Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 21
Текст из файла (страница 21)
метрической функцией: | агсв!в(х/а) агсв!в(х/а) 1 /' <Ь хв ~!х — + (ю — 1)х" и — 1 / х"-1~~ В связи с этим напомним, что агссов(х/о) = х/2 — агсв!в(х/а) в агссФн(х/а) =и/2 — агсФн(х/а). При в=1 эти интегралы уже не удается выразить через элементарные функции. К иеберуц!имсл относятся также интегралы от функций Интегралы от этих функций путем последовательного ннтв грирования по частям можно выразить через элементар а ныв функции и три основных неберущихся интеграла — Нх, — (!х, <!х, (4.20) 175 4А. Разягшые трансцеидепююе выраасенив ~ к, например, | е Нх е* 1 (е Нх л-1 + (и-1)х"-' «-1.1 х~-1 (и — 1)!./ х (и — 1)! ~-~ х~-в К неберущимся также относятся интегралы Последний из них заменой х=е' (нх = е'нл) можно свести к интегралу от функции е*/х.
Можно привести достаточно много примеров неберущихся интегралов от трансцендентных выражений. Некоторые из таких интегралов часто встречаются в прикладных задачах и хорошо изучены. С их помощью определяют функции, которые не выражаются через элементарные, и поэтому их называют с«ециаль«ыми фу«яц«л.яи. К ним относятся, например, упомянутые в Д.3.1 функции Е(х, <р) и Е(х, у), определяеиые зллиптичес«ими интегралами.
При помощи интегралов (4 20) вводят специальные функции, называемые ««шеераль«о4 пояаэююпельной фумяцие«, ияюпеграаьь«ыми синусом я «оси«усо.я соответственно. Первый интеграл в (4.21) связан соспециаяьными функциями, широко используемыми в теории Ыроятностей, статистической физике, теориях теплопроводностн и диффузии. Функции, связанные со вторым и третьим интегралами в (4.21) и называемые «ятеералалви Фре«ел% находят применение в оптике. При помощи последнего интеграла в (4.21) определяют функцию, которую называют ««сераль«ыя лоеарифмом. Ввиду важности для приложеянй упомянутых функций они изучены с той же полнотои, что элементарные функции.
Поэтому их отличие от последних является достаточно условным. 176 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ Таким образом, в отличие от диффереицироваиия элене„ тарных функций их интегрирование далеко ие всегда сво приводит к элементариым функциям.
Следует подчеркяу различие между существованием иеопределеииого интеграла я возможностью его представлеиия при помощи элемеитариь,„ функций. Но если такая возможность имеется, то ее желател ио реализовать. На это и направлены рассмотренные в этои я предшествующих главах способы иитегрирования. Однако даже известиая теоретическая схема иитегрирова. иия того или ивого класса функций ие во всех конкретимх случаях быстрее всего ведет к цели. Обычно интегрирование можпо выполнить несколькими способами, среди которых сле.
дует выбирать наиболее простой. Рассмотрим элементарный пример. Интегрирование рациоизльиой дроби хз/(х+1)" при достаточно большом значении и (иапример, при а) 5) приведет к громоздким выкладкам, если применить общее правило, связаииое с разложением фуякции иа простейшие рациональные дроби. Проще применить подстановку 1ж х+1: 1 2 1 (п 3) (х+ 1)в-3 (п 2) (х+ 1)л-3 (в 1) (х+ 1)л-1 Следовательно, важно не только знать, какие способы суше. ствуют для вычислеиия конкретного иитеграла, ио и выбрать среди иих наиболее экоиомиый. Для такого выбора иеобходя мый мы изобретательность и опредеяеииыи навык, приобретаем практикой при решении значительного количества примеров По существу, все рассмотренные способы интегрирован аняя были связаиы с такими преобразованиями исходного иитегра ла, которые позволяли свести его к табличны.н интегра4 лм Однако к табличным отнесено лишь небольшое число оси иов 177 Запросы и эадачи Вопросы и задачи 4.1.
Проинтегрировать следующие функции и проверить взультат диффереицировапием: 1 81пз х СО6$ Х ) (2+совх)вшх' 81пх+2совх' (азвй~х+йзсовзх)а в!пх совх втх д) . з, е) . 4 4; ж) — 8 $|п х+ сов х виР х+ совз х в~п4 х+ сов4 х совах ) . ; и) . ; к) . ; л) 6!П Х СОВ Х 61ПХ СОВХ 1 1 $!п х+ совах 1+$1п х $1п х с08 х фЯ,х 1 совах 1 вшх ~) ) $ ' ) ' 3 ) уз/ 4 ~lвТпахсовх ~I61пх ~Гв1п2хсов х чжс~ х ) СВЗ~Х> с) апхв!п(х+О)61п(х+й); т) совхсов2хсовЗх; ) в1п 2хсов~ЗХ; ф) фсоехв~п~х; х) фцх; ц) ф~а. 4.2.
Интегрированием по частям вывести формулы поиижеИя показателя степени и Е Я для интегралов К„= сов" х<Ь, в > 2; Аа= Г ~Ь Ь„=~ —, п>2, Ы~ ап" х с их помОщью Вычислить Й~ а7$! Кв и Ст' ых интегралов. При решении прикладных задач, связанных иитегрироваиием довольно сложных функций, целесообразно льзоваться более полными таблицами интегралов, собранных специальных справочниках. В приложении (в конце книв) приведена таблица интегралов, сравнительно небольшая, но остаточках для нахождения неопределенных интегралов в слуаях, часто встречающихся в инженерной практике.
