Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть Р (х) и Я„(х) — многочлены с действительными коэффициентами степени пя>0 и и) 0 грответственно, причем т(к и многочлен Ч„(х) имеет несовпадающие с нулями многочлена Р,„(х), вообще говоря, кратные нули (действительные и комплексно сопряженные).
Тогда интеграл от правильной рациональной дроби Р,(х)Я„(х) можно представить в виде суммы рацнональной и трансцендентной частей: — йх = ' + / — дх, (2.34) | Р„,(х) Р,(х) Г Рс(х) а.(*) а. (х) 1 Е(*) где Я„~(х) — каибаяьший общий делитель (НОД) многочлена Я„(х) и его производной Я'„(х); ф(х) = Я„(х)/Я„~(х), э 83 Д,2.1. Метод Осзраградского э(х) и Р~(х) — многочлены с неопределенными козффициенгн ами, степени которых на единицу меньше и — ! и 1 соответгвенно. 4 Согласно условию теоремы, запишем я„(х) = П(х — а„) ' П(хз+ р,х+ » ) ', где а„— действительный нуль краткости Й„(г=1,!'), а хз+р х+6! = (х — гу)(х — У), где ху и У вЂ” комплексно сопряженные нули кратности !. (у = 1, У), так что й, + 2~~ !у = а. Тогда в разложении несократимой правильной рациональной дроби Р„,(х)Я„(х) на простейшие, согласно (2.25), каждому кратному действительному нулю а, будут соответствовать слагаемые 4( ) 1( ) 4(,) (х — а,)".
а каждой паре кратных комплексно сопряженных корней— слагаемые М1, х+ Ф М х+ У М(!)х+ !!(1) (У) (1) (!) (!) + ' ' +...+ . (236) хз+р х+ е (хз+рух+д.)з (х~+р х+ ~~) 1 При интегрированин первых слагаемых в (2.35) и (2.36), согласно (2.3) и (2.6), получим трансцендентные функции (логарифмические и арктангенс).
Интеграл от каждого из всех последующих слагаемых в (2.35), начинал со второго, будет, согласно (2.4), правильной рациональной дробью, степень зна"енателя которой на единицу меньше степени знаменателя подмитегральной функции. Интеграл же от каждого (начиная 84 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ со второго) слагаемого в (2.36) в силу (2.11) содержит ра. циональную часть в виде правильной рациональной дроби в трансцендентную часть (арктангенс), которую можно предста.
вить как неопределенный интеграл от первого слагаемого в (2.36) при М~~ — — О. Если обьединить рациональные части всех упомянутых интегралов и привести их к общему знаменателю, то получим правильную рациональную дробь вида Р, (х) Д„~(х) (л < п — [), знаменатель которой 1 1 Я вЂ” (х) = П(х — а.)"' ' П(Х+рух+т))' ' является многочленом степени и — 1, где 1 = 1+ 2,1. Трансцендентную часть интеграла от рациональной дроби Р (х)1ь1„(х) можно представить как сумму интегралов от слагаемых вида В Ех+Р х — а, хз+р х+а, (2.37) Я~(х) = Я~-~(х)Ф(х) Таким образом, справедливость (2.34) доказана.
Чтобы правильную рациональную дробь Р (х) Щ„(х) разложить иа простейшие, нужно знать все нули знаменателя Щх). Однако многочлены Я„~(х) и Щх) можно найти и не Приведение этих слагаемых к общему знаменателю даст правильную рациональную дробь Р~(х)(Щх) (1 <!), знаменатель которой 1 1 Е()=П( -')П(*'+ х+ ) гю1 у=з является многочленом степени 1 = 1 + 21 и имеет только простые нули.
Ясно, что 85 Д.2.1. Метод Острогрвдскав"о я зти нули. В самом деле, производная Щ(х) содержит все мя ожители разложения миогочлеиа Я„(х), ио с показателями дииицу меньшими. Поэтому миогочлеи Я„~(х), являющийяв НОД миогочлеиов Я„(х) и Я„(х), нетрудно определить, ! пример, последовательным делением по алгоритму Евклида. Затем делением Я„(х) на Я„~(х) можно найти миогочлеи Фх) Для нахождения в (2.34) миогочлеиов Р,(х) и Р,(х) исольэуем метод неопределенных коэффициентов. Диффереияироваиием (2.34) по * получим Р (х) Р,'( )Я вЂ” (х) -Р,( )Ю',(*) Р(х) а.(*) - ' а.,(.) " 'а',(*) ~1тобы преобразовать первое слагаемое в правой части (2.38), умиожим и разделим его иа мпогочлеи ф(х).
