Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1-4 способы интегрирования. Разность значений первообраэной, соответствующих вор». нему и нижнему пределам интеграла, часто обозначают г'(») ~ь Ь л или (Г(х)), (когда г'(х) является сложным выражением), так что (5.3) принимает вид (5.4) Пример 5.1. Рассмотрим простейшую линейную функцию у(х) =2х и вычислим интеграл Ньютона от нее по отрезку [О, 1]. Одной из первообразных этой функции будет Р(х) = Дх) дх = 2хдх = х~+С = хз.
Тогда, согласно (5.4), получаем 1 1 | (1 Дх)дх= 2хдх=»~~ =1 — 0=1. ф о о о Важно еще раз подчеркнуть, что в формуле Ньютона— Лейбница можно использовать любую первообразную Г(х) функции у(х), поскольку постоянная интегрирования С всв равно взаимно уничтожается при вычислении разности значв ний первообрззнои, соответствующих верхнему 6 и нижнему а пределам интеграла.
Пример б.2. а. Для функции у(х) = 2(х~, х Е ьк, в приме ре 1.3 найден неопределенный интеграл в виде х)х)+С, ™ 1ВЗ о.2. Формула Наапонв — Лейбиица о одной иэ первообрззных (при С = 0) будет Е(х) = х(х~. 11 трудно убедиться, что на всей числовой прямой Й .Ро(х) = у(х) = 2(х~. Следовательно, эту первообразную можно исполь„ать для вычисления интеграла Ньютона по любому отрезку Ь](=„И. Пусть а=-1 и Ь=1. Тогдаполучаем 1 1 б, В примере 1.4.а найден неопределенныи интеграл от функции у(х) =е !'~ (хай) в виде | ее+С, х<0; Дх)(Ь= е ~~~(1х= е о+2+С, х) О. Если положить С = О, то получим первообразную функции ~(х) как составную функцию х<0; Г(х) = -е в+2, х) О, для которой,Р(х) = у(х) Чх Е Е.
Согласно (5.4), интеграл Ньютона от функции у(х) по отрезку (-1, 1] равен 1 Л*(И = |г ~*~И=К(~(~ =(-~ *~2)( 1 -1 2 е — 1 — е~~ = -е +2 — е =2 — — =2 —. в — 1 е е и. У функции ~(х) = 1/(х — 1) ~ не существует первообраэиой и на отрезке [О, 2], поскольку в точке х = 1 эта функция не о определена и тем самым нарушено условие определения 1.1 иер Рвообразной.
Следовательно, согласно определению 5.1, не ествует и интеграла Ньютона по отрезку 10, 2] от этой ~УИКЦНИ. 1(Ь 184 Б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА ь с~ сь+1 Дх) Ых = ~(х) Ых+,1(х) ~Ь+; .. + ~(х) Их+... + с с с1 сь Ь +/д )с=Щс,-0) — с~(~))+(Рг(~г-О)-~г(й+0))~.-.+ с„ + (Рь+1(сь+ь -0) — Рц+ь (сь+0) ) +... + (К+ь (Ь) — Р'„+! (с„+ь+0)). Пример 6.3. Вычислим интеграл Ньютона от составнои функции х+1, х6[ — 1, 0); з1пх, х Е (О, 1); Зх, х Е [1, 2), Лх) = имеющей точки разрыва первого рода при х = с1 — — 0 и х = сз = = 1.
Для этого функцию ~ь(х) = х+1, совпадающую с Дх) на пРомежУтке [-1, 0), доопРеделим в точке сь —- 0 значением 1, а функцию ~з(х) = з!пх, совпадающую с Дх) иа иитервале (О, 1), доопределим в точках с1 — — 0 и сс = 1 значениями 0 и я1о1 соответствеиио. Тогда з о 1 | .з о с ~с = /~*~цс*+ь*с*+ /з*г*=( — ~.*)~ 2 -ь а з,и з — соех[ +-хо[ = — — сое1+1+6 — — = 6 — соя ' [о 2 [ь 2 2 Если функция Дх) иа отрезке [а, Ь) имеет конечное число т чек разрыва первого рода сь, ..., с„, то интеграл Ньютона и„ этому отрезку определяют как сумму ивтегралов по частичим, отрезкам [а, с1), [с1, сз], ..., [с„, Ь), для чего на каждом из эти„ отрезков исходиая функция доопределяется в концевых точка„ одиостороииими пределами.
