Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Иногда интегра лы от этих функций можно найти более простыми способами, например выделяя полный квадрат в трехчлене г/*гВЬ гн= Сделав линейную замену переменного ~ = х+ 6/(2а) г при а < О я оз — 4ас) О приведем подынтегральную функцию (3.2) к вггеивиг и нфув ви я,(г,угАг-гу), р >Π— вн у яз двух видов: Яг(г, г/гг -А') вии Яг(г, ОУгг ив А'). 4ля первой из них, выполнив замену 1= Асов()2, получим Я (г, г/Аг — гг) = Я (А~в Авии), где С = 8С1+4Сг. 3ве гечание 3.$.
Если в (3.15) р = о/а, но а Яб с/а, то обращения в нуль слагаемых с первой степенью $ в обоих трехчленах можно достичь более простой заменой переменного интегрирования х =1 — р/2. 122 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ и тогда интеграл от функции (3.2) примет вид | Щ*,»/а»44*4 '(4*=|441(2,»'А» 4»(44= — В (в1п(р, сову) пу, где В' — рациональная функция синуса и косинуса угла у. Наряду с рассмотренной подстановкой для подынтеграль. ной функции В1(62 ~ГА1(- Р) можно применыть замену пере. менпого 1= Ав1пу ыли 1=Айу. Уфуиииии Яи(4,4/4» — А»( и 6 **и Аи~ и и с помощью одной из замен $ = с1(у, 1= А/сову или 1 = А|в1п у. Функцию Вз(82 ~~1+ Аз) можно упростить заменой перемеипого 1 = Ав1(у или 1 = АСбу. Общие способы интегрирования получающихся в результате таких преобразованый рациональных функция, аргумента ми которых являются тригонометрические и гиперболические функции, рассмотрены в гл.4, но в частных случаях к цели можно прийти более быстрым путем.
Рассмотрим несложный прымер. Пример З.Т. Для иррапиональмо81 подынтегральной фу26хи» ~~/ 6 — 4*-2*2 ии Уи-44*-2*2 У8 — 2( 42(»»42У4-( 42(У Для вычисления интеграла от этой функции сделаем замену х+ 44=2~». Т ги 4*=-24 »4» и»/6 — 4 -2»=2»426~» Учитывая, что у=агссов((х+1)/2) и (х + 1)з 1 в1пу= 1 — совзу= 1— 4 2 3-2х-хз, 3.5. т~егееометричесяее и лтерболигиские аодстаоовки 123 вкодим | хЧх /' (2сов<р — 1)з(-2в1п~р) <6р ~6 — 4* — 2*1 / 2ч2 Ьу У Л = -2~/2 /сов~уду+2Я / сов~рйр — — = ч~2 = -ч/2 (1+ сов2у) Ну+ 2ч/2в1п ~р — — ~р = 2 = — — (Зу+ в1п 2у — 4 в1п у) + С = Л 2 З~/2 х + 1 ч/2 = — — агссов — + — (3 — х) 3 — 2х — хз+ С.
2 2 4 Для данной подынтегральной функции применима также замена х+1=2в1пу. ф В заключение рассмотрим неопределенный интеграл от функции [(х~+а) ~х+,б], где т — любое натуральное число, большее единицы. Преобразуем подынтегральную функцию, вынося х за скобки: ох х ( + )ох ~'(1+~ ) ~/$+~д / (1~ ~ ) ч/Г~~д Полученный интеграл заменой 1+,9х = 8~ можно свести "интегралу от рациомалькоб дроби.
Действительно, при этом п1Вх ("'+1)дх = шс ~ Й, откуда 124 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАНИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Обозначим,в — о = 7 и получим 1 + ох = (о4 + 7)/Я Следовательно, | .-(т+1) 1 (» + ) %~СР 1 (1+ * ) ~/1+д " $ -1,8й 1 Ф -зй ,В( 4 +7)1 У о4 +7 Итак, преобразования привели к интегралу от рациональноя дроби. Пример 3.8.