178 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 4.3. Доказать, что | а1 вш х + 2Ь1 вш х сов х + с1 сов х ° г ° г )1х = Ав)пх+ Всовх+ ав1п х+ Ьсовх )гх Ь +Р/ хфЬх — агсг8 —, йсз .)) ав1пх+Ьсовх а и выразить козффициенты А, В и Р через коэффициенты а, Ь, а1, Ь1 и с1. 4.4. Доказать, что при п Е Х'1 (1) )гх Ав1пх+ Всовх Ав= «)-1 + ««-г« (ав1п х+ Ьсовх)" (ав1пх+ Ьсовх)"-1 и выразить коэффициенты А, В и Р через а и Ь. 4.6. Доказать, что при п Е М'1(1) и аг ф Ьг )Ь Ав1п х — „, +В~ -1+Ш -г (а+ Ьсовх)" (а+ Ьсовх)" 1 и выразить козффициенты А, В и Р через а и Ь.
4.8. Проинтегрировать следующие функции и проверить результат дифференцированием: ех+ ез* 1 ь')«« 1,« ~,м' [« -~~ц«), ««.«ц«' ' )~««««)«' 1 1 1 1 г) —; д) ~/е — 1' ~~+е +ь|1 -е* (е*-1)» а+ЬсЬв ; е) Ж) 1 1 вЬх 1 з) г г , н) ); «) и«««' ««««ь«* «/е~+з+1 «/й2 «ь~* «« м) йпзх; н) сй1)~х; о) сЬх сЬ1х/2) сп(х/3); п) ~~Рх. 179 Вогвзосы и задачи 4.7. Интегрированием по частям вывести формулы понижегв показателя степени и Е !Ч для интегралов К„' = сЛ" х г!х, и > 2; Г г!х Ь'= / —, п>2, "-/.Л-* вЛ" х ах; ис с их помощь~ вы~целить 1в, .7в, Кв и Ьт. 4.8.
Найти интегралы от следующих функций и проверить результат дифференцированием: а) х~е~; б) х в!пбх; в) хзезсовх; г) хе в!п х; д) е'*яп бх; в) (1+х ) совх; ж) (хз-2х+2)е з; з) (х-в!пх)~; и) сов~~/х; к) е *агсв!не; л) еа '"з; м) хзе~~; н) !п(~/1+х+~/1х); т о) (2х+1)е~ в; п) ~,~хаги~/х; р) агсв!п~/х; с) х агсгцх; х+вЛх х х (х!пх)з, 1-!пх т); у) —.; ф) .; х); ц) ' сЛх — вЛх' в!пзх' 1+в!пх ~(х !п х ч) хсовх-в!пх в!пх-совх / 2~ ш) .; щ)~1 — -~е; ы) ~ — ~. хз в!пх ' ~ х/ ' '~х/ 4.9. При каком условии можно выразить через элементарные функции интеграл от функции (ао+аг/х+...+а„/х")е 7 5.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА В 1.3 было показано, что дифференцирование функция и ее интегрирование являются взаимно обратными операция. ми. Различие между этими операциями состоит в том, чт„ производная функции, дифференцируемой в некотором проме. жутке Х, есть функция, однозначная в этом промежутке, а неопределенный интеграл ) Дх)ах от однозначной в Х фун. кции Дх) представляет собой бесконечное множество нерее. образных, причем любые две первообразные г1 (х) и гз(х) яз этого множества, согласно теореме 1.1, различаются между собой на некоторую постоянную величину С„т.е.
Рз(х) = Е~(х)+С, Чх Е Х. (5.1) Учитывал свойство (5.1) множества ) Дх) дх первообразных функции Дх), можно ввести одно из важнейших понятий интегрального исчисления. 5.1. Покитие определеииого интеграла Ньютона Пусть у функции Дх), определенной в некотором проне жутке Х, существует в этом промежутке неопределенныб интеграл (5.2) где Г(х) — одна иэ пергообразных функции ~(х), а С вЂ” по столнная интегрирования, и пусть а и 6 — любые две точки принадлежащие промежутку Х. Разность Г(6) — г'(а) предста вляет собой приращение первообраэной Г(х) при переходе о~ точки а к точке 6. 181 а2. Форнувв Ньютоив — Лвйгаацв Теорема 5.1..Приращения любых первообразных, вызванные приращением сьх =6 — а переменного интегрирования х, одинаковы. л Пусть Рь(х) и Рэ(х) — какие-либо две первообразные функции 1(х).
Тогда в силу (5.1) имеем Рг(а) = Гь(а) +С„ и 7э(6) = Рь(Ь)+С,. Поэтому Гэ(Ь) — гэ(а) = (Рь(6) +С ) — (Рь(а) +С,) = Рь(6) — Я1(а), что доказывает утверждение теоремы. Н Определение 5.1. Приращение г'(6) — Р(а) произвольной первообраэной Г(х) функции ~(х) при изменении аргумента х от значения а до значения 6 назовем определенным интегралом Ньюпьона (или просто инпьегралом Ньюпъона) от функции У(х) с пределами инпьегрироеанил а и 6 (нихеним и верхним пределами инпьегрироеания соответственно) и обозначим символом ь Дх) ах. в Таким образом, интеграл Ньютона есть число, соответствующее функции Дх) и пределам интегрирования а и 6.
Это число не зависит от того, как обозначено переменное интегрирования: ь ь ь У(х) Их = Дс) ас = Дг) дг. 5.2. Формула Ньютона — Лейбница Согласно определению 5.1 интеграла Ньютона, 1В2 Л. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Это равенство называют формулоб Нььопьона — Леббни Ча. Она позволяет вычислить интеграл Ньютона от функции /( ) в пределах от а до о, если известна любая первообраз„ Г(х) этой функции ца промежутке, содержащем точки а н ь Первообрззную заданной функции иногда можно найти и,„ помощи табличных интегралов, применяя рассмотренные гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