На Ь-м отрезке в силу иепрерыв. ности функции существует первообразиая Гь(х), Й = 11, о+1 и формулу Ньютона — Лейбница можио записать в виде 185 $.3. Свойства интеграла Ньютона 5.3. Свойства интеграла Ньютона (5.5) )(ействительио, согласно (5.3), имеем Перестановка пределов интеграла Ньютона в силу определеиил 5.1 означает, что ириращеиие первообразиой подыитегральиой фуикции вычисляется при изменении переменного иниьегрироеанил в иаправлевии, противоположном первоиачзльному. В частном случае совпадающих верхнего и нижнего пределое инпьеграла из (5.5) следует, что интеграл Ньютона равен лулю, т.е.
при 5= а | с Дх)ах=О. а о'. Если фуикция у(х) имеет первообразиую в промежутке ~ то для любых точек а, 5, с из этого промежутка ь с ь Дх) ььх = Дх) ььх+ Дх) ах. (5.6) ц В В самом деле, пусть Р'(х) — некоторая первообразиал уикции дх) в промежутке Х. Тогда, согласно формуле Формула (5.3) Ньютона — Лейбница позволяет установить иекоторые важные свойства инпьеграла Ньютпона. 1'. Перестановка пределое инпьегрированил в интеграле Ньютона измевиет его знак, т.е. 186 $. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Ньютона — Лейбница (5.3), Следовательно, С Ь | у(*)ю*+/л*)ю =(к(~)-к<~))~(к(ь)-к~сда С Ь = Г(Ь) — Р(а) = Дх) Их.
а Если отрезок, на котором функция Дх) имеет первообразную, разбит на несколько частей, то интеграл Ньютона от этой функции по всему отрезку равен сумме интегралов Ньютона от нее по всем частям, составляющим отрезок. Это свойство на. зывают аддичииеностпъю интиеерала Нъюпьонв. 3'. Пусть функции 11(х) и ~з(х) имеют в промежутке Х первообразные .г1 (х) н Гз(х) соответственно. Тогда для произвольных точек а, Ь 6 Х и для любых Л1, Лз 6В выполняется свойство линейносчии ннпъеерало Нъютионач ~ Рассмотрим функцию Р(х) = Л,Р1(х)+ЛгГз(х).
Она являет ся первообразной функции Л1~1(х)+ЛзЯх) Йа отрезке [а,Ь) так как, согласно определению 1.1 первообразной, г (х) = (Л171(х)+ЛзР~(х)) = = Л1Р,'(х) + ЛЯ(х) = Л1Д(х) + ЛзЬ(х) Б.е. Теореиа о среднем зеечееик и ее следствие 187 поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница (5.3) | (Л1 Я х) + Лэ ~~ (х) ) Вх = Р(Ь) — Р(а) = (ЛЬ РЬ (Ь) + Лэ Рэ (Ь) )— (Л1РЬ(а)+Лэгэ(а)) =Ль ®(Ь) — РЬ(а))+Ля(Р~(Ь) — гэ(а)) = 6 Ь =ЛЬ ~~(х)Их+Ля ~э(х)Нх. з» Обобщал это свойство, заключаем, что интеграл Ньютона от линейной комбинации функций, имеющих первообразные, равен линейной комбинации интегралов Ньютона от каждой из этих функций, т.е.
вычисление интеграла Ньютона является линейной операцией. 5.4. Теорема о среднем значении и ее следствии Для интеграла Ньютона можно установить соотношения, которые либо связывают значение интеграла по отрезку (а, Ь] (т.е. с пределами интегрирования а ( Ь) со значением подынтеграяьной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка, либо оценивают его при помощи неравенств. Эти соотношения следуют из теоремы, которел получила название оьеоремь6 о средмеле значении. Теорема 6.2. Если определенная на отрезке (а, Ь] функция ~(х) имеет на нем первообразную Р(х), то существует такая точка сЕ (а, Ь), что (5.8) ~ а гласно определению 1.1 первообраэной, г (х) = Дх), х Е (» Ь), т.е.