Для вычисления интеграла от функция ((хз+ 1)~/1 — х~] вынесем хз за скобки: Сделав замену х з — 1 = 1з, при которой -2х зох = ай, 14"* ~ — Р~ 2, 1= / ~ 1 — ~/1 ~/*, Р~Д ~ ~~бли интегралу 13: | х зпх /' Юй р~ -г~~ -'т:~ ~ Йрш~.~) Г нй 1 й = — ~ — = — аксссб — + С. ,/ Р+2 Я Я Возвращаясь к переменному х, получаем | (х 1 $ Л:ху С = — агсс18 + С. (хз+1)Д вЂ” х~ ~/2 х~Г2 З.б. Нвтогрогы от да4ференциаоьаого бинома 125 3.6.
Интегралы от дифференциального бинома Согласно свойству 1' неопределенного интеграла (см. 1.3), дмнтегральное выражение является дифференциалом первовб)ьвэной подынтегРальной фрикции. Если подынтегРальнаЯ функция рациональная, то подынтегральное выражение иногда „взывают рациональным дифференциалом, а если она ир~циональная, то — иррациоиа вьиььи дифференциалом. В неопределенном интеграле яодынтегральное выраженйе называют бииомиальиым дифференциалом, но чаще — дифференциальным биномом. При т, и, р 6 Х дифференциальный бином будет рациональным дифференциалом, а если хотя бы один из показателей степени не является целым числом, то дифференциал будет иррациональным. Рассмотрим неопределенный интеграл от дифференциального бинома при п1, п, рбмк. Ясно, что в частных случаях при п=О или р=О (3.25) переходит в табличный интеграл 1 ялн 2.
Позтому такие случаи исключим из дальнейшего рассмотрения. Заменой переменного х = Я = $'Г" (дх = Ф~Г" 1Й/и) пРеобразуем (3.25) к виду х~(а+Ьх")Рах = -~ (а+Ье)Р1ой, в= — — 1 6 (л. (3.26) т и ~ ~ ~ ~ Г 1 Г т+1 можно указать три случая, когда (3.26) удается свести к интегралу от рациональной дроби.
Первый случай: рбХ. Пусть а=г/й, где г 6 Х и й 6 Х. огда замена переменного е = г" (Й = Йг" 1йг) приводит (3 26) к интегралу от рациональной дроби ги о (а+Ьхо)рдх=- ~ (а+ЬЬ)ЧоЮ= — ~ (а+Ьг )рг~+" 1дг, (3.27) х Г п~ п~ 126 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬ НЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Ь +г — 1 б Е. Для того чтобы после вычисления этог„ интеграла перейти к исходному перемени не п вбегал к преобразованиям ~ .
6) слить непосредственно, не р н (3.27), а используя замену перемен = у менного х = у, где ш н и. Действительно, нз (3.25) с общий знаменатель дробен ш н и. учетом х = у И вЂ” Ф И 'йу получаем интеграл х (а+Ьх")Мх = Ф (а+Ьу ) у у . ) -+"-'1 (3.23 от рациональной функции, так как №и Уи 6 Е. то ой чай: 96Х. Теперь пусть р=з/1, где з6Е н з = (а+Ь1)~~~ преобразуем (3.26) 1 6 Х. Заменой переменного з = а к виду | х~(а+ Ьх")Мх = — (а+ Ь1)Р1ей = — — (з — а)ел~+' ~с(х.
(3.29) иЬФ+' 1 как !+з — 1 б Х, то подынтегральнвл функция в правов Так как +з— ю. После вычнслення части (3.29) будет рацнональнон дробью. ой ф нкцнн для возвращения к исходному пеинтеграла от зтон функ овать авенство ременному инте грнровання х нужно нспользовать р х = (а+ Ь1Я~ = (а+ Ьх")1/~. Третин случаи: р+ у + 6 Е. Снова положим р = з/1, где з 6 Х н 16 (ч.
Преобразуем (3.26) к внду | х (а+Ьх")~Их= — / (а+ЬФ)рйзй= — у ~ — 1 й. '= а Ье 1 С=а/(х'-Ь), Сделав в правой части (3.30) замену х~ = (а+ ЬФ)/1 (1= а/(г~- ) Й = -а1з' ~~1з/(я~- Ь)з), получим р+д+з 1 а + Ь" р~е,( р~д /~ -ь и $ аб. Интеградм от дифференциаеьного бинома 127 11оскольку р+ч+2 и 1+я — 1 — целые числа, то подынтегр-" . еьная функция будет относительно аргумента х рациональй дробью. После вычисления интеграла от этой функции для глода к исходному переменному интегрирования следует исяьзовать равенство и = (В+а/г)1~~ = (5+ах ")1!~.