Тогда с учетом (2.37) получим Р~(*М -~(*) — Р*( )Я. ~(*) Я' ~(х) Р,'(х)Яи(х) — Р,(х)Я'„,(х)Яф(х)/Я„~(х) Я„с(х)Щх) Р,'(х) Щх) — Р, (х) Р(х) Яп(х) Здесь Р(х) = Я'„~(х)Щх)Я„~(х) является миогочлеиом степеии ие выше ! — 1, поскольку Р Я -ЫЯЮ) ~~1 ЮЯ(х) Ю (х) Р(х) — . — " Я~(х) Я!в-с(х) Ц„у(х) и 9,',(х) делится иа О!! !(х). Подставляя (2,39) в (2.38) и и Риводя к общему знаменателю, придем к тождеству для двух "иегочлеиов степени ие выше н — 1: Р„,(х) = Р,'(х)ф(х) — Р!(х)Р(х) + Р!(х)Я„~(х). (2.40) 86 г.
интал иронкнин рлционлльныхдроннй Приравнивая козффицыенты при одинаковых степенях х в обе. их частях (2.40), получим систему из а линейных алгебраиче. ских уравнений относительно п неизвестных коэффициентов многочленов Р,(х) и Р~(х). Эта система имеет решение, так как интеграл может быть представлен в виде (2.34). Такое решение существует при произвольном наборе коэффициентов многочлена Р (х). Поэтому определитель сыстемы отличен от нуля, что обеспечивает единственность ее решения [1Ч].
Отсю. да следует единственность представления (2.34). ~ Итак, метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от правильной рациональной дроби не связан непосредственно с операцией интегрированыя и состоит в сочетании нахождения НОД знаменателя этой дроби и его производной с методом неопределенных козффыциентов. Но методом Остроградского удобно находить и трансцендентную часть этого интеграла, так как при этом приходится иитегрыровать более простую правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет лишь простые нули. Поэтому интегрирование можно свести в итоге к нахождению интегралов от простейших дробей только первого и третьего типов, т.е.
метод Остроградского позволяет избежать трудоемкого интегрирования дробей четвертого типа. Пример 2.12. Найдем рациональную часть неопределенного интеграла от правильной рациональной дроби 1 Дх)— хе+ бхай+ 13хз+ 14хг+ 12х+ 8 В данном случае пав=О и в=5, причем Р,„(х) = Ро(х) =1 в Ч„(х) = Че(х) = хь+бх4+13хз+ 14хз+12х+8. Сначаланайдем Ц„~(х) как НОД многочлена Яь(х) него производной Ц~~(х) = бх~+24хз+ 39хг+28х+ 12, используя алгоритм Евклида (П). Напомним, что сперва делим Щх) на Я(х); если остаток равен нулю, то Ц'(х) и является НОД; в противном случае Я' (х) делим на остаток, затем первый оста- 87 д.3.
Ь Метод Остроградского к на второй и т.д. до получения остатка, равного нулю; тогда следний не равный нулю остаток будет НОД. Если остаток ляется числом (многочленом нулевой степени), то принимают ЙОД равным единице. При этом исходные многочлены будут зимно простыми (это означает, что многочлен Яз(х) не име° кратных нулей, а интеграл от заданной рациональной дроби не содержит рациональной части).
При делении любой иэ мно„очленов можно умножать на число, не равное нулю. Поэтому ИОД определен с точностью до постоянного множителя. НОД обычно записывают так, чтобы коэффициент при его старшей степени был равен единице. Итак, при последовательном делении „уголком" получнм 5х'+30х'+ 65хз+ 70хг+ 60х+ 40 5хз+24х4+ 39хз+ 28хг+ 12х 6х4+ 26хз+ 42хз+ 48х+ 40 30х4+130хз+210хг+240х+200 30х4+144хз+234зз+168х+ 72 — 14хз- 24хз+ 72х+128 7хз+ 12хз- 36х- 64 35х4+168хз+ 273хз+ 196х+ 84 35х4+ 60хз- 180хз- 320х 108хз+ 453хг+ 516х+ 84 756хз+3171хз+3612х+ 588 756х +1296х -3888х-6912 1875хз+7500х+7500 хз+ 4х+ 4 7хз+12хз 36х 64 хг+4х+4 7хз+28хз+28х 7х — 16 -16хз -64х -64 -16хз -64х -64 0 88 г.