функция Р(х) дифференцируема, а значит, и 188 Л. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА непрерывна на отрезке [а, 6]. Поэтому она удовлетворяе условиям теоремы Лагранжа [П], согласно которой можв записать | ~(х) Йх = г" (6) — Г(а) = Г'(с) (6 — а) = У(с) (6 — а), (5.9) а где с Е (а, 6). ~ Замечание 5.1. Число — 1 Г у = — / Дх)ох 6-.,/ а (5.10) Следствнеб.1. Еслифункция Дх) имеетнаотрезке [а,6] первообразцую и Дх) > О Ух б (а, 6), то интеграл Ньютона от этой функции по данному отрезку неотрицателен, т.е. (5.11) < Так как Дх) > 0 Чх Е (а, 6), то (5.11) следует из (5.8). ~ Следствие 5.2. Если функции д(х) и Ь(х) имеют на отрезке [а, 6] первообразные и д(х) > Ь(х) Чх б (а, 6), то 6 6 д(х) дх > Ь(х) дх.
(5.12) называют средним значением фуибпбии иа отпреэие [а, 6]. Таким образом, (5.9) означает, что для функции, имеющей на [а,6] первообразную, существует по крайней мере одна внутренняя точка отрезка [а, 6], в которой значение функции совпадает с ее средним значением на этом отрезке. а.4.
Теорема о среднем значении н ее следствие 189 л Поскольку Дх) = д(х) — й(х) > О Ух Е (а, 6), то в силу ,ледствии 5 1 ь ~ | 1 (д(х) — й(х)) ~Ь > О, е. с учетом лииейносоьи интеграла Ньютона откуда следует (5.12). 1ь Следствие 5.3. Если функции д(х) и Й(х) = Дх)д(х) имеют иа отрезке 1а, 6) первообрззиые и иь ( (Дх) ~< М, д(х) > О Чх Е (а, 6), ь ь ь тв д(х) Йх ~< Ях)д(х) ех < М д(х) Нх.
(5.13) ц Поскольку д(х) > О, то иьд(х) < Дх)д(х) < Мд(х) Чх Е (а, 6). (5.14) "з определеиии 1.1 первообразиой следует, что если фуикции У(х) имеет первообразиую С(х) иа отрезке [а, 6], то фуикции сд(х) также имеет первообразиую иа этом отрезке при любом с Щ равную сб(х). Применил к (5.14) дважды следствие 5.2, залучаем (5.13). ~ь Следствие 5.4. Если функции д(х) и Ь(х) = ~(х)д(х) "еют иа отрезке (и, Ь) первообразиые и иь~~/(х)<М, д(х)<О Ухб(а,6), б.
ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА то (5.16) ~ При у(х) =1 Чх 6[а, Ь] Ь Ь | у(х) Их = Их = Ь вЂ” а й В и неравенство (5.16) следует иэ (5.13). ~ Следствие 5.6. Если фувкции Дх) ии х и ~~(х)[ имеют на отрезке [а, Ь] первообраэные, то ! / ~(х) йх~ < / [~(х) ~ 0х. а а Чх Е (а, Ь), то, дваждм ~ Поскольку -Щх)[< Дх) < Щх)[ Чх Е (а, Ь), то, дваж применяя (5.12), получаем ь Ь ь Щх)[пх( Дх)Ых < у(х)[ь1х, й а О что равносильно неравен у ( . ств (5.17). в ь Ь Ь пь д(х) Нх > Ях)д(х) Йх > М у(х) Йх. (5.15) а О О > х х) > Мд(х) Ух 6 (а, Ь), то (5.15) можно получить двукратным применением 5.12 . ~ ..
Есл ф и ия /(х) имеетнаотрезке [а, Ь) Следствие 5.$. Если функция первообраэвую и тв < ~(х) х) < М Ух 6 (а> Ь), то Ь т(Ь вЂ” а) < ~(х) Нх < М(Ь вЂ” а). а о.4. Теорема о среднем значении и ее следствие 191 Следствие 5.Т. Пусть функция Дх) имеет первообразвую Цх) па отрезке [а, 6] и ~(х) > О Чх Е [о, 6], причем у(х) > О хотя бы в одной точке отрезка [а, 6]. Тогда Ь Дх) Нх > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