Таким образом, интеграл (3.25) от дифференциального бинома можно свести к ннтегралу от дробно-рациональной гдуихции, если (р Е Х) Ч ( — Е Х) Ч ( — +р Е Х), (3.31) Пример 3.9. Проинтегрируем следующие функции: б) ~/х 1 — —; 1 хч/х ~/х (1 + з/х)г ' 1 Ж+*' а. Из записи 1/х 1(г(1+ цз)-г (1+ 3/х) следует, согласно (3.25), чтоздесь т=1/2, а=1/3 и р=-2, $ е е показатель степени р — целое число (это отвечает первому мучаю). Общим знаменателем дробей тв и п будет У=6.
"да при замене переменного х = уе (~Ь = буяну), согласно т.е.будет целым одно из трех чисел р, (т+1)/п — 1= у, р+ч. Условие (3.31) было известно, по существу, еще И. Ньютону, я Л. Эйлер предположил, что ни для каких других показателей степени ж, и и р подынтегральную функцию в (3.25) яе удастся свести к дробно-рациональной. Для рациональных чисел пг, в и р, не удовлетворяющихусловию (3.31), предположение Л. Эйлера доказал П.Л.
Чебышев, а для иррациональных чисел — русский математик Д.Д. Мордухай-Болотовский (1876 — 1952). 128 з. ИН'РЕРРИР ОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ | (3.28), получаем 2У'+д „«„~ д Г (1 + уз)з / / (1 + дз)з / 3 « + 2уз 6 я /' з Г у + 2у + г «2 2 1 6 ду=-у — 12 /у «»у+18/, у— / (1+ уз)з 5 »,/ ( у 3 / »у | УЧУ вЂ” 6 + У л ь 4з+18У 18 (1+уз)' У= У У» 1+ з (1+„з)1.
Интегрированием по частя астям с учетом табличного интеграла 13 находим Г (1-»-уз)з 2 / ~1+уз! ~ -»-д»» 1 + -агсГ,8у+Сг д 2(1+ уз) 2 В итоге, учитывая, что у = -, х, имев | — 4 + 18У+ — — 21агсфбу+ С = 6 Зу з= У У ]„» уз (1+ / )' Зфх 6 х — х — -Ч Я-4,/х+ 18ф~+ — — 21агс18,/х+С. 5 1+ фх б. Интеграл 1= ~/х «1 — — Их= х1/з(1 — х з~з)г~«3х х1/х отвечает второму случаю, поскол ку, ь согласно (3.25), адей го=1/2, в= -3/2, р=1/4, т.е. у= (го+1)/в — 1=-26 З.б, Иитеграем от диффереициааьиого бииоиа 129 11 и р=1/1=1/4 имеем 1=4. Выполним замену переменного 0р 4=1 — х 3/г. Отсюда (1 4)-2/3 1 (1 4)-$/3 3 1 3 вычислим полученный интеграл по частям: ( ~) ~ (1 «) 33~~ / 4)г 1 3 8 4 3/3 8 / З~~Ь 3 3,/ (1-") = / — + / — = -(п ~ — ~ + агс283+ С.
| 20и Г ~~г Г ~~г 1 ~1+3! В итоге после перехода к исходному переменному интегриро- вания получаем 1 2 4 1 1= ~/х 4 1 — — Их=-х/х 4 1 — —— х~/х 3 х~/х /1 1~~в 1, 1 — -агс28 4 1 — — +С. 3 х~Гх 1 — -1и 6 в. Из записи хо(1 + х4)-г/4 Я+х~ 'огласно (3.25), следует, что в2=0, в=4, р=-1/4, те. (вг+1)/в — 1= -3/4 и р+д= -1 Е Х. Это соответствует "ятьему случаю, причем в силу равенства р= 3/1= -1/4 Дредставив числитель подынтегральной функции в интеграле справа в виде 2=(1+хг)+(1 — 32) и разделив почленно на знаменатель, придем к двум табличным интегралам 14 и 13: 130 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
