Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 23
Текст из файла (страница 23)
а (5.18) Следствие 5.8. Если функции у(х) и Ь(х) имеют иа отрезке [а, 6] первообразиые и у(х) > Ь(х) Чх Е [а, 6], причем в(х) и Ь(х) различаютсв хотя бы в одной точке отрезка [а, 6], Ь Ь у(х)41х > Ь(х) 4х. (5.19) ч Поскольку ~(х) = у(х) — Ь(х) > О, х Е [а, 6], причем Дх) оЬ 1Ь О в некоторой точке, то в силу следствия 5.7 и свойства лииейиости интеграла Ньютона ет "уда следует (5.19). ~ 4 При укаэанных условиях записанный интеграл в силу следтвия 5.1 иеотрицателеи.
Предположим, что ои рарев нулю, т.е., согласно (5.3), Р(а) = Г(6). Из условия Г'(х) = 1(х) > >О Ух Е [а, 6] следует, что первообраэная Г(х) ие убывает ва отрезке [а,6], т.е. с учетом сделанного предположеиия Г(а) < Р(х) К.г'(6) = Г(а) Чх 6 [а, 6]. Это означает постоянство 7(х) па [а,6], а тогда у(х) ьО 'Фх Е [а,6], что противоречит одному из условий следствия. Поэтому неравенство (5.18) верно.
в 192 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Замечание 5.2. Подчеркыем, что следствия 5.1-5.8 сира ведливы только для отрезка, т.е. в случае, когда иижыий преде иытегрироваыия а ые превосходит верхнего предела иытегры роваыия 6. Если это ограничение сиять, то в формулировки следствий нужно вносить коррективы. Так, вместо (5.17) сле. дует писать Ь Ь 1(х) ах ( Щх) ~ ох . (5 20) Действительно, при а) 6, принимая во внимание иэмеыевие знака интеграла Ньютона при перестановке пределов инпьегри роваыия (см. свойство 1' в 5.3), соотношение (5.17) и ыеотрицательыость интеграла от неотрицательной функции Щх)~ по отрезку (см. следствие 5.1), имеем Ь О а Ь /(х)дх = !(х)йх ( Ц(х)~йх= Ц(х)~йх, О Ь Ь а а при а ( 6 ыеравеыства (5.17) и (5.20) эквивалеытыы в силу ыеотрицательыости функции ~1(х) ~.
Пример 5.4. Найдем среднюю мощность электрического нагревателя, имеющего сопротивление В, если через нагреватель проходит переменный ток, иэмеыяющийся во времени 1 в соответствии с законом 1($) = 1ов)пм$, где 1е — амплитудиое зиачеыие силы тока, м — угловая частота. Мгыовеиыал тепловая мощыость, выделяющаяся при проке ждеыии электрического тока силой 1 через сопротывлеыие 11 согласно известной из школьного курса физики формуле Джо уля — Леыца, равна гр' = 1гй. В данном случае мгыовеыыав мощность является периодической функцией времени 1 с перв одом Т = 2х/ы. Используя (5.10), найдем среднюю мощность Й~ нагревателя как среднее значение функции 1т'(1) = 1 (1) 193 ы.
и .. Нате~~аз Оьютонв с перемеыныни предо«внв з а этот период, т.е. /2Л / ~(~)й ~" ~й — «О~ / 2 ~О~ т/ о ~К /азу. т 2 2У,/ — сов2ьмй = о — о 81п2аге — — — — вт2иТ = — о /О«ь /О~ ° 1 гзо 2 8х б едняя мощность нагревател д я в вое меньше Таким о разом, ср максималь ьного значения его мгновенной мощности. П имер б.б. Установим, от какой из функций 81пх и х Пример [х/8, х/2] больше (не вычисляя интеграл Ньютона по отрезку [х/,х (/ /) зпачений интегралов). Поскольку при х Е (х/8,х 2 имеем О<в!их < х, то в с илу следствий 5.7 и 5.8 получаем «/2 «/2 О < в1пхдх < хах.
«/8 «/8 б.б. Интеграл Ньютона с переменными пределами П Р(х) — некоторая первообрвзнал функции /(х) в усть (х)— а 6ЕХ, со- пРомежутке . о Х. Т гда для произвольных точек а, гласно формуле Нькипона — Лейбница, ь Р(о) — Р(а) = Дх) дх. О Обозначим переменное интегрирова ния в интеграле справа че- Рез 1, а верхний предел ингаегрирования рез че х. Тогда получим Р(х) — Г(а) = / ($) й, а 194 Л. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА или г'(х) = 1($) Й+ г (а), х Е Х. (5.2ц .Иктпеграл Ыьюоьона в правой части равенства (5.21) ва. зывают интпеералом Ньююпона с иеременным еерхнц нределом.
