г"(х) = ~(х) Ух Е Х. Обозначим Е'(х) — Ф(х) = у(х) и найдем производную 16 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ графика вдоль оси ординат вверх на произвольное расстояние С) 0 (рис.

1.1) или вниз (когда С ( 0). При этом для произвольной точки хо б Х тангенс угла ао наклона касательной к графику функции Е(х) 1дсто = г (хо) = =(г'(х)+С) ~,, =Дхо). Чтобы из множества графиков первообразных г (х) + С выбрать одну кривую, достаточно задать координаты одной из точек кривой, например точки М(хо,уо). Тогда из условия Уо = г(хо)+С получим С = = Уо — г(хо) Р1хо Рис.

1.1 Определение 1.2. Множество всех первообразных функции Дх) в некотором промежутке называют неопределенным интпегралом от этой функции в данном промежутке и обозначают |~(х) ах. При этом символ ) именуют знаком интпеграла, Дх) — подынтпегральноб фуннииеб, т(х)ах — подынтпегральным еыраотсением, а х — переменным интпегр ирои ани,е. Если г (х) — какал-либо первообразиая функции Дх) в рассматриваемом промежутке, то правомерна запись (1.3) где С вЂ” произвольная постоянная величина, называемая обычно постполнной интпегрироеания. Правая часть (1.3) определяет бесконечное множество, состоящее из элементов г'(х) + +С. Однако обычно фигурные скобки в (1.3) опускают и пишут просто (1.4) 1 я Понятии аервообразной и веоарелелеыыого интеграаа 17 0 1 2 х я под ( /(х) Их произвольный элемент этого множества. вопим ном случае ситуация аналогична обозначению символом у( ) не только функции, но и ее значения в точке х.

По определению 1.1 первообразной она является дифференц„ уемой, а значит, и непрерывной функцией в рассматривае- ом промежутке. Поэтому неопределенный интеграл при фиксированном значении произвольной постоянной С является в ом промежутке непрерывной и дифференцнруемой функцией переменного интегрирования.

Произвольность (неопределенность) выбора постоянной и объясняет название интеграла. Условие существования первообразной функции /(х) рассмотрено в Д.1.1. Здесь же ограничимся лишь формулировкой утверждения. Утверждение 1.1. Всякая непрерывная в промежутке Х функция имеет первообразную в этом промежутке. Пример 1.2. а. Найдем какую-либо первообразную г'(х) функции /(х) = 3,/х/2 и ее неопределенный интеграл. Эта функция непрерывна в полуинтервале (О,+со) и, согласно утверждению 1.1, имеет в нем первообразную. Так как (хз~з) = = З~Д/2 при х > О, то одной из первообразных заданной функции в силу определения 1.1 будет функция 1г(х) = хая (х > 0), а неопределенный интеграл от этой функции, согласно (1.4), можно записать в виде | ((х); /(х) с(х = — /х Их = = х 7~ + С = х ~/х + С, х е [О, +оо) .

2 На рис. 1.2 приведены графики фун- У(х) кции /(х) и ее первообразной Г(х) при значении произвольной постоянной С-О. б. Для функции /(х) = 1/х найдем такую первообразную у= Г(х) в интервале (-оо,О), график которой Рис. 1.2 к неОПРеделенныИ интеГРАл 18 проходит через точку М(-2", 0). Поскольку (1п !х~)' = 1/х, одной нз первообразных заданной функции, согласно определению 1.1, будет функция !и !х~, а искомую первообразную можно представить в виде г(х) = = 1и !х! + С.

Характеристики

Список файлов книги