Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эллиптические интегралы, получившие свое название ыэ-э их связи с задачей о вычислении длины дуги эллипса (см. Д.9„1) стремятся преобразовать так, чтобы свести их к ыесколькы,„ типам интегралов, в состав которых входило бы как можы„ меньше проиэвольыых коэффициентов. Эти преобрззоваыия достаточно рассмотреть для случал а = 4 в (3.45), поскольку к нему всегда можно привести случай а = 3. В самом деле мыогочлеы степени и = 3 с действительными козффициеытамы всегда имеет хотя бы один действительный нуль. Обозыачыи этот нуль Л и запишем разложение Рз(х)=ах +ах +сх+а=а(х — Л)(х +гх+з), афО, г,зЕВ. Используя подстановку а(х — Л) = еэ (дх = 21 Й/а), в (3.45) пры а=3 получаем Мыогочлеы Ра(х) степени и = 4 с действительными ко.
зффициеытами всегда можно представить произведением двух квадратных трехчлеыов тоже с действительными козффициеытами: Ра (х) = ах4+Ьхз+схэ+йх+е= а(хэ+рх+д) (хэ+р'х+ у'). (3.46) Если р = р', то замена переменного х = $ — р(2 (см. эамечаыие 3.4) уничтожает в обоих трехчлеыах слагаемые с первой степеыью 1. В случае р~ р' с той же целью следует выполыить замену х = (И$+ и)/($+1) (см. пример 3.4) и найти козффицяеыты р и и из условия равенства нулю к<юффициеытов пря ~ в выражении (р~+рр+д)1~+ (2ри+ (И+и) р+2ц)1+и +ри+Ч хэ+ рх+ а— д.з.г. Ое ввтхгввраввввв фувкций ввлв й(х, ~/Р„Гх) ) 139 в аналогичном ему соотношении для трехчлена хг+р'х+д', т,е 2пи+ (р+ и)р+ 2д= О, 2ри+(и+ и)р'+2д' = О, д- д' Р'д-Рд' и+и= -2 —, ри= Р Р Р Р Отсюда следует, что р и и являются корнями квадратного уравнения (р- Р)в~+ 2(д -д)х+ р д — рд'= О.
Чтобы рассматриваемая замена переменного * сохранила смысл, корни этого уравнения должны быть действительными я различными, т.е. должно быть выполнено неравенство (д-д') — (Р-Р)(рд-Рд) > О. (3.47) Обозначим нули двух трехчленов в (3.46) а,,8 и 7, в соответственно. Тогда,, подставляя Р=-(а+6), д=~4, Р = — (7+4), д =7е з (3.47), получаем (а — 7)(а- е)(6-7)(,6 — е) > О. Если все нули многочлена Ра(х) в (3.46) действительные, то действительными будут и нули обоих трехчленов, а сами трехчлены можно выбрать так, чтобы а > 6 > 7 > 6, что обеспечивает справедливость (3.47).
Если же не все нули действительные, то трехчлены в (3.46) будут определены однозначно и с"едует рассмотреть два случал. Пусть в первом случае а и комплексно сопряженные числа (,6 = о), а 7, 6 6 Е. Тогда 7=~- у и 6 — 6=а-в, те. (а-у)(,6- у) >О и (,6-б)(а-б) >О. 14О з. интигрироилнии иррлционлльных иырлжиний Во втором случае все нули многочлепа Рл(х) комплексим 3 причем как Д=о, так и б=7. Но тогда Д вЂ” б=а — 7 В ,б — 7 = ~~- е, т.е. (Ф вЂ” 7)(,б — б) > О и ф — 7)(о — б) > О.
Таким образом, ыеравенство (3.47) будет выполнено в обои» рассмотренных случаях. Итак, замена переменного интегрирования в (3.45) позволя. ет перейти к рациональной подынтегральной функции вида В ~~~ + (й+1)г при отличных от нуля коэффициентах А, щ в щ'. Интеграл от функции В способами, аналогичными разобранным в 3.4, можно свести к иптегралу от рациональной функции аргумента $ и фупкции (3.48) Рациональную функцию В'(й) представим в виде двух слагаемых: В'(й) — + В'(1) + В'(-й) В'(й) — В'(-й) Первое слагаемое не меняет своего значения при замене й яз 3 -й, и поэтому его можно свести к рациональпои функции от 1 1 обозначив В1(йз), а второе при такой замене меняет знак, т е может быть представлено в виде Вз(йз)$.