Из формулы (5.21) следует, что проюводная интеграл Ньютона по переменному верхнему пределу равна значению по. дынтегральной функции при текущем значении зтого предела, т.е. — / Я) Й = ~(х) Ух Е [а, Ь). ь1 Г ох (5.22) Это соотношение устанавливает связь неопределенного интеграла и интеграла Ньютона с переменным верхним пределом. Интеграл Ньютона в правой части (5.23) является функцией своего верхнего предела и представляет собой одну ю перво- образных подынтегральной функции Дх). График зтой первообразной проходит через точку х = а на оси абсцисс.
Используя (5.3) и аддитивность интеграла Ньютона, запишем (5.21) в виде ~(х) = Г(е)+ у(с)а+ цЬ) — р" (о) — у(ца = а а ь = Г(Ь) - У(1) а Чх Е (о, Ц. (5.24) е Ф Следовательно, неопределенный интеграл функции ~(х) можно представить в виде е.Б.
Ииееграе Ныотоиа с перемеииыми пределами 195 — / Я)й=-~(х) Чх Е [а, Ь], (5.25) Н Г ах,/ и т.е. в отличие от (5.22) значение подынтегральной функции Дх) при текущем значении этого предела должно быть взято с обратным знаком. Из (5.24) видно, что функция К(Ь) — У®а является одной из первообразных функции 1(х) на отрезке (а,Ь], а тогда все множество первообразных этой функции можно записать в виде ь ~($) Й+С, где С вЂ” произвольная постоянная, т.е. ь | 1(х) ах = — У(1) а1+ С Ух Е (а, Ь]. (5.26) ~аким образом, взятый с обратным знаком интеграл Ньютона с переменным нижним пределом, будучи функцией своего нижнего предела, является одной из первообрзэных подынтеРальнои функции у(х).
График этой первообраэной проходит Через точку х = Ь на оси абсцисс. Интеграл в правой части (5.24) называют еьньеьегралом Нью- веоььа с еьеремемиььм миеесмим еьределом. Так как Р'(х) = -Дх), то из (5.24) следует, что производная от интеграла Иьютона по переменному нижнему пределу х равна 196 $. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА 5.6.
Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Ньютона Я(х) = Я(а)+ ~($)Й Чх Е [а> Ц. О Но в данном случае из геометрического смысла первообраэной Я(х) следует, что Я(а) = О, поскольку Я(а) соответствует пло- щади криволинейной трапеции, длина основания которой равна нулю. Следовательно, в рассматриваемом случае получаем Я(х) = Я)Й Чх Е [а, Ц. а (5.27) Итак, интеграл с переменным верхним пределом и нижним пределом а от неотрицательной и непрерывной на отрезке [а, Ц функции у = ~(х) равен площади криволинейной трз пеции, имеющей основанием отрезок [а, х] и ограниченной сверху графиком этой функции.
Поскольку аЯ(х) = Я'(х)ах то подынтегральное выражение в (5.27) будет дифференциале" площади укаэанной криволинейной трапеции в текущей точ ке х. Полагал в (5.27) * = 5, придем к интпегралу Ньютпона от функции у = 7(х) по отрезку [а, о1> равному площади криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а Пусть функция у = ~(х) яеотрицательна и непрерывна н отрезке [а, й). В силу утверждения 1.1 (см. также теорему 1,1 и следствие 1.1 в Д.1.1) такая функция имеет на этом отре ке первообраэную Я(х), причем геометрический смысл зтон первообразной состоит в том, что она является площадью нрк волинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, х) и ограниченной сверху графиком функции у = 7 (х) (см.
рис. 1.5) Согласно (5.21), для первообразной Я(х) можно записать 197 $.6. Иытерпретации яатегралв Наютоыв и ограниченной сверху графиком этой функции, а с боков— прямыми х = а и х = 5 (см. рис. 1.5). В этом состоит еометрический смысл интеграла Ньютона. Теперь, используя геометрическую интерпретацию инте- рала Ньютона, можно пояснить геометрический смысл теоремы 5.2 о среднем значении и формулы (5.8): если неотрицательиля подынтегральнал функция Дх) имеет на отрезке [а, Ь] иервообраэную, то на этом отрезке найдется хотя бы одна такая точка х= с, что площадь кри- Лх) волиненнои трапеции с основанием [а,й] (на рис. 5.1 заштрихована) у , ~, фф; будет равна площади прямоуголь- ~ фф;.