интнгриронлнин рлционлльных дровнй Таким образом, НОД Щх) и Щ(х) будет Я„~(х) = =хг+4х+4= (х+2)г, т.е. многочлен Щх) имеет трехкрат ный нуль х=-2. Делением Щх) на Я„~(х) получим хз+бх4+13хз+14хг+12х+8 хг+4х+4 хз+4х4+ 4хз хз+2хг+х+2 2х4+ 9хз+14хг+12х+8 2х4+ 8хз+ 8хг хз+ бхг+12х+8 хз+ 4хг+ 4х 2хг+ 8х+8 2хг+ 8х+8 О Итак, ф(х) = хз+ 2хг+ х+ 2 = (х+ 2) (хг+ 1), т е. 1= 3. Непосредственной проверкой нетрудно установить, что (х+2)з(хг+1) = хз+бх4+13хз+14хг+12х+8 Правильную рациональную дробь Р~(х)(Щх) в (2.34) представим суммой двух простейших и запишем пх хз + бх4+ 13хз+ 14хг+ 12х + 8 Ах+В /' 0 /'Ех+Р (х+2)г+/ х+2 * / хг+1 Дифференцируя обе части этого равенства, получаем 1 хз+бхл+ 13хз+14хг+12х+8 А Ах+В 0 Ех+Г (х+2)г (х+2)з+ х+2 хг+1 ' После приведения слагаемых в правой части к общему знаменателю имеем 1 = А(х+2)(хг+ 1) — 2(Ах+ В)(хг+1) + +Р(х+2)~(х +1)+(Ех+Р)(х+2)~ Д.2Л. Метод 0отоогродекого !1риравняем в обеих частях зтого тождества козффициенты ри одинаковых степеиях х и получим систему из пяти ли- ейиых алгебраических уравнений Р+ Е =О, -А +4Р+ 6Е+ У=О, 2А -2В+5Р+12Е+ 6Г = О, — А +4Р+ 8Е+12Г=О, 2А — 2В+4Р + 87=1 хе Ах+ В 8х+ 21 (х+2)г 50(х+2)г Значения козффициентов Р, Е и Е позволяют найти и траисцендеитиую часть зтого интеграла: 11 г 2 = — !и !х+ 2! — — !и(хг+ 1) + — агсгбх+ С.
125 250 125 Окончательно получим | Их ха + бх4 -1- 13хз+ 14хг+ 12х + 8 8х+21 11 (х+2)г 2 + — !и + — агсгбх+ С. 50(х+2)г 250 хг+1 125 Пример 2.13. Проинтегрируем методом Остроградского равильиую рациональную дробь дх) = х/((х — 1)г(х.+ 1)з).
етиосительно пяти неизвестных козффициеитов. Решал зту систему, находим А = — 4/25, В = -21/50, Р = -Е = 11/125 я Е= 2/125. В итоге рациональная часть интеграла равна 91 Д.2.Ь Метод Остроградского носнтельно пяти неизвестных коэффициентов. Решал эту отн стему, получим А = В = — 1/8, 0 = — 1/4 и Е= -Р= — 1/16.
~ кнм образом, в итоге | хИх х2+х+2 1 ~х+11 ,+ — 1 ~ — 1+С. (х — Ц2(х+ Цз 8(х — Ц(х+ Ц2 16 ~х — '1~ Пример 2.14. Найдем методом Остроградского интеграл т правильной рациональной дроби 1/[(х+ ц2(х2+ ц2]. 'Ее зв аменатель имеет двукратные действительный нуль х = -1 и комплексно сопряженные х = Ы. Поэтому НОД много- члена Яе(х) = (х+ Ц2(х2+ Ц2 н его пРоизвоДной ьГе(х) = -ЬГл(х) будет многочлен Яз(х)= (х+Ц(х2+Ц, причем частное це(х)/Ял(х) совпадает с Яз(х). Таким образом, для данного случая в (2.34) Я.-Ю = Жх) = Яз(х) =(*+ 1Н*'+ Ц и, согласно методу неопределенных коэффициентов, искомый интеграл можно представить в виде | с(х Ахл+ Вх+ В (х+ ц2(х2+ ц2 (х+ ц(х2+ ц + + / — Их+ / Их. (2.4ц Г Е Г Гх+б' /*+ / х+ Днфференцнрованнем (2.4Ц получим 1 2Ах+В (Х+Ц2( 2+Ц2 ( +Ц( 2+Ц (Ахз+ Вх+ О)(Зх2+2х+ ц Е Гх+ С (х»- Ц'(х'»- Ц2 х»-1 х2».1 ' + + ~осле приведения правой части к общему знаменателю запишем 1=(2Ах+В)(х+ Ц(х2+ Ц вЂ” (Ах~+Вх+0)(Зх +2х+ Ц+ +Е(х+ ц(х2+ ц2+(Ех+анх+ ц2(х2+ ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