Тогда интеграл от подынтегральной функции (3.48) можло свести к сумме интегралов | В1(йз) йй ~ Вз(й )м А(1+ тЯ2)(1+ щ!$2) / А(1 + щи)(] + щгйз) длса Об иитегвивоваиии фуикиий вида Я(и, /Р„(и) ) 141 3 ~~евой и=1з (Нв=2$й) второй интеграл приводится к уже дсмотренному интегралу от функции вида (3.18), а первый— Ф так называемой яаяояичесяоб форме э~ыиптпичесяого еняас ер о'до О<И<1, (3.49) которой й называют модулела за вияяличссяоео инте- ярема.
Обозначим для краткости у = А(1+ тР) (1+ ти'1з), ограяячимся положительными значениями переменного интегрирования (1>0) ирассмотрим различныесочетаниязнаков А, ж я щ', положив беэ потери общности А = ~1. 1) А=+1, то=-Ьз Ы=-Ь'з (Ь>Ч>0). Тогда у будет яиеть действительные значения при 0 < 1 < 1/Ь и 1 > 1/Ь'. Полагал Ь| = г (й = ня/Ь), получаем и Е (О, 1) 0 (ж я > Ь/Ь') . Из сравнения с (3.49) следует, что в этом случае Ь = Ь'/Ь. 2) А=+1, т=-Ьз> т'=Уз (Ь, Ь'>0).
Теперь убй при я < 1 < 1/Ь. Положим М = ~/Г- Ф (О < г < 1). Тогда для перехода к канонической форме эллиптического интегра~~ВУив пр~ 1=1/~/1~ВК. 3) А =+1, щ=Ьз, т'=Ь'з (Ь >Ь'>0). В этом случае чж при 1 ЕЙ. Полагая В =я/~/1лз (О< л< 1), находим 142 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ так что канонической форме интеграла соответствует Ь =,/Г:Р7Р.
4) А=-1, т Ьз тв' Ьа (Ь, Ьг>О). Теперь рбй прв $ >1/Ь. Принимая Ь$=1/Л вЂ” яз (О< я<1), получаем й (Ь У Яг ~аа 1~ А~~аДг 5) А = -1, щ = — Ьз щ' = -Ь'з (Ь > Ч чае у б и. при 1 6 (1/Ь, 1/Ь'). Пусть Ю = Тогда й Из из р~ я (3.49) у~~~ыю~, Й= ~/г — В'ь/~, Сочетание А=-1 и из, ш'>О приводит к тому, что радякал уфй 'йбй. Если я>Ь/Ь'=1/Ь, топри первом сочетании знаков А, ти и тв' подстановка Ья=~ обеспечивает выполнение условия ~ < 1. Таким образом, во всех рассмотренных случаях для переменного интегрирования в (3.49) можно ограничиться значениями г < 1. Ясно, что при всех рассмотренных сочетаниях знаков А, т и тв' и подстановках функция В(1з) в (3.49) переходит в рациональную функцию от яз.
После выделения из этой функции целой части в виде линейной комбинации степеней г ", а = О,Ф (в частном случае целая часть может отсутствовать, т.е. Ф = О), останется несократимая правильная рациональная дробь, которую можно разложить на простейшие рациональ ные дроби вида 1/(яз — а), где а — нуль (действительный или комплексный) кратности т знаменателя правильной ра циональной дроби.
В итоге (3.49) можно представить линейноя комбинацией интегралов вида язв 1 ( 2 ) Д$ '"~2)(Д $2 ~) Д.3.2. Об ентеграроваоен функций вндв В(я,с,/Р„~я~) 143 Если проинтегрировать непосредственно проверяемое то,кдество зе-3 ( х (2п 1) (сзхза (2п 2) (1;2+ 1) х2е-2+ (2п 3) хза-4 то получим рекуррентное соотношение 2е-3 х =(2п — 1)й 1е— — (2п — 2)(/й +1)1в-~+(2н — 3)1в 2. (3.50) каким образом, 1„при о > 1 можно последовательно выра- зить лишь через два интеграла 1о= и А= Отметим, что (3.50) верно и при п б Е, т.е.