~, пика с тем же основанием и высотой 7= /(с) (для графика фун- ~".,фф; ЩФ, кции Дх) на рис. 5.1 таких то- О а е~ ел Ь х чек две, с~, сз Е [а, Ь], для которых 1(с~) = /(сз) = ~ ). С геометрической точки зрения ясно, что для тождественво не равной нулю, неотрицательной и непрерывной на отрезке [а, Ь] функции ~(х) площадь Я соответствующей криволинейной трапеции не равна нулю.
В силу свойства аддитивиосюв площади (см. Д.1.1) Я можно рассматривать как сумму прямоугольных площадок аЯ(х) = ~(х) ах, основания которых заполняют весь отрезок [а, 5]. Такая трактовка определеииого яивеграла будет детально рассмотрена в гл. 6. Здесь ограничимся лишь замечанием, что введенный Г. Лейбницем гиах «иомграла [ является стилизацией удлиненной первой буквы латинского слова яцпппа. Пример 5Я.
а. Для рассмотренной в примере 5.1 линейной функции ~(х) =2х ~1 ~(х) дх = 2хдх = хз~ = 1з — 0 = 1. о о о 198 б. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Действительно, фигура, ограниченная графи ком этой функции, отрезком [О, 1] и прямое х = 1, является прямоугольным треугольником (на рис. 5.2 он заштрихован) с основанием и высотой, равными соответственно 1 и 2, так что площадь этого треугольника равна 1. б. Для неотрицательной на отрезке [О, 2х] функции У(х) = 1+ в1п х площадь криволинейной трапеции, имеющей основание [О, 2х], равна Рис.
$.3 Зм Зк Зя Зя | У"(х) дх = (1+е1п х) Ых = Нх- Н(совх) = х] -сов х! =2х >о ю ~(с) =1+з1пс=,~=1. В рассматриваемом случае на отрезке [О, 2х] таких точек три: с1=0, сз=1г и сз=2л (рис.5.3) 41 Рнс. Ь.в Отметим, что определенную геометрическую трактовку имеют при У(х) ) 0 и свойства интеграла Ньютона (см. 5.З) а также следствия теоремы 5.2 о среднем значении (см. 6.4) Так, равенству нулю интеграла Ньютона с одинаковыми предо о о о о и совпадает с площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой,~ = 1.
Это означает, что среднее значение функции У"(х) = 1+вшх на отрезке [0,2х] равно 1. Даннал функция достигает этого значения в точке с Е [О, 2х], удовлетворяющей условию 199 6.6. Иатеепретации мы тетрада Нвютоыа лами интегрирования соответствует равенство нулю площади криволинейной трапеции, имеющей равную нулю длину основания. Аддитивность интеграла Ньютона можно трактовать как равенство площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Дх) > 0 и имеющей основанием отрезок (е, Ь], сумме площадей криволинейных трапеций, построенных на всех частях этого отрезка (рис. 5.4, а).
Геометрически линейность интеграла Ньютона означает равенство площади криволинейной трелеции, ограниченной графиком функции ~(х) = = ~~(в) + ~з(я) ф(х) > О, /з(з) > О) и имеющей основанием отрезок [а, Ь1, сумме площадей криволинейных трапеций с тем же основанием, ограниченных графиками функций ~~(х) и Яз) (рис. 5.4, б). С геометрической точки зрения неравенство (5.12) означает, что при у(х) >о(х) Чз Е(а, Ь) у площади соответствующих криволинеиных трапеций связаны таким же неравенством (рис. 5.5).
В случае неотрицательной на Цз) (е~ Ь) функции ~(х) геометрический смысл неравенства (5.16) за хлючается в том, что значение Ь х площади криволинейной трапеции Рве. 6.6 200 Л. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА 1 л(й) = и(т) Йт (5.28) равен расстоянию, которое пройдет точка к моменту времени ~, если движение она начала в момент времени ~о. Таким образом, путь, пройденный точкой к моменту времени $, является для функции о(1) той первообразной, которая обращается в нУль при $ = 1о, поскольку пройденный путь отсчитывается именно от этого момента времени. Подынтегральное выражение в (5.28) является дифференциалом ~Ь(1) = о(1) й расстояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