в интеграле Нм можно ограничиться лишь случаем а ~6 О, для которого аналогично можно получить рекуррентное соотношение х =(2пз — 2)(-а+(1~+1) — В~а )Н (х2 а)эв-1 — (2п2 — 3)(1 — 2а(1~+1)+31~а )Н„, 2+ +(2т — 4)((й +1) — Зй а)Нт 2 — (2$и — 5)3РН~ 3, ~раведливое при 2п б л. Следовательно, Н при т > 1 Мо ~абио выразить через три интеграла: Нм Но = 1о и Н 2 —— 12 - а1о, т.е. окончательно через Н~, 1е и 12. Введением раметра (в общем случае комплексного) Ь = -1/а интеграл 144 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Н 1 приводят к виду Н | | <Ь (1+Ляг) (1 )(1 ьг г) ' Французский математик А.М.
Лежандр (1752 — 1833) назва„ интегралы 1о, 11 и Н1 эмвиппгичесиими иипгегралаллп первого, етпорого и тпретпъего рода соответственно и зама ной я = в1п ~р (л1г = сояуйр) преобразовал их к виду то= НАР ° г ,л ~ид„я т 81пгуиу 1 /'1 — (1-йгя1пг р) ,,—,--,я„т = И,,/;-щ-„3-; олр Н1 = (1~лл ~у)~/1 — л1ит~т Интегралы в правых частях первого и третьего равенств называют эллвиптпическилли интпегр<мами первого и тпретпьего рода в форме Леглоаидра, а | 1 — йгя1п~ у<6р элллиппгичесиим иитпегралом етпорого рода в форме Ле" исаидра. Французский математик Ж. Лиувилль (1809 — 188 ) — 2) показал, что этн интегралы кеберущиесл.
Достаточно часто встречающиеся в прикладных задач ачзх эллиптические интегралы первого и второго рода в фор ме -О Лежандра хорошо изучены. Если принять, что при <р— эти интегралы обращаются в нуль, то их можно представя ять как функции независимого переменного у, которые Лежаяд аялр обозначил г (й, у) и Е(г, <р) соответственно. Значения этя" функций табулированы в обширных таблицах. 145 Вопросы и задачи Вопросы и задачи 3.1.
Проинтегрировать следующие функции: /х хз 1 ах+1 х — б); в); г) 4 —; Д) з 'у х+2' /~ — 1 (2 — х)~/1 — х у х — 1' фах+6' х — 1 ~Гх-1 ~/х+1-~~х 1 х+3 ) х212 — ', ж); з) 7 х+1' Я+1' ~/х+1+~/х:1' хз~(2х+3' и) 1 ~/х+1+2 1 гг'ы!Р г(( 4!)г! ( Р1)г-~/а~!' (1Р2уЬР.ЬБ)' 1 — ~/~+ 1 1 хф2+ х ') 1+ф*+1! (1+ 4/х)з /х! ) х+ 3/2 — + — ! х 1 !) , а > О; с) ы 44*2 Р 4 г 4. 1 — ы 2* 4- 1 1 1 ') Е 11! афК У) ~ ~з 4( 3.2. Доказать, что интеграл от рациональной функции 1(г,у) 2 у*г р г ы* * у= ()( — )Ь( — Ь) лементарной функцией, если а Е Х, р, а ЕЕ и (р+41)~яЕ Е.
З.З. Найти неопределенные интегралы от следующих функ(вй: г 1 ); 6) — *!Р2 4.2; ггЬР*Р* ' * ' 1Рг'*Ру2Р ) 1 х 1 — х+хз (.4.1)г)22 р-р ! (14-.)44 -* — У Л р*---'У д) е) 3.4. При каком условии интеграл | а~хз+ о1х+ с! (Ь, ауЕО, г/ УРЬгР4 идет алгебраической функцией? 146 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 3.3. Для интеграла х2341х /.=, .443,.434, .-/' .,Ь.„ доказать справедливость рекуррентной формулы 2а — 1 па1„= х" ' ахг+Ьх+с- — И„1 — (23 — 1)с1„г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
